成对数据的统计分析考点剖析-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

中学生数理化 解题篇经典題突破方法 高三数学2026年1月 成对数据的统计分析考点剖析 ■河南省商丘市第一高级中学 邢秀云 成对数据的统计分析是高考的热点，主 图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1 要内容包括成对数据的统计相关性、一元线 和图2的点相对更加集中，所以相关性更强， 性回归模型和2×2列联表等。高考试题往 所以r1接近于1，r2接近于一1，由此可得 往以实际问题为背景，考查随机抽样与样本 r2<r1<0<r3<r1。故选A。 估计总体、经验回归方程、独立性检验等知 点评：根据题目给出的散，点图，先判断是 识，难度中等。 正相关还是负相关，然后根据，点的集中程度 一、成对数据的相关性 分析相关系数的大小。 例1对四组数据进行统计，获得如图 二、回归模型 1一4所示的散点图，将四组数据相应的相关 1.一元线性回归模型 系数进行比较，正确的是( )。 例22024年年初，冰城哈尔滨充分 25 250 利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一 个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销 展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力 和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验， 0510152025 0510152025 相关系数 相关系数 从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际 图1 图2 机场接待外地游客数量如表1： 250. 表1 20 20…∷. 15 x(日) 1 4 5 y(万人)45 5060 6580 5 (1)计算x,y的相关系数r(计算结果精 0510152025 0510152025 相关系数 相关系数r, 确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游 图3 图4 客人数的相关性很强； A.r,rrr B.r<r:<r<r (2)请根据表1提供的数据，用最小二乘 C.r1<r2<r1<r3D.r2<r1<r1<r 法求出y关于x的线性回归方程。 解析：由给出的四组数据的散点图可以 看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0， 解析：1)因为工=1+2+3+4+5=3， 5 38-383g383830-3038-383gg3838-383g38838-38383838838383g83-383g8380-3038-38383g3838-383g3838 (-1)+C817m-2·(-1)2十…十C”117· …+C号82·52十C882十a,且53202+a能被 (-1)”-1+C(-1)"-1=17[17-1+C17-2· 13整除，所以C8十a=1十a能被13整除。 (-1)+C17-8·(-1)2+…十C01· 又a∈Z,且0≤a<13,所以a=12。故选D。 (-1)"-1]十(-1)”一1，所以当n为偶数时， 二项式定理的题型虽多样，但核心在于 余数为0；当n为奇数时，余数为15。 灵活运用通项公式与性质。无论是求特定 例8设a∈Z,且0≤a<13,若532 项、系数最值，还是解决求和等问题，关键在 十a能被13整除，则a的值为( 于理清变量顺序，区分二项式系数与项系数， )。 A.0 B.1 C.11 D.12 并熟练结合赋值法、对称性等工具，即可顺利 解析：因为53202s十a=(52十1)2026十a= 解决二项式定理问题。 C8oam·5203+Cas·522g5+Cias·5221十 (责任编辑王福华) 36 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年1月 中学生数理化 45+50+60+65+80 =60,所以∑(x, 表2 5 19 0,-)=2x,-5y=1×45+2× (z )2 i=1 20 66 770 200 14 50+3×60+4×65+5×80)-5×3×60 >(u >(4,-4)(y,-y) =85,∑(x:-x)2=(1-3)2+(2-3)2+(3 =1 4604.20 3125000 0.308 21500 -3)+(4-3)2+(5-3)=10,∑(y,-y) (1)设变量u和变量y的样本相关系数 =(45-60)2+(50-60)2+(60-60)2+(65 为r1,变量x和变量v的样本相关系数为r2, -60)2+(80一60)2=750。 请从样本相关系数的角度，选择一个y与x 相关性较强的模型。 x,-)y,-) (2)①根据(1)的选择及表2中的数据， 所以r= 1= 建立y关于x的经验回归方程（系数精确到 N (y:-y) 0.01); 85 85 ≈0.98，由此可以认为两者的 ②若下一年销售额需达到80亿元，预测 503 ≈86.6 下一年的研发资金投人量。 相关性很强。 附：√80≈8.9443，e1.32≈80；样本相关 x,x)(y-易 (2)由(1)知b =1 ∑(x-x)(y-y) 系数r= 一；经验 (x-x) 85 N i- 10 =8.5。 回归方程y=a十bx,其中方= 因为a=y-bx=60一8.5×3=34.5，所 ∑(x:=x)Cy4y 以回归方程为y=8.5x+34.5。 ,a=y-bz。 点评：(1)根据相关系数r的公式计算并 2(x,- 判断：(2)根据线性回归方程的求解方法，代 解析：(1)由题意及参考公式知r1= 入公式求解b,a。本题旨在考查相关系数及 一元线性回归方程的基本求解方法。 克(m-0(g.-y) 2.非线性回归模型 例3某研发团队实现了从单点光谱仪 ,-y2y,-y =1 到超光谱成像芯片的跨越。为制定下一年的研 21500 21500 =0.86; 发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金 √3125000×200 25000 投人量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿 克，-)-0 元)的影响。结合近12年的年研发资金投人量 x和年销售额y,该团队建个，/亿元 (x,-)∑(u,-0) =1 立了两个函数模型：y=a十 70 14 14 Bx2,y=e+,其中a,B,入， ≈0.91。 65 √770×0.308 15.4 60 t均为常数，e为自然对数 小620六0花元 因为0.86<0.91，所以|r11<|r2。 的底数。经对历史数据的 图5 故从样本相关系数的角度，模型y=e+ 初步处理，得到如图5所 中y与x的相关性较强。 示的散点图。令u,=x,v,=lny;(i=1,2, (2)①由y=er+,得lny=t十入x,即 …,12),计算得到表2中的数据。 U=t十入x。 37 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年1月 附：X2= n(ad-bc)2 (x: x)() 因为入= i=l 14 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 770 表4 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 0.02,所以t=0-x=4.20- 14 770 X20≈ 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.84,故v关于x的经验回归方程为元=0.02x十 解析：(1)由题意可得(0.0025+0.005 3.84,即lny=0.02x十3.84，所以y=e+1 十0.0175+m+0.01)×20=1,解得m= ②将y=80代入y=e2+1得80= 0.015。 e2x+8.1。又e.32≈80，故0.02x+3.84 (2)数学成绩优秀的有100×(0.01十 4.382,解得x=27.1,故预测下一年的研发 0.015)×20=50(人)，不优秀的有100一50 资金投入量是27.1亿元。 = 50(人)，经常整理错题的有100×(40%十 ,点评：通过相关系数判定成对数据相关性 20%)=60(人)，不经常整理错题的有100一 强弱，并能在实际生活中进行决策，同时把非 60=40(人)，经常整理错题且成绩优秀的有 线性回归模型转化为线性回归模型来解决。 50×70%=35(人)，则完整的列联表如表5 三、列联表与独立性检验 所示。 例4为了研究学生每天整理数学错 表5 题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽 数学成绩优秀数学成绩不优秀合计 取了100名学生，调查了他们期中考试的数 经常 35 25 60 学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了 整理 不经常 学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 15 25 40 整理 (图6)和学生一个星期内整理数学错题天数 合计 50 50 100 的扇形图（图7）。若本次数学成绩在110分 零假设为H。:数学成绩优秀与经常整理 及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上 数学错题无关。 整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视 根据表5中的数据，经计算可得X= 为“不经常整理”。已知数学成绩优秀的学生 100(35×25-15×25)2_2 中，经常整理错题的学生占70%。 50×50×60×40 6>3.841. 根据小概率值a=0.05的独立性检验， 0.0175 组 我们推断H。不成立，即有95%的把握认为 或3天 0.01 25% 4或5天 40% 数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联， 0.0025 0或1天 该推断犯错误的概率不大于0.05。 0507090110130150 15% 0 ,点评：(1)利用频率分布直方图中各矩形 图6 图7 面积和为1建立方程求解即可：(2)根据题目 (1)求图6中m的值； 数据补全2×2列联表，代入公式求出观测 (2)根据图6、图7中的数据，补全表3所 值，将其与临界值进行对比，进而求解即可。 示的2×2列联表，并判断能否有95%的把握 高考对成对数据的统计分析的考查核心 认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？ 聚焦以上三大重要模块，侧重于考查形式为 表3 “基础计算+十实际应用”，体现了新课标要求 数学成绩优秀数学成绩不优秀合计 的数据分析和数学建模等核心素养，更加注 经常 重培养同学们理论与实践相结合的能力，数 整理 不经常 学来源于生活，又回到生活中去，这也是学习 整理 数学的真正意义所在。 合计 (责任编辑王福华) 38