集合，常用辑用语与函数的典型问题聚焦&巧用两边取对数法解题-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

高一数型识施物卓骨中学生表理化 集合、常用逻辑用语与函数的典型间题聚焦 ■陈敏 一53m-2-3, 且A∩B≠心，所以 或 3m-2<2m+2 集合、常用逻辑用语与函数是高中数学 1-5<2m+2≤-3， 2m+2>-3, 的基础内容。下面精选典型例题，聚焦基本 或33m一2<-5， 据 3m-2<2m+2 概念与解题思路，帮助同学们构建知识体系， 3m-2<2m+2。 提升综合应用能力。 一、集合与常用逻辑用语 上解得一1≤m<一子或-名<m≤一多成 例1已知集合A={x|x2十8.x十15≤ <m<-1,所以-名<m<子，即当 5 0},B={x|3m-2<x<2m十2}。 (1)若A∩B≠必，求实数m的取值范 AnB≠时，-子 3,所以实数m 围。 (2)若将题中的集合B改为B={x|2m 的取值范围为m一2 17 m<- 3/ 十1≤x≤3m一2}，问是否有可能使命题p: (2)若B={x|2m十1≤x≤3m-2}, “Vx∈A,都有x∈B”为真命题，请说明理 A={x|一5≤x≤-3}，对Hx∈A,都有x∈ 由。 12m十1≤-5， 分析：(1)可以利用正难则反的方法求 B,则A三B,所以 解得 3m-2≥-3， 的取值范围，也可以根据A∩B≠必列不等 1m一3， 式求m的取值范围；(2)由A三B,结合包含 1可知该不等式组无解，故命题p: m≥- 关系，分类列不等式求解。 3, 解：(1)（方法1）易得A={x|一5x “Hx∈A,都有x∈B”为真命题是不可能的。 -3},B={x|3m一2<x<2m十2}。假设 评注：第(1)问有两种方法，即正难则反 A∩B=②，可分两种情况求m的取值范围。 法与直接讨论求解，在处理含参数集合的包 当B=⑦时，由3m-2≥2m+2,解得m≥4， 含问题时，要考虑周全，避免漏解。第(2)问 这时A∩B=财；当B≠心时，由 将所求问题转化为集合间的包含关系，通过 3m-22m+2, 或/3m-2<2m+2, 不等式无解即可判断命题为假。 解得 2m+2≤-5 3m-2≥-3， 二、一元二次函数和不等式 2或、 3≤m<4,这时A门B=g。 例2已知二次函数y=ax2十b.x十c的 图像与直线y=一4有且仅有一个公共点，且 综上可得，当m≤-子或m≥-号时，A门 不等式a.x2十bx十c≤0的解集为[-1,3]。 (1)求此二次函数的解析式。 B=⑦」 (2)若关于x的不等式ax2十b.x十c< 由补集原理可知，要使A∩B≠⑦，则 (m一1)x一m一3的解集中恰有一个正整数， 7 2<m< 3,即实数m的取值范围为 求实数的取值范围。 1 (3)对Hm∈[0,2]，不等式ax2十bx十 m 3/。 c<(m一2)x恒成立，求实数x的取值范围。 (方法2)由题意得集合A={x|一5≤ 分析：(1)根据题设条件得a>0,由一1， x-3},集合B={x3m一2<x2m+2}, 3是方程ax2十bx十c=0的两个根，结合顶 3 中学生数理化高数学2026年1月 知识结构与拓展 点坐标即得函数的解析式；(2)通过分类求解 增，则下列说法正确的是( ）。 不等式，确定实数的范固；(3)利用主元 A.f(2)=2 法，求满足条件的实数x的取值范围。 B.f(x)为周期函数 解：(1)由不等式ax2十bx十c≤0的解集 C.f(2026)=0 为[-1,3]，可得a>0且-1,3是关于x的 D.f(x)在(10,12)上单调递增 方程ax2十bx十c=0的两个根，所以ax2+ 分析：由f(2十x)十f(2一x)=0,确定 bx十c=a(x十1)(x一3)，所以函数y=a.x2 函数图像关于点(2,0)对称，再结合奇偶性与 十bx十c的图像开口向上，其对称轴为x= 单调性即可逐个判断。 一1十3=1。而该图像与直线y=一4有且 解：由f(2十x)+f(2-x)=0,可得 2 f(x)的图像关于点(2,0)对称。对于A,由 仅有一个公共点，所以函数y=a(x十1)(x 函数f(x)的定义域为R,满足∫(2十x)十 一3)图像的顶点坐标为(1，一4)，代入方程得 f(2一x)=0,令x=0,可得f(2)=0,A不正 一4=一4a,解得a=1,所以二次函数的解析 确。对于B,由f(x)是偶函数，f(2十x)十 式为y=(x十1)(x一3)，即函数y=x2一 f(2-x)=0,可得f(4十x)=-f(一x)= 2x-3。 一f(x),f(8十x)=一f(4十x)=f(x),所 (2)由(1)知不等式ax2+bx十c<(m 以f(x)的一个周期为8，B正确。对于C,由 1)x-m-3,即x2一2x-3<(m-1)x 周期性和奇偶性得f(2026)=f(8×253+ m一3，整理得x2一(m十1)x+m<0,所以 2)=f(2)=0,C正确。对于D,由f(x)是偶 (x-1)(x-m)0。 函数且f(x)在（一2,0）上单调递增得∫(x) 依题意得不等式(x一1)(x一m)<0的 在(0,2)上单调递诚，由∫(x)的图像关于点 解集中恰有一个正整数，则m≠1。当m<1 (2,0)对称得f(x)在(2,4)上单调递减，由 时，解得m<x<1,即不等式的解集为(m, f(x)的周期为8得f(x)在(10,12)上的单 1),此时解集中不含正整数，舍去；当m>1 调性与在(2,4)上的单调性相同，所以f(x) 时，解得1<x<m,即不等式的解集为(1， 在(10,12)上单调递减，D不正确。应选BC。 ),要使解集中恰有一个正整数，需满足2< 评注：本题以抽象函数为依托，主要考查 m3。 函数的奇偶性、对称性与周期性。解题的关 故实数m的取值范围是(2,3]。 键思路是“抓性质、寻关联、巧转化”。 (3)对Vm∈[0,2]，不等式a.x2+bx十c (m一2)x可化为x2-2x一3<(m-2)x,即对 感悟Q Hm∈[0,2]，不等式m.x-x2十3>0恒成立。 已知函数f(x)=4十a|2一1|(a∈ 令函数g(m)=m.x一x2十3，m∈[0,2]，需满 R)。若存在x。∈[1,2]，使得f(xo)≥1，求 足g0)=x+3≥0：。解得-1<x<5, 实数a的取值范围。 g(2)=2x-x2十3>0， 提示：当x∈[1,2]时，22≤4，即1 所以实数x的取值范围为（一1，√3）。 2一1≤3，则f(x)=4"十a(2"一1)。由题意 评注：本题融合了二次函数、不等式及恒 得f(x)=4十a(2-1)≥1在x∈[1,2]上 成立问题，解题主要运用数形结合、分类讨论 有解，即a(2-1)≥1-4=(1+2)(1-2) 和主元法，充分体现了数学核心思想与方法 在x∈[1,2]上有解，所以a≥一(1十2)在 的应用。 x∈[1,2]上有解。因为函数y=一(1十2) 三、函数的概念与性质 在x∈[1,2]上的最小值为一5，所以a≥一5， 例3（多选题）已知函数∫(x)是定义 即实数a∈[-5，十∞)。 在R上的偶函数，若∫(x)满足∫(2十x)+ 作者单位：江苏省无锡市第六高级中学 f(2一x)=0,且f(x)在（一2,0）上单调递 (责任编辑王琼霞) 高一数识施物卓杯骨中学生教理化 一、求值 例1(1)根据有关资料，围棋状态空间 复杂度的上限M约为31，而可观测宇宙中普 巧用两边飘对数法解题 通物质的原子总数N约为10”，则下列各数中 与兴接近的是一。（参考数据：lg8048 ■张振继（特级教师） A.109B.105 C.108D.10 2求值7·（侵）》 (2)通过多少块玻璃板以后，光线强度减 解：设：兴-器商g=当 弱到原来的号以下？（参考数据：g3≈ 0.4771) 1gM-1gN=361lg3-80≈93.28，所以x≈ 解：(1)由已知条件得y=a(1一10%) 10,即最接近10。应选D. (x≥1，x∈N)。 (2)设N=7g20· ,两边取常用 (2)由题意得a1-10%)≤3a,两边 取常用对数得1g(品)广≤g号即1g≤ 9 对数得1gN=1g20·1g7+1g0.7·1g2 1 1 (1+1g2)·1g7+(1g7-1)·(-lg2)=1g7 9 g3 +1g7·1g2-1g21g7+1g2=1g14,所以 1g3。因为1g0<0,所以x≥ 9 g10 N=14,所以7·（侵） =14。 -1g3 21g3气≈10.4。取x=11,故通过11块玻 二、解方程 例2设函数f(x)=a立(a>0,a≠ 璃板以后，光线强度减弱到原来的子以下。 1),且满足f(1ga)=√10，求a的取值范固。 四、求参数的取值范围 例4若2r<2a+1对任意的x∈[0,1] 解：由f1ga)=√0，可得a立=0， 成立，则正数a的取值范围是。 两边取常用对数得(ga一）lga=1gV而= 解：由22r<2a+1,可得22x-1<a+1,两边 取常用对数得(2x一1)lg2<(x+1)1ga,即 3,所以ga)-3ga令-0，所以1ga 4 -lg(2a)<0。设函数f(.x)=xlg 1或1ga=2,解得a-10或a= f(0)0, 10 -lg(2a)。由f(x)<0,可得 即 .f(1)0, 或者，由a=0,可得1ga 2 -lg(2a)<0, 4 解得a>√2，故正数a的 log。√0=lg√0 ,所以(1ga)2- 1 1ga-lg(2a)<0, lg a 取值范围是（√2，十∞）。 、号=0。由此解得a=10或a=0小 10。 三、解不等式 或者，由21<a+,可得a>2号 例3光线每通过一块玻璃板，其强度 2京，x∈[0,1门。因为g(x）=2市在[0， 要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起 1]上为增函数，所以g(x)mx=g(1)=√2，故 来，设光线原来的强度为a,通过x块这样的 正数a的取值范围是（√2，十∞）。 玻璃板以后的强度为y。 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高中 (1)试写出y关于x的函数关系式。 (责任编辑王琼霞) 5