糖水不等式及对数型糖水不等式的应用&三角恒等变换中的“一题多解”-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

中学生教理化高数学026年1月 知识结构与拓展 糖不等式及对楼数型糖水不等式的应用 ■胡贵玺 一、糖水不等式 C. a(c-a)b(c-a) 若a>b>0,m>0,则一定有 b+m、b a+m a D.ab+c2-ac+bc 通俗的理解为ag的不饱和糖水里含有bg 解：对于A,因为0<a<b<c,所以c一a 糖，糖水的浓度为 6 ,往糖水里面加人mg a >6-a>0则，。<。A错误。对于 糖，糖水的浓度为 b+m ,这时糖水更甜，则 B,由么>b士，可得b(a十c)>ab+c),即 十m aa+c b十mb bc>ac,所以b>a,B正确（实际上，选项B a+m a 是糖水不等式的倒数形式)。对于C,由 证明如下：易得b十一 b aa>6ca可得日>石，所以6> 1 1 a-m a a a(h十m)-b(a十m)_m(a-b) a,C正确。对于D,由ab十c>ac十bc,可得 a(a十m) a(a十m) c(c-b)-a(c-b)>0,所以(c-a)(c-b)> 由a>b>0,可得a一b>0。因为m>0, O,D正确。应选BCD。 所以a十m>0,所以m(a-b) aa十m二0，所以 二、对数型糖水不等式 设a>b>1,m>0,则一定有logb< b+m >0,所以+m>b am a a十m a 1oge+m(b十m)。 拓展：糖水不等式的倒数形式，设a> 证明如下：由a>b>1,m>0,可得1ga 6≥0，m≥0，则会≥8+ >0,1gb>0,lga+严>0，am>bm,所以 a 例1设△ABC的三边长分别为a,b, gb+1ga十m lg ba tbm e证明6中。<2。 10g,6=Ig b Ig a 1ga+1ga十m lg a(a+m) a 解：已知△ABC的三边长分别为a,b,c, baam 则a十b>c,a十c>b,b+c>a。由糖水不等 a 1g(b+m) =log+m(b十m)。 式得6<6<什 1g(a+m) a =lg(a十m) 特别地，设n∈N“,且n>1,则logn+1n< b+b 1ogm+2(n+1)。 a十b十。，不等式两边分别相加得。千 + 拓展：对数型糖水不等式的倒数形式，设 a十b ctc+a+a十b+b a>b>1,m>0,则1og6a>log+m(a十m)。 b+c a+ca+b+c a+b+c a+b+c 例3比较大小：1og,4与10g6。 b∠2 =2,所以a千6+6开+十 解：（方法1）因为1og4= 1n4 1n7 例2（多选题）已知实数a,b,c满足 1n4十ln7 36 1n7 42 0<abc,则下列说法正确的是()。 1n7 11 9 In7+in7 1n9 ∠1n9 =1og6,所以 A.c-ab-a B.c 1og4<1og6。 aa十c (方法2)因为1og:4一1og6=(1og,4一1) 6 高一数型识施物卓杯骨中学生教理化 -(lo8,6-1)-log:log.log 4 解：（方法1）利用对数型糖水不等式的 倒数形式求解。因为9m=10,所以m= 1og,9=1og9<0,所以1og,4<1og6 1og10。由对数型糖水不等式的倒数形式得 例4已知55<84,131<8，设a= m=log 10>log1o11=Ig 11,m=log,10< 1og9。所以a=10"-11>10w1-11=0, log:3,6=l0gs5,c=10g138, )。 A.a<b<c B.b<a<c b=8m-9<8%9-9=0,所以a>0>b。应 C.b<c<a D.c<a<b 选A。 1n3 (方法2)利用糖水不等式求解。 解：（方法1）a=1og:3= 1n5 由9m=10,可得m=1og10,所以m= In 3+In 5 24 0 100 In5 In 5 =108s5=b,a= In 3 1g10 1g10+1g9 1g9 100 In 5+In5 1n8 In 8 1n5 1g9 10 1g10 =1g 1g9+1g 9 In 3+in5 13 39 1g11,所以m>1g11,所以a>101-11=0, =log18=c,利 13 In 5+1n =1n131n13 1g9+1g8 5 即a>0。又log9= 1g 9 Ig 8 9 用排除法，可知应选A。 1g 8+1g 8 (方法2)由55<8，可得1og55<1ogs8, 81 1g81g10 所以b≤4。由13≤8，可得1oga13S 1g9 1g9 =1og10=m,所以m<1ogs9,所 以b=8m一9<8’一9=0，即b<0。综上可 1og8,所以e>号，所以b<c。若1og3≥ 得，a>0≥b。应选A。 log5,则1og3log8≥1，显然1og3log8 1og3+1og:8)2 2 2 利用糖水不等式的原理，解答下列问题。 1,所以1og3≥log5不成立，所以a<b成 混合糖水问题：把原来的糖水（淡）与加 立。综上所述，a<b<c。应选A 糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水比 (方法3)由题意可知a,b,c∈(0,1)。因 淡的浓，比浓的淡。你能得到怎样的不等式？ 为号 log;3 1g31g8 1 提示：设原有一杯不饱和的糖水bg,含 logs5 1g 5 1g5 (1g5) 1g3+1g8)2 1g3+1g812 1g24」2 1, 有糖ag,糖水的浓度为公，另一杯不饱和的 2 21g5 1g25 所以a<b。 糖水dg,含有糖cg,情水的浓度为后，且满 由b=1og5得8=5，由55<81得86< 足 8,所以56<4，即6<号由c=1og8得 名<行（两杯楷水的浓度不同），两杯糖水 13=8,由13<85得13<13，所以5c>4, 混合后，浓度为十台，可以得到的不等式为 即c>号，所以c>b 号<8行<导（其中6>a>0,d>c>0且 综上所述，a<bc。应选A。 例5已知9"=10，a=10m-11,b= 号<宁)。所以混合后精水浓度介于原来两 8m一9，则( )。 杯糖水的浓度之间。 A.a>0>b B.a>b0 作者单位：甘肃省天水市麦积区天成学校 C.b>a>0 D.b>0>a (责任编辑王琼霞) 中学生款理化实皱种与拓质年1月 三角恒等变换中的 +) 0,所以2tan(20+)+an(0+ )=0,所以 2 tan 20 tan =0,即an0-1 tanθ 题多解” tan日=0，可得tan'0=2,所以tang= 1 一V2,则sin日 =-√2，即sin0=-√2cos日。 cos 0 ■刘有生 又sin0+os0=1,所以sin0=号 题多解”不仅能帮助同学们深入理解 由an0=-E及g∈(-晋，石)知9∈ 所学知识并熟练运用公式解决问题，还能显 著提升思维的灵活性与创新能力。 （一o,所以sn=一，即n。 题目若0<a<受，且2an(2a一若)十 √ 3。 应选C。 tan(e+晋）=0，则sim(a-）-( )。 解法3：由题意令日=&一否，y=a十云（双 A.3 3 c D 换元)，则月十7=2如一石。根据题设条件得 分析：“给值求值”中角的沟通常用换元 法，令月=a十晋，令&-晋=0，令日=a- 2tan(g+y)+tany=0①。因为y=a+ 6 Y=a+- ,可得到三种解法。 。-+-+受，所以tamy=tam(+） 1 tan 8+tan y 结合①得2×-tan Btan 7 tan 1 解法1：令日=a+石，即a=日-吾，则 tang。 1 2tan(2a-）+tan(a+若）=2tan(2g 1 =0,所以2× tanB一tanE P lan月=0，即 )+anB= -2cos 28 sin B sin 28 cos B tan B= 品a可得1am3=2,所以sinB=号， -2cos 28+2sin'B2(3sin'B-1) 2sin Bcos B sin 28 =0,所以 sin'B=- 由0a<受，可得晋<A<:所 即n=上 以一<所以吾<<所以 由0<a<受，可得-<&-<若，所 osB=后故sn(a爱)=n(日吾 以simg=sim(。-晋)∈(，），所以 )）-sma-）=-cosg=-5,应选C sng=sin(。一吾)=-5。应选C 解后反思：深入探究三角恒等变换中的 解法2：令a- =0，则a=0十，且 一题多解，多角度、多视角思考和分析问题， 3 可以不断提升数学的运算能力和创新能力， 0e(否，）.可得am9e(-5,5) 不断提高数学学科核心素养。 由题设得2am[2(g+)-]+an(a时 作者单位：甘肃省成县第一中学 (责任编辑王琼霞) 8