指数函数中的双变量大小问题中的一题多解”&浅析三角恒等变换中的变换视角-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

中学生表理化架识结掉与新层年1月 指数函数中的双变量 大小问题中的 题多解” ■谈玉婷 题目(2024年高考北京卷)已知(x1, y1),(x2,y2)是函数y=2图像上不同的两 点，则下列不等式正确的是( )。 A.logy十y>x十x 2 2 B.log2 y1十y2x1十x2 2 2 C.1og,>x1十 2 D.log2 y+y2<x1十x 2 解法1：（对数函数、指数函数的单调性 十赋值法)由基本不等式及对数函数的单调 性可判断A,B;利用赋值法可判断C,D。不 妨设x1<x2,x1,x2∈R,因为函数y=2是 增函数，所以0<2<2，即0<y1<y2。对 于A,B,由 2十2 2>2·2=2,可 2 1+ 得y1十义>2一>0，结合函数y=10gx单 2 _十x2 调递增得1og,y十y>1og:2兰 2 2 A正确，B错误。对于C,不妨取x1=0,x2= 1,则y1=1,yg=2,可得1ogy十y业 2 1og是∈(0,1)，即1og4兰<1=1十 3 2 x2,C错误。对于D,不妨取x1=一2，x2= -1,结合y=2得1=子，：=分，所以 ”=log吾=1g:3-3∈（-2， 3 log: 2 二1)，即1og222>-3=x1十x2,D错误 应选A。 14 解法2：（对数函数、指数函数的单调性十 作差法)利用作差法，结合指对数互换及对数 函数的单调性即可判断。不妨设x1<x2,对 于A,B,由题意得1og2 ”-)- 2 24十2 log, -1og,2=1og 21+29 2 x1十2 2·22 1 10g:2(2+2)>10g1=0,A正确，B 错误。对于C,D,由题意得1og,十y 2 （x1十x2)=log2 y1十y2 2 -(log2y1+log2y2 =1侵+)注意到当 =log:2y1y2 >0>0且y≠时(+品)与1 的大小不确定，即上十1与2的大小不确定， 因此C,D不正确。应选A。 解法3：（赋值法十排除法）利用函数y= 2,取不同的特殊值代入选项即可判断。不 1x1=一1， {x2=0, 妨设x1<x2,依题意取 1 代 y1=2,y=1, 入各选项检验得10g,十业>十成立， 2 2 log: y十业>x1十x2成立；依题意取 2 x1=0,{x2=1, 代人各选项检验得 y1=1,y2=2, 十y>十L成立，10gyy< log? 2 2 2 x1十x2成立。综上得A成立。应选A。 解法4：（数形结合法）利用指数函数图 像的凹凸性即可判断。作出函数y=2的大 致图像（图略）。 十2 由图可知，十业>2平，两边取以2 2 为底的对数得1g十少>十。应 2 2 选A。 作者单位：江苏省南通田家炳中学高中部 (责任编辑王琼霞) 青一数华识结纳军析贤中学生款理化 浅析三角恒等变换中的变换视角 ■何美干 在三角恒等变换中，离不开三角公式，如 2a 两角和与差的公式、二倍角公式、辅助角公式 等，通过变换三角函数式中的角、函数名称、 解析：因为in(a一)=3，所以cos(任 式子结构，以消除差异，达到化“未知”为“已 知”，化“复杂”为“简单”的目的。下面结合例 2a）=cos(2a-F)=cos[2(a-8)】=1 题，浅谈三角恒等变换中的变换视角。 视角一：变换角 2aim(。-香）-1-2x日子 例1已知a,B为锐角，tana=3,cos(a 4 点评：三角恒等变换中，不同函数名称需 要化为同名函数，如化切为弦、化弦为切、变 +B)=一 59 异名为同名等，这样有利于问题的解决。 视角三：变换次数 (1)求cos2a的值。 (2)求tan(a-B)的值。 例3函数f(x)=sinx十√3 sin xcos x 解析：(1)因为ana=专，又1ana 的图像在[0，m)上恰有两个最大值点，则 sinm的取值范围为一。 sina,所以sina= 4 cos a 3 cos a. 解析：函数f(x)=sinx十√3 sin xcos x 又因为sina十cos2a=1,所以cos2a= 2(1-cos2.x)+ 2 sin 2x sin (2x- 7 25,所以cos2a=2cosa-1=-25 )+2.由x∈[0，m),可得2x-吾∈ (2)由a,B为锐角，可得a十B∈(0，π)。 因为cos(a十B)= ，所以sin(a+B)= √5 [石2m-吾）.因为函数f(x) -cos(a+D-2y5,所以na十8) sin(2x-君）+之的图像在[0，m)上恰有两 个最大值点，所以2m一 sin(a+8) 吾∈(，]，即 -2。 cos(a十B) 又因为tana= 3,所以tan2a= n(传，，所以m【1] 2tan a 7,所以tan(a-B)=tan[2a 2 或者，由sin(2x-)=1,可得2x-8 6 1-tan'a tan 2a-tan(a+B) =2x十受，k∈Z,即x=kx十子，k∈Z。当 x>0时，函数∫(x)的第一、二、三个最大值 点评：进行角变换时，通过仔细观察，明 确题目中各个角之间的差异，将各个角进行 点分别是行，受。因为函数f)在0. 拼凑，使二者为“和”“差”“倍”“半”等关系，将 已知角向所求角靠拢，这样便于明确解题的 m)上恰有两个最大值点，所以誓<m≤径， 目标，实现问题的圆满解决。 所以sinm∈ 视角二：变换名称 点评：升幂与降幂是三角恒等变换的常 例2若sin(。-)-子，则cos(任 用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用 15 中学生款理化实皱种与拓质年1月 函数的对称性赏析 ■张付坤 李晓茹 函数的对称性体现了数学的对称美，函 1 f(-x)=sin(-)+ sin(-)=-（ sin 数的对称性可分为自对称和互相对称。自对 称是函数图像自身关于某一条直线或某一个 1）=一f(x),且定义域关于原点对称，所 sin 点对称，如y=关于坐标原点对称互相对 以f(x)是奇函数，所以函数∫(x)的图像关 称是两个函数图像关于某一个点或某一条直 于原点中心对称，B错误。因为f(2π一x)= 线对称，如y=2与y=1og2x关于直线y= 1 sin(2π-x)+ sin(2x-x)=-(sin x+ x对称。 一、自对称中的轴对称问题 品)≠x)所以r2x-)≠).可知 例1已知函数f(x)=sinx十 1 ,则 f(x)的图像不关于直线x=π对称，C错误。 sin x )。 A.f(x)的最小值为2 网后小号计传可 B.f(x)的图像关于y轴对称 C.∫(x)的图像关于直线x=π对称 =cox+o3文f(号-)=in(经-十 1 D.f(x)的图像关于直线x=受对称 sin(2-x） cosx+03z即f(匠+x） 解：由sinx卡0，可得函数f(x)的定义 域为{x|x≠kπ，k∈Z},即定义域关于原点对 f(受-x)小，且定义域为xx≠x,k∈Z,所 称。设sinx=t,则原函数等价于函数y 以函数f(x)的图像关于直线x-乏对称，D +∈[-1,0)U(0,1.由对钩函数的 正确。应选D。 图像与性质得y≤一2或y≥2，A错误。因为 点评：若函数f(x)关于x=a对称，则函 降幂的方法处理，降幂并非绝对，有时也需要 cos'a-sin 2a cos'a 2sin acos a 3 升幂。解答本题的关键是利用降幂，化简三 sin'a++cos'a 10,所 角函数解析式，再利用整体法求解。 以】-2tane-3 ana十1=0，可得3tana十20tana 视角四：变换常数 1 例4若a∈（受x),且cosa-sin2a 7=0,解得tana=-7或tana=3。 ,则tana=( 3 又a∈（受，），所以tama=-7。应选A. 点评：解答本题主要利用了弦切变换及 A.-7B.C.-7D.-7成号 sina十cosa=1的逆向变换。 作者单位：江苏省盐城市学富实验学校 解析：因为cosa-sin2a-0,所以 (责任编辑王琼霞) 16