基本不等式求最值中的“六种题型”-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

如识结构卓拓屑中学生教理化 高一数学2026年1月 基本不等式求最值中的 “六种题型” ■贺计策 赵自霞 张哲 题型1：合理变形后利用“1”的代换求最值 3-b 3一b 5 例1已知正数x,y满足√4x一1十 b+2 所以a十b= b+2 +b=6+2+6-1= 6+2十(b+2)-3≥25-3，当且仅当a 5 √4y一1=4xy,则x2+3y2的最小值为 √5-1，b=√5一2时等号成立，所以a十b的 解：利用换元法探索x,y的关系，结合常 最小值为2√5一3。应选C。 数代换法求x2十3y2的最小值。已知x,y为 点睛：解答本题的关键是消元、凑出“积 正数，且√4x一1+√4y一1=4xy,两边平 为常数”的形式，求出最小值。 方得4x2+4y2+2√(4x-1)(4y-1)-2= 题型3：整体换元化归为对钩型求最值 16x2y2,即2√(4x2-1)(4y2-1)=16.x2y2一 4.x2-4y2+2=(4x2-1)(4y2-1)+1。 例3已知正数a,b满足5a十2b a(a+26)=4, 设t=√(4x-1)(4y'-1),则2t=t2十 则a十b的最小值为()。 1,解得t=1,所以(4x2-1)(4y-1)=1,可 A.B c. D. 得16xy=4r+4y,即+=4 解：已知正数a,b满足5a十2b a(a+2b)=4,则 因为+3y=（侵+）x+y) 5a+2b=4a2+8ab,可得2b(1-4a)=4a2- -+￥)≥(+厚) 5a,即6-行二器因为，b>0,所以 1 =4, 名治>0，所以胎>0等价于(4如 4a2-5a 4+23=1+B ，当且仅当 即 4 3y2 x -54a-1D<0,解得子<a<号。易得a十 4a2-5a_2a-8a'+4a-5e_ x2=1+g b=a+21-4a) 2(1-4a) 4 时等号成立，所以x十3y的 -4a2-3a y2=3+3 2(1-4a)。令1-4a=t,则t∈(-4,0)，即 12 最小值为1士。 t<0,所以a十b= -4()-3) 2t 点睛：解答本题的关键是利用题设条件， 4t2+4t-1 通过换元化归，构造“1”的代换求出最小值。 2t ≥ 题型2：多元变量关系中的消元法求最值 例2已知a,b∈R+,且ab十2a+b一 2√-g)(-2)+号=8，当且仅当 3=0,则a十b的最小值为()。 A含 B号 8t 2，即t=-2,也即a=3 ,b=3 C.25-3 D.26-3 时等号成立，所以口十b的最小值为。应 解：由ab+2a+b-3=0,可得a= 选C。 23 中学生表理化智职皱掉与拓景年1月 点睛：解答本题的关键是挖揭}<a< √xy≥3，即xy≥9，A不正确。对于B,由 号令1-4a=,则a+b=(名1-动)十 x十y十3=x≤（仁专），可得x十y十3≤ 名，且在∈(-40)上求最小值。 ()广（当且仅当x=y时等号成立），所以 (x十y)-4(x十y)-12≥0，解得x十y≥6 题型4：双换元化归为“常数代换法”求 或x十y≤一2（舍去），B错误。对于C,x2十 最值 y2=(x+y)2-2.xy=(x十y)2-2(x+y+ 例4已知正数a,b,c满足2a十b十 3)=(x+y)-2(x+y)-6,令t=x+y,由 =8,则“士2+十的最小值为一 b+c B得t≥6，所以x”+y2=t2-2t一6=(t 解：正数a,b,c满足2a十b十3c=8,则 1)2-7≥(6-1)2-7=18，即x2+y2≥18，C 2(a十c)十(b+c)=8。令a+c=m,b十c= 正确，对于D十-安2-3- n,则2m十n=8,m>0,n>0,所以a+b+2c b+c 3 令=xy,由A得≥9，则十1门 y b+c ≥1-吕-，即十>≥号D不正确。 3 y +1=++1=82”++1=4+十 n m 2n m n m 应选C。 因为+=（+动）水2m十)= 点睛：解答本题的关键是寻找条件等式 和所求不等式之间的关系，利用基本不等式 (+4+2+)≥(6+，·) 求出最值。 题型6：两次运用基本不等式求最值 3+2√ ,当且仅当8m=”,即m=42一4， 例6已知a为非零实数，b,c均为正实 n m 数，则b力2的最大值为()。 十2 1682时等号成立，所以十+九 3+2E+号-5+2E,即+h+2c+1 A. c号 D. 4 2 4 b+c a+c 解：已知a为非零实数，则a>0。结合 的最小值为5+2巨 4 b,c均为正实数，可得ab十a。 4a1+b2+c2 点睛：解答本题的关键是双换元后构造 b+c b+c 常数“1”的代换求出最小值。 4a'bc b+c 题型5：已知条件等式，利用基本不等式 /4a2.3 b2+c 4√b2+c 求最值 b'+2bcc 1 2bc 例5已知x>0,y>0,且x十y-xy+ 4 b2+c 41 b2+c2 3=0,则下列说法正确的是()。 1 2bc√2 A.3<xy≤12 4√1+26c =学，当且仅当1a=+c a且 B.x+y≥3 b=c,即√2a2=b=c时取等号，所以 C.x2+y2≥18 4a+b+c的最大值为2 ab+ac n+长 。应选B。 点睛：当多次运用基本不等式时，要注意 解：对于A,由xy一3=x+y≥2√y, 不等式取等号的条件。 可得xy一3≥2√xy(当且仅当x=y时等号 作者单位：河南省安阳市实验中学 成立)，所以（√xy)2-2√xy-3≥0，解得 (责任编辑王琼霞) 24