5 聚焦对数型复合函数问题&6 常见的指数函数最值(值域)的四种应用-《中学生数理化》高一数学2025年11月刊

中学生款理化智识被黎与拓器年月 聚对教型臭合鱼务问题 ■孙承辉 对数型复合函数是对数函数和其他简单 的初等函数复合而成的新函数，这类题型主 数的定义域入手（函数具有奇偶性的前提是 要考查同学们的数学抽象、逻辑推理及数学 定义域关于原点对称)，再研究（一x)与 运算能力。下面归纳分析对数型复合函数的 f(x)的关系。 几类重点题型，供同学们学习与参考。 例2若函数f(x)=ln(√I十a.xz十x) 聚焦一：对数型复合函数的单调性 是定义在R上的奇函数，则a=。 解决对数型复合函数的单调性问题，先 解：由函数f(x)=ln(√I十ax'+x)是 把目标函数分解为“内”“外”两层函数，并判 定义在R上的奇函数，可得∫(x)十f(一x) 断它们的单调性，然后结合“同增异减”的法 则，可得复合函数的单调性。 =0对任意的实数x恒成立，即ln(√a.x+1 例1已知函数f(x)=log2(ax2 +x)+In(ax+1-x)=In(ax2+1-x2) x十，若，)在[公2)上单调递减，则实 =0对任意的实数x恒成立，所以ax2十1 x2=1,即ax2=x2对任意的实数x恒成立， 数a的取值范围固是。 所以a=1,所以函数∫(x)=ln(√+x+ 解：当a=0时，f(x)=2,不符合题意。 x)。经验证，f(x)为R上的奇函数。 当a≠0时，因为函数f(x)在[2,2)上单调 故满足题意的a=1。 点评：解题时，抓住奇函数的定义，将问 递减，又y=logu在定义域上单调递增，所 题转化为f(x)十f(一x)=0对任意的实数 以函数u=a.x2一a.x十 在[日2)上单调递 x恒成立，化简得到ax2=x”对任意的实数 减，且ar2-ax+4>0在[32)上恒成立。 x恒成立，从而求出a的值。 聚焦三：对数型复合函数的值域 1 因为u=ax2-ax十4的对称轴为x=2,所 求解对数型复合函数的值域，先求出函 数的定义域，然后根据复合函数的特征，依据 a0, 以《 解得-2a<0。 从内向外的原则，求出内层函数的值域，也就 a×22-2a+4≥0， 是外层函数的定义域，再结合对数函数的单 综上可得，实数a的取值范围为[一2， 调性，求出复合函数的值域。 0)。 点评：题中的函数f(x)=log(ax2 例3已知函数f(x)=1og. x-1(a>0 ax十4)是由y=log2u和u=ax2一ax十4复 且a≠1)。 合而成的。因为函数f(x)在[？，2)上单调 (1)求函数f(x)的定义域。 (2)是否存在实数a,b,使得函数f(x) 递减且外层函数y=log2u单调递增，所以内 层函数u=a.x2一ax十4在 [32)上单调 在区间(6，a)上的值域为12)？若存在， 求a,b的值；若不存在，请说明理由。 递减。 解：(1)由十1 x- >0,解得x>1或x< 聚焦二：对数型复合函数的奇偶性 判断对数型复合函数的奇偶性，先从函 一1，所以函数f(x)的定义域为（一∞，一1） 8 高一数学以栋构气新肾中学生款理化 U(1,+∞)。 义域及底数的取值范围，综合运用函数、方程 (2)已知函数f(x)在(b,三a)上的值域 及不等式的相关知识进行求解 例4已知函数f(x)=l1og(5十x), 为(1,2)，且a>0,a≠1，由f(x)的定义域得 g(x)=log.(5-x),其中a>1。 (b,是a)=1,+∞)，所以号a>b>1。 3 (1)当a=5时，求函数h(x)=f(x)十 g(x)的定义域和值域。 ①当0<a<1时，因为函数y=十}-1 x-1 (2)设集合M={x|f(ax)>2g(x)},证 2 明：M≠必。 十x二在(1，十∞)上单调递减，所以函数 5+x>0, 解：(1)由题意得《 解得一5< fx)-1og(1+2)在(b,受a)上单调递 5-x>0, x<5,所以函数h(x)的定义域为（一5,5）。 当a=5时，函数h(x)=f(x)十g(x) f(b)=1, 1+6=a 增，所以 即 =1og(25-x2)。 (受a)=2,即 13 2 =a2 因 a-1 因为0<25一x2≤25，所以1og(25一x2) ≤1og:25=2,所以函数h(x)的值域为 为6>1，所以1+弓>1，所以1十号。 2 (-∞，2]。 (2)因为集合M={x|f(ax)>2g(x)}, 无解。故此时不存在实数a,b满足题意。 所以1og.(5十ax)>21og(5-x)。 回当a>1时，因为函数y=1十，气在 由+ 0可得-5<x<5. a (1,十∞)上单调递诚，所以函数f(x)= 1og(1+名)在(6，多a)上单调递减，所以 因为log。(5十ax)>2log。(5-x),所以 log.(5十ax)>log.(5-x)2。 2 1f(b)=2, 1+-1=a, 因为a≥1，所以5十ax>(5-x)2。 要证明M≠⑦，需证5十a.x>(5一x) 即 2 解得a=2 1+ 3 2a1 在（←名5）上有解，即证x-(a十10)x十 或a=一 20<0在(-号5)上有解. 4 设函数m(x)=x2-(a十10)x十20。因 综上可得，存在实效口=2,6=号满足 题 为4>1，所以士0>号，所以只斋证m（ 21 x+1 <0即可。 点评：函数f(x)=1og。x-是由对数 因为m(5)=25-5(10十a)十20=一5- 函数y=logu和分式函数u=x十1 x一复合而 5a<0成立，所以5十ax>(5-x)2在 成的。为了求复合函数的值域，需要对y= (吾5)上有解，即M≠分得证。 logu的底数a分0<a<1和a>1进行讨 点评：题中第2问的解法是利用对数函 论，再由函数的值域列出关于a和b的方程 数的性质，把所求问题转化为不等式在区间 组，最后求出a与b的值。 上有解，再结合二次函数m(x)=x2一(a十 聚焦四：对数型复合函数的综合问题 10)x十20的图像与性质求得结果，这充分体 解决对数型复合函数的综合问题，要分 现了不等式与函数之间的相互联系。 清函数是由哪些初等函数复合而成的，抓住 作者单位：江苏省天一中学 内外层函数的结构特征，关注对数函数的定 (责任编辑王琼霞) 9 中学生款理化架皱掉与新车1月 常见的指数函数最值〔值域)的四种应用 ■陶雪红 函数的最值是函数的重要性质，指数函 数的最值（值域）常见的有以下四种应用。 A.1 B.2 一、求集合的关系 C.3 D.4 例1已知集合A={x|3<2x},B= 解：因为x∈R,所以3∈(0，十∞)，所 {y1y=3+1},则( )。 以f(x)∈(n,十∞)。因为函数f(x)=m· A.AOB=(1.) 3十n的值域为(1，十∞)，所以n=1,此时 f(x)=m·3十1。又f(0)=2,所以2= RAUB=(停+) m+1,解得m=1,所以m+2n=1+2=3。 应选C。 c.cA=,2) 评注：当x∈R时，f(x)=m·3+n∈ D.ACB (n,十∞)，这是解答本题的关键。 解：已知集合A=《x「3<2x} 四、求参数的取值范围 {x>,B=(yy=3+1)=(y1y> 例4已知函数f(x)=b·a(其中a,b 为常数，且a>0,a≠1)的图像经过点A(1, 1,则AnB=(径，+)，AUB=(1, 6,B3,24).若不等式（日）广+（合） -m≥ +3,CA=(1,]所以ACB. 应选D。 0在x∈（一∞，1门上恒成立，则实数m的取 值范围为」 评注：指数函数y=a(a>0且a≠1)的 解：因为函数f(x)的图像过点A(1,6), 值域为(0，十∞)。 b·a=6, 二、求自变量的取值范围 B(3,24),所以 所以a2=4,结合 b.a3=24, 例2已知函数y=4一3·2十3的值 a>0得a=2,b=3。于是得当x∈(-∞，1] 域为[1,7]，则x的取值范围为()。 A.[2,4] 时，(3)扩+(3) -m≥0恒成立，即m≤ B.(-c∞，0) C.(0,1)U[2,4] (2)广+（兮）广在x∈(-∞，1上恒成立。因 D.(-∞，0]U[1,2] 为函数y=()厂广与y=(3)》 均为减函数， 解：因为函数y=4一3·2"十3的值域 为[1,7]，所以1≤4-3·2+3≤7且2> 所以y=()广+()》 是减函数，所以当x 0,解得0<2≤1或2≤2≤4，所以x≤0或 1≤x≤2，即x的取值范围是（一∞，0]U[1, 1时y=(侵)广+(3) 取得最小值吾，所以 2]。应选D。 5 评注：解答本题的关键是熟练掌握指数 m 6。 故实数m的取值范围是(-○，]· 函数y=a(a>0且a≠1)的性质的应用。 评注：a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)m; 三、求参数的值 a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)m。 例3已知函数f(x)=m·3十n的值 作者单位：广西壮族自治区河池市天峨 域为(1，十∞)，且f(0)=2,则m十2n= 县高级中学 ( )o (责任编辑王琼霞) 10