抛物线中的最值问题的题型梳理及易错点探秘-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

解题篇易错题归类剖析中学生数理化 高三数学2026年3月 抛物线中的最值问题的题型梳理及易错点探秘 ■山东省惠民县第一中学 李素梅 圆锥曲线作为高中数学的核心知识模 的掌握程度，又考查数学建模能力。 块，其中有关抛物线的最值问题始终是高考 例1已知A是抛物线C:x2=4y上 考查的重点与难点。本文聚焦该热点题型， 任意一点。 通过系统梳理抛物线中的最值问题的考查形 (1)求点A到直线l:3x+4y+12=0的 式，归纳总结典型题型结构，深入探究解题策 最小距离： 略与易错点规避方法，旨在为同学们提供兼 (2)设直线m:x+4y+1-n=0,若点A 具系统性与实用性的解题指导。 到直线的最小距离为17，求n的值。 一、抛物线上的点到直线的距离的最值 解析：1)设点A(,)点A到直线 这类问题主要考查抛物线的几何性质、 l:3.x+4y+12=0的距离为d1,则有d1= 点到直线距离公式的应用及函数最值思想。 解题时通常遵循以下步骤：首先，设出抛物线 3x+4:2+12 |3x。+x+12 上的动点坐标，利用抛物线方程将坐标参数 √32+4 5 化；其次，建立距离函数模型，通过代数运算 4×12-3 将几何问题转化为函数最值问题；最后，运用 |x6+3x。+12 4 20,故点A 39 导数法或配方法求解最值。整个解题过程体 现了数形结合的核心思想，既检验基础知识 到直线1：3x十4y十12=0的最小距离为9 09 孝**来********孝**米*孝***米来****米*孝***米********************米****米米******杂***** 利用弦长公式可得|AB|= 其实，涉及圆锥曲线及其综合应用中的 /1十k)[(x1十x2)2-4x1x2] 定值问题，抓住定值的应用场景，最常用的还 是函数方法来处理相关的定值问题：(1)从特 √/1+2) 8km 3+4k2 -4×4m127 3+4k2 殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再 25·√1+k 证明这个值与变量无关；(2)从一般入手，借 m 助合理的代数运算与逻辑推理等进行求值。 设原点到直线l的距离为d,则d= 当然，实际应用时，还可以采用参数法（包括 设线法、设点法等)、特殊思维法等，关键在于 √1+k 利用问题中相关点、直线、曲线等“动”与“静” 1 所以S△AB= 的结合与转化。利用圆锥曲线场景中的“动 2 ·d·|AB1= 2 态”背景，通过解析几何中相关点、直线、曲线 m 2V3·√1+k2 =√3。 等要素的运动变化，构建对应的关系式或表 √1+k 达式，利用直线与圆锥曲线的位置关系与变 故S△A0B为定值√5。 化规律等情况加以代数运算或逻辑推理，从 ,点评：涉及解析几何中相关平面几何图 而探求“定值”规律，实现“静态”问题的定值 形的周长或面积的定值问题，往往是基于相 求解与应用。基于“动”“静”的结合与转化， 关的参数，构建对应的周长或面积的表达式 全面夯实数学基础，发展数学思维，提高数学 并利用参数之间的关系加以合理的转化与应 能力，提升数学品质，培养数学核心素养。 用，进而得以确定对应的定值问题。 (责任编辑王福华) 29 中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高三数学2026年3月 (2)设点A(,）,点A到直线m:x十 解析：(1)已知抛物线C:y2=4x,当x 3时，y=2√3>2，所以点A(3,2)在抛物线 4y+1- n=0的距离为d2,则d2= 内。过点M作抛物线C的准线的垂线，记垂 x。+4.5+1-n 足为Q。由抛物线的定义知|MQ|=MF|, 4 Ixo+xi+1-nl 所以|AM|+|MF|=|AM|+IMQ。过点 √1+4 17 A作抛物线C的准线的垂线，垂足为Q',记 因为点A到直线的最小距离为√7，所以 AQ'与抛物线C的交点为M'。当M与M' |x。+x8十1一n|≥17，则△=1-4(1一n)< 重合时，A、M、Q三点共线，且点M在A、Q 0,解得n≤4。又当z三 2时，lx,十xg+1 之间，所以AM1+MQ≥AQ=台+3 4n=17,解得n= 3 65 一n|=17,即 1+3=4,故|AM|+|MF|的最小值为4。 4。 (2)已知抛物线C:y2=4x,F(1,0)。当 易错提醒：本题是求抛物线上任意点到 x=1时，y=2<3,所以点B(1,3)在抛物线 定直线的距离的最值问题，解题时需特别注 外。连接MF,由抛物线的定义知|MN|= 意以下易错环节：一是准确识别题型特征，避 IMF|。连接BF,则IBM|+IMF≥|BF|, 免误判解题方向；二是运用点到直线的距离 当BF与抛物线C的交点为M时，等号成 公式时，务必注意公式的规范结构形式，防止 立，所以IBM|+|MN|=IBM|+|MF|≥ 符号或系数错误；三是在求解函数最值阶段， 1BF|=√/(1-1)+(0-3)=3，故|BM|+ 需根据具体问题灵活选择不等式法或求导 MN|的最小值为3。 法，尤其要结合函数特性判断适用方法。 易错提醒：本题包含两问，分别涉及定点 二、涉及抛物线焦点的线段和最值问题 在抛物线内和外的线段之和的最值问题，解 这类问题是抛物线最值问题中的典型题 题时需特别注意以下易错环节：一是需明确 型，主要分为两种形式：一是抛物线内存在定 题目中定点位于抛物线内还是外，这是判断 点时，求抛物线上的点到该点的距离与到焦 解题方向的关键；二是要准确运用抛物线的 点的距离之和的最小值。解题思路是根据抛 定义，将相关线段转化为可处理的形式；三是 物线的定义，将到焦点的距离转化为到准线 当两条线段之和达到最小值时，必须满足三 的距离，当三点（抛物线上的点、定点、定点到 点共线且动点位于定点之间的几何条件，具 准线的垂足)共线时取得最小值，此时最小值 体方法可参考例题解析中的详细说明。 为定点到准线的距离。二是抛物线外存在定 三、抛物线弦长的最值问题 点时，求抛物线上的点到该点的距离与到准 弦长问题是抛物线考查的核心题型之 线的距离之和的最小值。解题思路同样是利 一，其最值问题既是重点也是难点，并常衍生 用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到 出三角形面积的最值等问题。这类问题的常 焦点的距离，当三点（抛物线上的点、定点、焦 用解法是：首先，设定参数；其次，根据题目条 点)共线时取得最小值，此时最小值为定点与 件建立参数函数关系；最后，通过求函数最值 焦点之间的距离。 来解决问题。 例2已知抛物线C:y2=4x的焦点 例3设直线1与抛物线y=2x相交 为F,直线（是抛物线C的准线，M是抛物线 于A,B两点，且AB的中点为C(2,m)。 C上任意一点。 (1)若直线（过抛物线的焦点，求|AB (1)若点A(3,2),求|AM|+|MF1的最 的值； 小值： (2)求|AB|的最大值 (2)若点B(1,3),过点M作直线l的垂 解析：(1)已知直线1过抛物线y2=2x 线，垂足为N,求|BM|+|MN|的最小值。 的焦点，与抛物线y2=2x相交于A,B两点， 30 解题篇易错题归类剖析中学生数理化 高三数学2026年3月 且AB的中点为C(2,m),则由抛物线的定义 (2)求△AOB面积的最小值。 知|AB|=|AF|+|BF|=2×2+p=5。 解析：(1)由题意可设A(x。ya),c>0, (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的 斜率为k。因为A,B在抛物线y2=2x上， 少，>0。由题意知，十名-，十1=2，所以 所以y=2x1y2=2.x2,两式相减得y一y x。=1,故y。=2,或y。=一2（舍去），所以点 A的坐标为(1,2)。 =2x1-2x2,即1-y2 2 2一22+y2,所以k (2)设A(x1y1),B(x2,y),直线AB 1,因此直线1的方程为y一m=1（一2)， 的方程为x=my十b(m卡0，b≠0)，联立 1 772 |x=y十b 即x=my一m+2,代入抛物线y2=2x,整 消去x整理得y2一4ny一4b= y2=4.x, 理得y2-2my十2m2一4=0，则y1十y2= 0,则△=16m2+16b>0,y1+y2=4m,y1y2 2m,yy2=222二4.所以|AB一1十2· =一4b。因为OA·OB=0,所以x1x2十 y1y2=(my1+b)(ny2+b)+y1y2=(m2+ √/(y1+y2)-4y1y2 =1+m2 1)y1y2+nb(y1+y)+b2=-4bm2-4b+ √4m2-8m2+16=2V√(1十m)(4-m2)= 4bm2+b2=0,解得b=4,因此x=my+4,y1 2√/-n+3m2+4。设f(n)=一n+3m +y:=4m,y1yg=-16,故直线AB与x轴 +4=-(r-)+则当m=时 的交点坐标为M(4,0),所以S△AoB=S△4o十 25 Saw=21OM·ly,1+21OM1·1yl= 1 f(m)mx=军，所以1AB1=2√Fm)≤ 25 OM(IOMI y- 2√军=5，故AB的最大值为5。 1 y2= 2 ×4√/(y1+y2)2-4y1y2= 易错提醒：本题聚焦抛物线弦长最值问 题，综合考查抛物线定义、一元二次方程根与 2√16m2+64=8√m2+4≥8×2=16，所以 系数的关系等核心知识，解题时需特别注意 当m=0时，△AOB面积的最小值为16。 以下易错环节：一是准确识别题型特征（直线 易错提醒：本题考查在抛物线方程已知 与抛物线相交求弦长最值)；二是熟练运用点 而直线方程完全未知的条件下，求三角形面 差法推导中点坐标与斜率关系；三是根据已 积的最值，解题时需特别注意以下易错环节： 知条件灵活选择弦长公式的适用形式，如涉 一是直线方程假设形式的合理性选择；二是 及中点坐标时宜采用中点弦长公式。 参数消元过程中代数运算的准确性；三是面 四、抛物线内接三角形面积的最值问题 积公式的简化处理；四是函数最值求解时对 这类问题的核心特征是三角形三个顶点 二次函数性质的灵活运用。 均位于抛物线上，其求解关键在于通过参数 总之，抛物线作为圆锥曲线体系的核心 化方法建立数学模型：首先，设定适当的参数 内容，其最值问题既是学习重点，也是考核难 表示顶点坐标或直线方程；其次，根据三角形 点。本文通过系统化梳理，将抛物线最值问 面积公式构建关于该参数的函数关系：最后， 题归纳为四大基础题型：点线距离最值、焦点 通过求函数最值来确定面积的最值。 线段和最值、中点弦长最值及三角形面积最 例4已知抛物线C:y2=4x,O为坐 值，并指出其他题型均属其变式延伸。研究 标原点，A,B在抛物线C上，且满足OA· 聚焦于四类题型的结构特征解析、解题策略 OB=0(A,B均不与O重合)。 构建及易错点警示，为相关问题的解答提供 (1)若A是第一象限内的点，且其到焦 结构化参考。 点的距离为2，求点A的坐标； (责任编辑王福华) 31