频率分布直方图情境中的问题易错点提醒-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

频率分布直方图情境 ■甘肃省西和县第 频率分布直方图作为高中数学统计模块 的核心图表，不仅是数据分析的重要工具，更 是高考命题的高频考点。通过对近几年高考 数学试卷的分析，发现频率分布直方图的考 查形式主要集中于三大维度：基础概念与绘 制流程的规范性、频率与面积关系的数学理 解，以及直方图的数据特征分析。针对这些 考点，本文不仅对各考查形式进行了结构化解 析，还深入探讨了相应的答题策略，特别对解 题过程中易混淆的组距与频率计算、面积与概 率转换等关键环节进行易错点归纳，旨在帮助 学生规避常见失误，提升解题的准确度。 一、基础概念与绘制流程 频率分布直方图补全类问题主要考查通 解析：记该市去年1名市民的收人为X 万元，则E(X)=10,从该市任意选取3名市 民，年收人超过100万元的人数为Y。 设从该市任选1名市民，年收人超过100 万元的概率为卫，则根据马尔可夫不等式可 得力=P(X≥100)≤E(X2=101 100 =100=10,所以 0≤p≤品 因为Y一B(3,p),所以P(A)=P(Y= 1)=C9p(1-p)2=3p(1-p)2=3p3-6p2+ 3p。 令f(p)=3p3一6p2+3p,则f'(p)= 9p2-12p+3=3(3p-1)(p-1). 因为0≤p≤品，所以3p-1<0,p-1< 0,即f(p)≥0，所以fp)在0，]上单调 递增。 所以f(p)=f(品)=3×× 部营数纸细秦新中学生款理化 中的问题易错点提醒 二中学卢亚琰 过已知条件求解图中部分长方形的高或频 率，其核心易错点集中在四个方面：第一，对 直方图基本特征的理解偏差，特别是纵轴坐 标（频率/组距）与长方形高度的数学关系；第 二，对高度重合情况的识别，需注意不同组可 能具有相同高度值；第三，牢记所有长方形面 积之和必须等于1；第四，严格区分概念 长方形的高度代表频率密度（频率/组距），而 非直接表示频率值。 例1某省为提高生活质量，推行“建 设美丽城市，文明在我省”的活动，为了扩大 影响力，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从 所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分 100分，成绩均为不低于40分的整数)分成 1-)广-品即PA2。 243 故选B。 点评：基于概率、统计的新定义问题，往 往是以创新定义的形式来设置题目条件与应 用场景，并依托定义，紧和题目所给的新定 义、新运算法则、新符号等对所求问题进行恰 当转化，合理构建数学模型，通过新定义寻求 解决问题的方法，并借助数学模型来实现问 题的解决。 其实，基于概率与统计中的创新综合应 用问题，借助概率统计与函数、数列等知识的 交汇融合为常见类型，以概率与统计中的新 定义形式来合理设置，通过知识的交汇与融 合，巧妙渗透数据信息的分析与处理，数学模 型的构建及数学建模的解决，对于全面考查 同学们的“四基”与“四能”有着非常重要的体 现，同时还能优化数学思维品质，提升数学关 键能力，培养数学核心素养等。 (责任编辑王福华) 27 中学生数理化高数学202年月 解题篇易错题归类剖析 六段：[40,50)，[50， 率 组距 60),·,[90,100],得 0.025 到如图1所示的频率0.020 分布直方图，求频率 0.010 分布直方图中a的0.005 分数 值。 0405060708090100 解析：根据题意 图1 知，组距为10，由频率之和为1，得(0.005十 0.010+0.020+0.025+a+0.010)×10=1, 即10a十0.7=1，解得a=0.030。 点评：本题主要考查频率分布直方图的 基础概念，这类基础题通常作为复合型问题 的第一问。针对这类题目，同学们需重点把 握三个关键点：首先，明确纵坐标表示频率密 度（频率/组距）这一本质特征；其次，在解题 时要特别关注不同组别可能存在的长方形高 度重合现象，如本题[50,60)与[90,100]两组 的高度重合，在计算时注意观察，不能漏算； 最后，始终牢记直方图中所有长方形面积之 和必须等于1的基本原则。这些要，点是解题 时需特别注意的核心要素。 二、频率与面积关系的理解 频率与面积关系的理解通常通过频率估 算概率、预测数据分布等题型进行考查。解 决这类问题的核心方法是准确把握频率与面 积的对应关系，并始终遵循所有长方形面积 之和等于1的基本原则。解题时需特别注意 三个易错点：首先，明确频率与概率的数学差 异，频率是统计结果，而概率是理论预期；其 次，在进行数据估算时，必须考虑实际数据的 离散性和取整特性；最后，计算特定区间概率 时，要正确运用概率的可加性原理，避免遗漏 或重复计算相关面积。 例2某校的某个班级为了确定参 加省级数学联赛学生名单，组织了一次数 学竞赛，从中抽取了部分学生的成绩x作 为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成 五组(50x60,60x70,70x 80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第二组 的频数是第五组的频数的8倍，请根据如 图2所示的尚未完成的频率分布直方图解 决下列问题。 28 (1)若根据这次 个频率 组距 成绩，准备淘汰90%0.040 的学生，仅留10%的 学生参加省竞赛，请0.016 问分数线划为多少0.土已 合理？ 05060708090100成绩/分 (2)从样本数据 图2 在50x≤60,80 x<90,90≤x≤100这三个组内的学生中，用 分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随 机选出2人，求选出的2人来自不同组的概 率。 解析：(1)由题意知，第二组的频数是第 五组的频数的8倍，所以a=8b。 由(0.008+0.016+a+0.040+b)×10 =1,可得a=0.032,b=0.004。 因为成绩落在[50,80)内的频率为0.16 十0.32十0.40=0.88，落在[50,90)内的频率 为0.16+0.32十0.40+0.08=0.96，所以第 90百分位数在[80,90)内。 设第90百分位数为m,则(m一80)× 0.008十0.88=0.9，解得m=82.5,所以分数 线划为82.5分合理。 (2)由图2可知，样本数据在50≤x 60,80≤x<90,90≤x≤100这三个组内的频 率之比为0.016：0.008：0.004，即4：2： 1,按分层抽样的方法，要从这三组中抽取7 人，则应分别抽取4人，2人，1人。再从这7 人中随机抽取2人，共有C=7×6=21 2 (种)。其中来自不同组的有CC十CC 4×3+2×1=14(种)，所以选出的2人来自 不同组的概率为P片-号。 点评：本题在给定频率分布直方图的情 境下设置了两类典型问题：第一类要求补全 直方图后，通过划分比例估算分数线，其本质 是计算第90百分位数，即需将直方图的总面 积按前90%和后10%的比例划分，通过面积 分割确定临界值；第二类涉及分层抽样，需先 确定各层次人数占比，再按比例分配样本量。 解题时需特别注意三个关键，点：首先，要准确 理解频率与面积的对应关系；其次，要熟练学 握频率与频数的相互转换；最后，在确定各组 频数时，若出现小数禽根据实际情境进行合 理取舍，如研究对象为个体时应该取整，确保 数据处理的逻辑性和严谨性。 三、直方图的数据特征分析 基于直方图的数据特征分析是高考统计 模块的核心考点，主要围绕中位数、众数、百 分位数及均值（方差）的估算与比较等进行考 查。这类题目具有两大典型特征：一方面，计 算过程复杂，涉及大量数据运算，容易因步骤 烦琐导致结果偏差：另一方面，需特别注意频 率分布直方图的数据处理方法，必须用每组 区间的中间值（组中值）来代表该组所有数 据。这两个特性共同构成了此类问题的易错 核心，要求同学们在掌握统计原理的同时，必 须具备严谨的计算能力和规范的数据处理意 识。 例3现在高考不仅考查同学们对知 识的运用能力，还考查同学们的创新能力。 某校为了更好地培养同学们的创新精神和实 践能力，特举办科技创新竞赛活动。从所有 答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的 成绩（满分100分，成 ◆频率 组距 绩均为不低于40的 0.025 整数)分成六组：[40,0.02 50),[50,60),…, 0.010 [90,100],得到如图0.005 3所示的频率分布直 小o0o0006数 方图。 图3 (1)求频率分布直方图中a的值并估算 样本成绩的平均值； (2)已知落在[50,60)内的平均成绩是 54,方差是7，落在[60,70)内的平均成绩为 66,方差是4，求两组成绩合并后的平均数： 和方差s2。 附方差公式：=nn[+G-)门 +m+n号+-门 解析：(1)由频率之和为1，即(0.005+ 0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1, 解得a=0.030。 数学做题因装新中学生款理化 设样本成绩的平均值为x,则x=(45× 0.005+55×0.010+65×0.020+75×0.030 +85×0.025+95×0.010)×10=(0.225+ 0.55+1.3+2.25+2.125+0.95)×10=74, 所以样本成绩的平均值为74分。 (2)由图3可知，成绩在50,60)内的人 数为100×0.1=10，成绩在[60,70)内的人 数为100×0.2=20，故这两组成绩合并后的 平均数：=10X5A士20X66-62。 10+20 方差-器[7+(54-62)]+器[4+ (66-62)]=37。 ,点评：本题通过统计100名科创竞赛参 赛者的成绩并绘制频率分布直方图，重，点考 查统计量的估算能力。在第(1)问中，平均成 绩的估算需采用加权平均法，即以各组中间 值乘以对应频率后求和；在第(2)问中，合并 两组数据时需运用方差合成公式，已知[50， 60)内的平均成绩为54、方差为7，[60,70)内 的平均成绩为66、方差为4，通过加权平均和 方差公式即可计算合并后的平均数和方差。 这类新兴题型对计算准确性要求较高，解题 时需特别注意以下两点：①严格遵循运算步 骤，避免计算失误；②无论题目是否明确提示 “每组区间的中间值（组中值）来代表该组所 有数据”，均需默认用组中值代表本组数据进 行运算，这是频率分布直方图分析的基本原 则。 本文系统梳理了频率分布直方图情境中 的三大考查维度及应对策略：首先，针对概念 与绘制流程，重点解析了补全图形问题的解 题要点；其次，深入探讨频率与面积的关系， 从概率估算和数据分析预测两个方向展开方 法指导；最后，聚焦数据特征分析，详细阐释 中位数、众数、百分位数及均值（方差）的估算 技巧，并针对各维度易错点进行警示分析。 通过构建“概念理解一方法应用一错题防范” 的三维分析框架，旨在帮助同学们全面掌握 解题逻辑，有效规避解题失误，实现此类问题 的精准突破。 (责任编辑王福华) 29