素养立意，能力为重-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

素养立意， 2025年新高考全国Ⅱ卷 ■河南省商丘市第 2025年新高考全国Ⅱ卷的压轴题，以其 “朴实无华”的背景和“深邃莫测”的视觉冲 击，给广大师生带来了巨大的震撼与启迪。 它以一个看似熟悉的乒乓球比赛情境，构建 了一个考查数学核心素养的绝佳平台，直接 体现了新高考改革“服务选才，引导教学”理 念。本文将提供详尽的解题思路，落脚于解 题实践，提出针对性的备考策略，旨在帮助同 学们提升数学核心素养。 一、试题呈现及解答 题目(2025年新高考全国Ⅱ卷第19 题)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者 得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率 为p(2<p<1).乙胜的概率为q,p十g 1,且各球的胜负相互独立。对正整数k≥2， 记p。为打完k个球后甲比乙至少多得2分 的概率，q为打完k个球后乙比甲至少多得 2分的概率。 (1)求p,p1(用p表示)。 （2)若P二p=4,求D。 q1-q3 (3)证明：对任意正整数m,p2m+1一9m+1 <pn一q2m<p2m+2一92m+2。 解析：(1)记p?为打完3个球后甲比乙 至少多得2分的概率，所以只能甲胜3局，故 p3=C(1-p)°p3=p3。 记p1为打完4个球后甲比乙至少多得2 分的概率，所以甲胜3局或4局，故p4= C(1-p)p3+C(1-p)°p1=4p3(1-p)+ p1=p3(4-3p)。 (2)由(1)同理得q3=q3,91=q3(4-3q)。 又因为p+q=1,所以-p q1一q3 24)-092-8-(倍) g3(4-3g)-g33g3(1-q)9p =4。 畅氧数轻突擎方清中学生款理化 能力为重 第19题试题分析与备考策略 高级中学 王威 因为0<p,9<1,所以p=2q=2(1一p) >≥0，解得力=号。 (3)设打完k个球，甲的得分为X,乙的 得分为Yg,Xk十Yg=k。 所以p2m=P（Xm≥m十1)，p2m+1= P(X2m+1≥m十2)，p2m+2=P(X2m+2≥m十 2),q2m=P(Yn≥m+1),q2m+1=P(Y2m+1≥ n十2)，92m+2=P(Y2m+2≥m十2)。 要证明p2m+1一92m+1<p2m一92m<p2m+2 gm+2,即证明Pm+1一pm<ga+1一q,D p2m+2一p2m>92m+2-92m。② 先证明①式：p2m+1一p2m<q2m+1一q2m。 p2m+1一p2n=P(X2m+1≥m十2)一P(X2n ≥m+1)=P(X2m≥m+2)十P(Xm=m十 1)p-P(Xm≥m+1)=P(Xm=m十1)p P(Xn=m十1)=（p-1)Cpn+1q”-1。 同理可得，q2m+1一q2m=(g一1)· C+'qm+1pm-1。 故（p2m+1一p2n）一（q2n+1一q2m）=（p 1)C21pm+1q"-1-(q-1)C1qm+1pm-1= [p2(p-1)-q(q-1)]C8qm-1pm-1= (-p2q+q'p)Ciq"-Ip"-1=pq(q-p). Clqm-1pm-1<0。 所以p2m+1一pm<qm+1一92m成立。 再证明②式：p2m+2一p2m>92m+2一q2m。 p2m+2一p2n=P(X2m+2≥m十2)一P(X2m ≥m+1)=P(Xm=m)p2+P(X2m=m十1)· [1-(1-p)2]+P(X2m≥m+2)-P(X2m≥ m+1)=P(X2m=m)p2+P(X2m=m+1)[1 -(1-p)2]+P(Xm≥m+1)-P(X2m=m +1)-P(Xm≥m+1)=P(Xm=m)p2十 P(X2m=m+1)(1-q2)-P(X2m=m十1)= Cap"g"p2-g2Cpgm=Can pmgm C21pm+1gm+1。 同理可得，q2m+2一q2m=Cgmq"+2力”一 39 中学生表理化学怒聚酸方法 C1gm+1pm+1 故（p2m+2一pm）一（9m+2一42m）= (C+2q"-Cgpm+1q"1)-(Cngn+”p” Cat gm+pm)=Comp+2gm-Cngp= Cnp"q"(p2-q2)>0。 所以p2m+2一p2m>q2m+2一9m成立。 综上可得，不等式p2m+1一q2m+1<pm 92m<p2m+2一9m+2成立。 二、试题分析 该试题分层设问，从易到难，逐步递进， 引导同学们重视思维，理性判断，具有较高的 综合性。考查由浅入深，基于必要的计算，思 维深度逐步提升，递进的设问使得不同层次 的同学都有分数的获得感，具有较好的选拔 功能。其价值在于它精准地、多角度地考查 了数学核心素养，且层次分明，区分度极高。 本题呈现以下特点： (1)数学建模与数学抽象，从生活情境到 概率模型。本题的核心是要求同学们将“甲比 乙至少多得2分”这一生活化语言，抽象并转 化为精确的数学模型，这直接考查了数学建模 素养。同学们必须理解，在打完k个球后，甲 比乙至少多得2分，等价于甲的得分减去乙的 得分大于等于2。设甲得分为X,乙得分为Y, 则有X十Y=k,因此条件可转化为X一Y≥2， 即2X-6≥2，最终得到X≥生这一系列 的转化过程，正是数学建模能力的体现。 (2)逻辑推理与分类讨论，构建递推关系 之魂。第一问求p,p1,看似简单，实则是全 题的“钥匙”，它引导同学们从具体案例出发， 探索规律。以求p1为例，要计算打完4个球 后甲领先至少2分的概率，同学们必须逻辑 严谨地分析所有可能的结果。这需要分类讨 论的思维：甲要领先至少2分，在4局比赛 中，甲只能赢3局或4局（因为赢2局是平 局，赢1局或0局是落后)，即事件为“甲胜3 局”或“甲胜4局”。因此p1=C(1一p)p +C(1-p)°p1=4p3(1-p)+p1=p3(4 3p)。这一问为后续建立递推关系打下了坚 实的基础。 (3)数学运算与代数变形，求解与证明的 40 关键。第二问要求同学们将第一问的数据进 行运算，求出p,本问中，利用对称思维，将p 替换为q,问题结构不变，引导同学们发现和 利用这种对称性，可以简化思考和计算，此问 重在考查同学们的分析与运算能力。 (4)创新思维与等价转换，压轴证明的升 华。第三问要求证明：对任意正整数m, p2m+1一92m+1<p2m一92m<p2m+2一92m+2。这 是全题的制高点，考查创新思维和数学洞察 力，它不依赖于前两问的具体结果，而是要求 同学们从概率的基本原理和问题的对称性上 找到突破口。这一证明无须复杂计算，但需深 刻理解，直指概率的公理化定义，体现了极高 的思维层次，完美实现了压轴题的选拔功能。 三、学法指导 在最近几年的高考试题中，概率与统计 作为压轴题来考查，呈现出阅读难度大，理解 题意难，思维程度高，运算过程繁等特点，面 对此类压轴题，题海战术和套路化训练将愈 发无力。因此，同学们在学习中要做到： 1.夯实基础，深化概念理解 必须深刻理解基本概念，如互斥事件、对 立事件、独立事件、分布列与期望等，而不是 仅仅记忆公式，要从概率的性质中寻找答案。 2.强化建模训练，提升转化能力 在日常学习中，要加强“用数学语言描述 现实问题”的训练。例如，将“至少”“至多” “不多于”等关键词转化为不等式，可以小组 成员编题，互相求解，锻炼抽象思维能力。 3.注重知识能力，提升核心素养 注重学用结合，把课本知识与现实生活 联系起来，运用所学知识、方法去分析和解决 实际问题。如该真题第三问的证明，其本质 就是化归与转化思想，即将一个复杂概率问 题化归为对基本事件的分析。 4.规范表达，重视逻辑书写 概率题的解答过程其实就是一篇“小论 文”。要求同学们清晰地写出“设事件…” “由题意，…”“因为…所以…”“根据 …公式”等关键步骤，做到言之有据，逻辑 闭环，要用简洁、严谨的数学语言进行表述。 (责任编辑王福华)