破解函数解析式的七种思维方法-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

青一数识结纳军行贤中学生款理化 破解困数解析式的七种思维方法 ■朱秀芝 方法一：待定系数法求函数的解析式 例1（多选题）已知f(x)是一次函数， 2/x· =2(x>0)或x十 [f(x)]=9x-4,且f(0)>0,函数g(x)满 足g[f(x)]=9x,则()。 2· =一2x<0):当且仅当x= A.f(x)=-3x+2 即x=士1时不等式取等号，所以f(x)= B.f(x)=3.x+1 x2十2(|x|≥2)。应选D。 C.g(x)=x2-4x+4 体验：已知复合函数f[g(x)]的解析 D.g(x)=x2-2x+1 式，求f(x)的解析式，可采用配凑法。 解：依题意可设f(x)=kx十b(k≠0)。 方法三：换元法求函数的解析式 由f[f(x)]=9x一4，可得k(kx+b)+b= 例3已知函数f(x2一1)=x1十1，则函 x十b十b=9x一4，所以k=9, 解 数f(x)的解析式是()。 kb+b=-4, A.f(x)=x2+2x+2,x≥0 得k3, k=一3， 或《 B.f(x)=x2+2x+2,x≥-1 b=-1 因为f(0)=b>0,所 b=2。 C.f(x)=x2-2x+2,x≥0 以=一3·可得f(x)=一3x十2，A正确，B D.f(x)=x2-2x十2，x≥-1 b=2, 解：f(x2-1)=x1+1=[(x2-1)+1] 错误。由g[f(x)]=9x2得g(一3x十2)= 十1，且x2-1≥-1。令x2-1=t,t=x21 9e,令-3x十2=，即x-2写，则84)= ≥一1，则x1=(t十1)”，整体代入得∫(t)= (t+1)2十1=t2十2t十2，t≥一1，所以函数 9×(2写)=2-4+4，所以g(x)=x f(x)=(x十1)2+1=x”+2.x+2,x≥-1。 4x十4，C正确，D错误。应选AC。 应选B。 体验：已知函数的类型（如一次函数、二 体验：利用换元法求函数的解析式，要注 次函数等)求解析式时，先设出含有待定系数 意新元的取值范围。 的解析式，再将已知条件代入，建立关于待定 方法四：方程组法求函数的解析式 系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应 例4已知函数∫(x)满足∫(x)十 的系数即得结果。 方法二：配凑法求函数的解析式 f()-1+x,则fx)=一 赏2已知f(e+)=+是+4，则 解：已知f(x)+f(1已)-1+x① f(x)=()。 A.x2+2 B.x2-2 用已替换x得（已）+f()=1+ Cx+lx≥2)D.x+21x1≥2) 己@.同理用替换x得()十 解：由题意得x≠0。因为f(x十） f(x)=1+x-] ③。①②两式相诚得 x+是+4-(+）)+2，且x+2≥ fx)-f()=x-已 ④。③④两 21 中学生数理化高数学2026年1月 知识结构与拓展 式相加得2(x)=x一己+1+，所 1 方法七：赋值法求函数的解析式 例7已知函数f(x)满足f(x十y)= 1 以x)221=+12 f(x)+(y)十2xy,若f(1)=1,则f(25)= ( )。 体验：利用方程组法求函数的解析式的 A.25 B.125 关键是替换x,利用得到的方程组消元即可。 方法五：由奇偶性求函数的解析式 C.625 D.15625 例5已知函数f(x)是定义域为R的 解：（方法1）由题意取x=n(n∈N“), 偶函数，当x≥0时，f(x)=x2一x。求函数 y=1,可得f(n+1)=f(n)+f(1)十2n。所 f(x)的解析式。 以f(n)=f(n-1)+f(1)+2(n-1), 解：设x<0,则一x>0。因为当x≥0 f(n-1)=f(n-2)+f(1)+2(n-2), 时，f(x)=x2一x,所以f(-x)=x2十x。 f(n-2)=f(n-3)十f(1)+2(n-3),…, 又因为∫(x)是定义域为R的偶函数，所以 f(2)=∫(1)十f(1)+2×1。上面累加可得 f(一x)=f(x),所以f(x)=x2+x。 f(n)=nf(1)十n(n-1)=n+n(n-1)=n2, |x2+x,x<0, 即f(n)=n,所以f(25)=625。应选C。 故函数f(x)= x2-x,x≥0。 (方法2)令x=y=1,可得f(2)=4。令 体验：利用奇偶性求函数解析式的关键 x=y=2,可得f(4)=16。令x=y=4,可 是设出所求区间的自变量x≥0或x≤0，结 得f(8)=64。令x=y=8,可得f(16)= 合奇偶性即得函数的解析式。 256。令x=8,y=16,可得f(24)=576。令 方法六：由对称性求函数的解析式 x=1,y=24,可得f(25)=625。应选C 例6下列函数中，其图像与函数y= (方法3)构造函数f(x)=x2,显然有 f(2x一1)的图像关于直线x=1对称的 f(x+y)=(x+y)2,f(x)=x2,f(y)=y2, 是()。 故满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,从而 A.y=f(-2x-1) 易得f(25)=625。应选C。 B.y=f(-2x+1) 体验：当题中所给变量较多时，往往可以 C.y=f(-2x+3) 对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具 D.y=2-f(2x-1) 体化、简单化，从而可求得函数的解析式。 解：设y=f(2x一1)的图像为曲线C1, 感悟 该曲线关于x=1对称的曲线为C,。设曲线 C1上任意点的坐标为(xo,y。),则y。= 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+ f(2x。一1)。该点(x。,y0)关于直线x=1对 y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,则 xo十x f(2024)=()。 1 称点的坐标为(x,y),所以 2一’即 A.0 B.1 y=y0 C.2024 D.2025 =2-x'代入y,=f(2x。-1)得函数y 提示：令x=y=0,可得-2f(0)=一2， yo=y, 所以f(0)=1。再令x=0,可得f(y)一 f[2(2-x)-1],即y=f(3-2x)。应选C。 2f(-y)+f(0)-2f(y)=y-2,即-f(y) 体验：若函数y=f(x)的定义域为R,则 一2f(一y)=y一3。将上式中的y全部换成 函数y=f(a十x)与y=f(b一x)的图像关 一y得-f(-y)-2f(y)=-y-3。据上消 于直线x= a对称；若函数y=f(x)的定 去f(-y)得f(y)=y+1,即f(x)=x+1, 2 所以f(2024)=2024十1=2025。应选D。 义域为R,则函数y=f(a十x)与y=c 作者单位：陕西省洋县中学 w-)的图像关于点作22，合)对称。 (责任编辑王琼霞) 22