赋值法巧用，二项式妙解-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

赋值法巧用， ■江苏省扬州市江都区 赋值法是解决一些数学问题的一种特殊 技巧方法，其立足数学中恒等场景，利用参数 或变量的特殊思想与一般思想之间的关系， 合理选取对应的特殊值加以处理，进而由特 殊思想来解决一般性问题，最终实现问题的 巧妙突破。在解决一些相关的二项式及其综 合应用问题时，赋值法是其中的一个基本方 法，借助二项式成立所对应的恒等式加以特 殊值赋值，可以解决相应的二项式及其综合 应用问题。 一、系数和问题 基于二项式定理的应用场景，涉及一些 特殊项的系数和及其应用问题时，可以借助 赋值法，用来解决部分项、奇数项、偶数项、全 部系数和及一些特殊项的系数和等，经常利 用“0,1，一1”等特殊值的赋值法处理，结合对 应的运算技巧来求值或判断。 例1（多选题）已知函数f(x)=(1一 2.x)s=a0十a1x十a2x2+…十a6x8(a;∈R, i=0,1,2,…,6)的定义域为R,则()。 A.ao=1 B.a。十a1+a2十…十a6=-1 C.a1十a3十a5=-364 D.a2+a1+a6=364 解析：依题意，令x=0,可得a。=1,故选 项A正确； 令x=1,可得a0十a1十a2十…十a6= (1一2)=1①，故选项B错误； 令x=一1，可得a0一a1十a2一…十a6= (1+2)=3②，由①-②得2(a1十a十 a)=1-35,所以a1+a,+a:=13 2 一364，故选项C正确： 所以a2十a1十aB=(a。十a1+a2十…十 a6)-a。一(a1十aa+a5)=1-1-(-364)= 364,故选项D正确。 故选ACD。 帆赞数华题是器骨中学生教理化 顶式妙解 长桥高级中学王晓亮 ,点评：解决此类二项式中的系数和问题， 要根据所求系数和的类型加以差异化的赋值 处理。需要注意的是：特殊值“1”一般在全部 系数和中加以赋值应用，特殊值“一1”一般在 奇数项或偶数项的系数和中加以赋值应用， 同时要灵活进行整体思维及运算技巧。 二、参数值问题 基于二项式定理的应用场景，依托二项 式满足的条件（往往以关系式或方程等形式 出现)，合理利用赋值法处理，巧妙构建方程 来求解对应的参数值。 例2已知g(x)=(1十x)+(1+x) +…十(1十x)”=a0十a1x十a2x2十…十 amx”。若a1十a2十…十am-1=253一n,则n 的值为 解析：依题意，令x=1,可得g(1)=2十 22十…十2”=a0十a1+a2十…十am= 21-2）=2+1一2。又因为a。=n,a,=1, 1-2 所以n十a1十a2十…十am-1十1=2+1一2，故 a1十a2十…十am-1=2m+1-2-n-1=253- n,解得n=7。 故填7。 ,点评：解决此类二项式中的参数值问题， 是基于二项式所满足的条件或方程信息，利 用特殊值对变量加以合理赋值处理，巧妙构 建与参数相关的方程（组），给参数值的求解 与确定提供条件。 三、代数式问题 基于二项式定理的应用场景，结合二项 式中与系数相关的代数式及其相关问题，借 助对应代数式的含参形式、结构特征或运算 性质，巧妙联系二项式加以化归与转化，借助 特殊值的赋值与应用来求解代数式的值。 例3(1)已知(3-2x)1=a。十a1x十 a2x2十…十a11x1,则|a11+|a2|十…+|a11 的值为一。 15 中学生表理化学创新辞程膏 (2)设（√2+x)0=a0十a1x十a2x2+… 十aox°，则(a。十a2十a1十…十a1o)”-(a1十 a3十a5十…十a)2的值为 解析：(1)因为(3一2x)1的展开式的通 项为T+1=C1·3·(一2x)1-=(一2)1-· 3·C·x1-t,所以a0,a2,…,a10>0,a1, a3,…,an<0,故|a1+|a2|十…+a1|= (a2+a1十…十a1o)-(a1+a3+…十a1)。 令x=-1,可得a。一a1十a2-…-a11=(3 +2)l=51,即(a。十a2十a1十…+a10)-(a1 十a3十…十a11)=51。又因为a。=3,所以 |a:|+|a2|+…+|au|=[(ao十a2+a1+… +a16)-(a1十a4+…+a1)]-ao=51-3l。 故填51一31。 (2)依题意，令x=1,可得a。十a1十·十 a1o=(√2十1)1；令x=-1,可得ao-a1+a2 -…十a。=(√2-1)1°。故(a0十a2十a1十… 十a1o)2-(a1十a3十a5十…十am)2=(a0十a1 十a2十…十a1o)(a。-a1十a2一…十a1o)= (2+1)1°（√2-1）1°=1。 故填1。 ,点评：解决此类二项式定理场景下的代 数式及其综合问题，关键在于剖析对应代数 式的含参形式、结构特征或运算性质等，结合 赋值法及相关的技巧方法进行分析与求解。 四、恒等式问题 对于一些相关的恒等式问题，往往是基 于二项式定理及其对应的结构形式，通过特 殊值的赋值法处理，朝着所要求解或判断的 恒等式的结构特征与形式方向转化，实现与 恒等式相关问题的突破与求解。 例4计算：3”一C·3”1+C·3-2 +…十（一1）"-1·3C0-1十(-1)n·C0= 0 解析：已知二项式定理(a十b)”=Ca"十 Ca"-lb1+Ca"-2b2+…+Cmb"(n∈N*)。令 a=3,b=一1，代入二项式定理，可得C·3” 十C·3"-1·(-1)1+C2·3m-2·(-1)2十… 十C01·3·(-1)-1十Cg·(-1)"=(3 1)”=2”。所以3”一C·3”-1十C·3"-2+… 16 +(-1)"-1·3C01十(-1)”·C”=2"。 故填2”。 ,点评：解决此类二项式中的恒等式问题， 其立足于二项式定理，结合恒等式的特殊值 的赋值法处理，给与之相关的代数式、恒等式 等的求值、化简或证明创造条件，关键在于观 察所要求解的代数式或恒等式与二项式定理 之间的关系，并加以合理过渡与巧妙赋值。 五、导数法问题 基于二项式定理的应用场景，若所涉及 的关系式中明确具有一定的规律性与变化 性，联系函数与导数的综合应用，巧妙构建相 应的函数，通过合理求导与应用，并借助特殊 值的赋值法来达到目的。 例5若(x+1)5=ao十a1x+a2x2+ a3x3十a1x1十a5x5,则a1+2a2+3a3十4a1十 5a5=( )。 A.4B.8C.80D.3125 解析：依题意，令函数f(x)=(x十1)5= ao十a1x十a2x2十ax3十a1x4十a5x5,求导得 f'(x)=5(x+1)1=a1+2a2x+3a3x2+ 4a1x3+5a5x'。令x=1,可得a1+2a2+3a3 十4a1+5a5=5×2=80。 故选C。 点评：解决此类具有一定规律性与变化 性的关系式及其相关问题，关键在于挖掘问 题的本质与内涵，借助关系式与函数之间的 联系，合理构建函数，通过求导处理，从而实 现问题的突破与转化，为进一步利用赋值法 创造条件。 其实，利用二项式定理来解决相关问题 时，其自身就是一个恒等式，这给特殊值的赋 值处理提供了条件，也为变量的特殊值处理 奠定基础。在实际解题时，基于二项式定理 的应用场景，借助变量的特殊取值(1，一1或 0等)来赋值处理，通过特殊思维与一般思维 之间的联系，从而实现问题的切入与应用。 在实际解题过程中，有时一次特殊赋值不能 达到目的时，需要进行多次的特殊赋值，从而 合理突破，创新应用。 (责任编辑王福华)