函数的对称性赏析-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

中学生款理化实皱种与拓质年1月 函数的对称性赏析 ■张付坤 李晓茹 函数的对称性体现了数学的对称美，函 f(-x)=sin(-x) sin(-r)=（ sin 数的对称性可分为自对称和互相对称。自对 称是函数图像自身关于某一条直线或某一个 1)=一fx),且定义域关于原点对称，所 sin a 点对称，如y=关于坐标原点对称互相对 以f(x)是奇函数，所以函数∫(x)的图像关 称是两个函数图像关于某一个点或某一条直 于原点中心对称，B错误。因为f(2π一x)= 线对称，如y=2与y=1og2x关于直线y= sin(2x-x) 1 sin(2x-r）=-(sinx+ x对称。 一、自对称中的轴对称问题 品)≠x)所以r2x-)≠).可知 例1已知函数f(x)=sinx十 1 ,则 f(x)的图像不关于直线x=π对称，C错误。 sin x ( )。 A.f(.x)的最小值为2 网后小号计传司 B.f(x)的图像关于y轴对称 C.∫(x)的图像关于直线x=π对称 =cox+o3文f(号-)=in(经-十 D.f()的图像关于直线x=受对称 sin(g-x)】 cosx+03x即/（匠+x） 解：由sinx≠0，可得函数∫(x)的定义 域为{x|x≠kπ，k∈Z},即定义域关于原点对 f(受-x)小，且定义域为xx≠元，k∈Z,所 称。设sinx=t,则原函数等价于函数y 以函数f(x)的图像关于直线x-乏对称，D +∈[-1,0)U(0,1.由对钩函数的 正确。应选D。 图像与性质得y≤一2或y≥2，A错误。因为 点评：若函数f(x)关于x=a对称，则函 降幂的方法处理，降幂并非绝对，有时也需要 cos'a-sin 2a cos a2sin acos a 3 升幂。解答本题的关键是利用降幂，化简三 sin a+cos'a 10,所 角函数解析式，再利用整体法求解。 以-2tane-3 tana十i=0,可得3tana十20tana 视角四：变换常数 1 例4若a∈（受x),且cosa-sin2a 7=0,解得tana=-7或tana=3。 ,则tana=( 3 )。 又a∈（受，），所以tama=一7。应选A. 点评：解答本题主要利用了弦切变换及 A.-7BC.-D-7成号 sin'a十cos2a=1的逆向变换。 作者单位：江苏省盐城市学富实验学校 解析：因为cosa一sin2a=0,所以 (责任编辑王琼霞) 16 高一数型识施物卓骨中学生表理化 数f(x)满足f(a十x)=f(a-x)。上式中令 A.关于直线x=1对称 t=a-x得f(2a一t)=f(t),即函数f(x)关 B.关于直线x=3对称 于x=a对称等价于(x)=f(2a一x)。 C.关于直线y=3对称 二、自对称中的中心对称问题 D.关于点(3,0)对称 例2（多选题）下列函数图像是中心对 解：设P(xo,yo)为y=f(x十2)图像上 称图形的是()。 的任意点，则y。=f(x。+2)=f[4-(2 A.f(x)=2x2+1 x)],所以点Q(2-x。,y)在函数y=f(4 B.f(x)=(x+2) x)的图像上。而点P(x。,y)与点Q(2 C.f(x)=2.x+1 x,yo)关于直线x=1对称，所以y=f(x十 x-1 2)与y=f(4-x)的图像关于直线x=1对 x(1+x),x≥0， 称。应选A。 D.f(x)= x(1-x),x<0 点评：利用函数值相等将自变量统一用 解：对于A,显然f(x)关于y轴对称，无 x。表示是解题的关键。 对称中心。对于B,函数f(x)=(x十2)可 四、互相对称中的中心对称问题 看作是将函数y=x3的图像向左平移2个单 例4已知函数f(x)和g(x)的图像关 位长度得到，而y=x3关于原点中心对称，所 于原点对称，且∫(x)=x2十2x。 以函数f(x)=(x十2)关于点（一2,0）中心 (1)求函数g(x)的解析式。 对称，B正确。对于C,f(x)=2r+1 x一1的定义 (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|。 解：(1)设函数y=-f(x)图像上的任意 域是{xx≠1}，因为f(2-x)=2C2-x)十1 点为Q(x。,y。),点Q关于原点的对称点为 (2-x)-1 P(x,y),则点P在函数g(x)的图像上，且 =52=4一f(x),所以函数f(x) 1-x xo十x 2 0， 2x+1 一-1的图像关于点(1,2)中心对称，C正确」 满足 所以x。=一x,y0=一y。 yo+y =0, 2 对于D,函数f(x)的定义域为R且f(0)= 因为任意点Q(x。,y。)在函数y=f(x) 0,当x>0时，一x<0,f(-x)=-x(1十x) 的图像上，所以yo=x十2xo,所以一y= =f(x),当x<0时，一x>0,f(一x)= (一x)2一2x,即y=一x2十2x,所以函数 一x(1一x)=-f(x),所以函数f(x)为奇 函数，其图像关于原点中心对称，D正确。应 g(x)=-x2十2x。 选BCD (2)由g(x)≥f(x)-|x-11,可得 2x2-|x-1≤0。当x≥1时，由2x2-x十 点评：若函数f(x)关于点(a,0)中心对 称，则f(x)满足f(a十x=一f(a一x)。上 1≤0，可知不等式无解；当x<1时，由2x2十 式中令t=a-x得f(2a-t)=-f(t),即函 x-1≤0，解得-1≤x≤2· 数f(.x)满足f(2a-x)=一f(x)等价于 f(x)关于点(a,0)中心对称。比较发现，轴 故不等式的解集为女一1≤x≤ 对称和中心对称在满足的关系式上仅差一个 点评：利用中心对称求函数解析式的关 负号，例如：若函数f(x)满足f(2a一x)= 键是利用中点坐标公式建立已知函数与所求 2b一f(x),则f(x)关于点(a,b)中心对称。 函数坐标间的关系；解绝对值不等式的关键 三、互相对称中的轴对称问题 是分情况去掉绝对值符号。 例3已知函数∫(x)是定义域为的 作者单位：1.河南省光山二高 函数，则函数y=f(x十2)的图像与y= 2.河南省鄢陵一高 f(4一x)的图像()。 (责任编辑王琼霞) 17