概率统计解答题的命题动向分析-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

中学生表理化架学州幸新向 概率统计解答题的命题动向分析 ■四川省绵阳实验高级中学 余 强 在高考数学试卷中，概率统计解答题可 表2 能出现在第15题，作为一道13分的题目，难 0.1 0.05 0.01 0.0050.001 度相对较为适中，易于入手。但也可能被置 2.7063.8416.635 7.87910.828 于第18、19题这样的压轴位置，此时的分值 解析：(1)由已知得x=200一120=80， 将提升至17分，挑战解题能力和思维深度， 样本中选购B款新能源汽车的女性客户人 难度自然相应加大。面对如此多变的命题趋 数为80-10=70，所以y=90+70=160。 势，同学们在备考过程中必须与时俱进，不仅 (2)由(1)得到完整的列联表，如表3所示： 要深人掌握不同位置的题目可能涉及的知识 表3 点及其命题方式，还要能根据试题的实际情 车型款式 况灵活应对。 性别 动向一、统计案例与随机变量及其分布 A款 B款 合计 新能源汽车新能源汽车 的综合 男性客户 30 90 120 例1(2025年贵州贵阳高三联考)某 女性客户 10 70 80 车企为了调查新能源汽车的款式与买车客户 合计 40 160 200 性别的关联性，调查了200名客户的购买情 零假设为H。:选购新能源汽车的款式与 况，得到如表1所示的列联表： 性别无关联。 表1 根据公式及表3中的数据，可得X”= 车型款式 200×(30×70-10×90)_75 ≈4.688>3.841 性别 120×80×40×160 6 A款 B款 合计 新能源汽车 新能源汽车 =x&.05 男性客户 90 120 根据小概率值α=0.05的独立性检验， 女性客户 10 推断H。不成立，即可以认为选购新能源汽 x 车的款式与性别有关联，此推断犯错误的概 合计 y 200 率不大于0.05。 (1)求出x,y的值。 (3)随机抽取1人购买A款新能源汽车 (2)将上面的列联表补充完整，依据小概 率值a=0.05的独立性检验，能否认为选购 的概率为品日则X一B,》 新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概 所以E(X)-3×日-号 率，所有人选购新能源汽车的款式情况相互 ,点评：本题考查独立性检验中卡方的计 独立。若从购买者中随机抽取3人，设被抽 算和二项分布，难度一般。对于分类变量的 取的3人中购买A款新能源汽车的人数为 关系，也就是独立性检验问题，需要根据所给 X,求X的数学期望。 数据完善列联表，利用公式计算的随机变量 X越大，说明两个分类变量的关系越强，反 附：X= n(ad-bc)? (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 之越弱。判断某随机变量是否服从二项分 n=a+b+c+d。 布，需要注意：在每一次试验中，事件发生的 高三数学字者军指月中学生教理化 知识篇科学备考新指向 概率相同，各次试验中的事件是相互独立的， 1 在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发 x=10045×10+55×15+65×20+75× 生与不发生。 30+85×15十95×10)=70.5，所以=70。 动向二、凸显用样本估计总体的思想和 由g=14,得4一g=70-14=56,h十 2g=70+2×14=98. 应用 因为X一N(u,o),所以P(56<X 为了考察总体的分布情况，通常从总体 98)=P(u-o<X≤十2o)=P(一o<X≤ 中抽取一个样本，用样本的分布情况去估计 总体的分布情况。这种估计大体分为两类： u)+P(<X≤u+2)≈0.6826+0.9544 2 2 用样本的频率分布估计总体的分布、用样本 =0.8185≈0.8。 的数字特征估计总体的数字特征。 (2)设“从高一年级随机选取1名学生的 例2(2025年重庆南开中高三月考) 竞赛成绩在区间(56,98]内”为事件A,由(1) 近期我校被评为全国首批智能研修平台规模 知P(A)≈0.8。 化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办 所以从高一年级随机选取n名同学的竞 项目启动活动，并特设南开专场活动。为了 赛成绩，他们的成绩均在区间(56,98]内的概 了解AINK人工智能对学生学习的助力情 率P≈0.8”。 况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智 由0.8"≥0.01，得nlg0.8≥lg0.01。 能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查 8 因为1g0.8=1g10=31g2-1≈3× 了100名学生的成绩（单位：分），将他们的成 绩分成以下6组：[40,50)，[50,60)，…，[90， 0.301-1=-0.097,1g0.01=-2,所以n≤ 100],统计结果如表4所示： -2 0.097≈20.6。 表4 因为n为正整数，所以n的最大值为20。 「40，「50， 组别 「60， [70, 「80. [90, ,点评：本题考查样本的数字特征和正态 50) 60) 70) 80) 90) 100 分布，难度一般。正态分布是一种重要的分 频数 10 15 20 30 15 10 布，尤其是正态分布的3。原则在复习时要特 已知高一学生的这次竞赛成绩X近似 别注意。近几年的高考试卷中就出现了正态 服从正态分布N(,σ2)，其中：近似取为样 分布的问题，因此，在复习中不能忽视对这类 本平均数x的整数部分，σ近似取为样本标 知识的巩固，如正态分布、条件概率、相关系 准差s的整数部分，并已求得。=14（同一组 数、拟合效果等。 中的数据用该组区间的中点值为代表)。 动向三、以概率统计为背景的压轴题 (1)从高一年级随机抽取1名学生的竞 例3(2025年湖南九校联盟高三 赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间(56,98] 模)张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚 内的概率；（结果保留一位小数） 持晨跑的计划：30天晨跑训练。规则如下： (2)现从高一年级随机选取n名学生的 张明从第1天开始晨跑，若第i天晨跑，则他 竞赛成绩，根据(1)的结果，若他们的成绩均 在区间(56,98]内的概率不低于1%，求n的 第（十）天晨跑的概率为，且他不能连续 最大值。(n为正整数) 两天没有晨跑。设他第天晨跑的概率为 参考数据：1g2≈0.301，若X~N(u, Pm(1n30,n∈N)。 o),则P(H-。<X≤H十6)≈0.6826， (1)求P1,P,,P的值 P(-2o<X≤u十2o)≈0.9544。 (2)求数列{P,}的通项公式。 解析：(1)由题意知，6个分组的中点值 (3)若X,Y都是离散型随机变量，则 分别为45,55,65,75,85,95，则样本平均数 E(X十Y)=E(X)+E(Y)。记张明前n天 中学生表理化架学州幸新向 晨跑的天数为X,求E(X)。 因为X=X1十X2十…十X。,且对于离 解析：(1)因为第1天一定晨跑，所以 散型随机变量X,Y,有E(X十+Y)=E(X)十 P1=1。 E(Y),所以E(X)=E[X1+(X,十…十 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定， Xn)]=E(X1)十E(X2+…十Xn)=E(X1) 放P,= 十E[X2+(X十…十X,)]=E(X1十 E(X2)十E(X&十…十Xm)=…=E(X1)十 第3天晨跑的情况分两种：第1天晨跑， E(X2)十…+E(Xn)=P1十P2十…十Pn。 第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为1× (1-)×1=子第1天晨跑，第2天晨跑， 所以E(X)=1+[房+号()门 第3天层跑，概率为1××日- [+()门++[告+()门 所以P,=+名8 -1+",D+号[（)八+(》'+… (2)由题意知，张明第(n一2)天晨跑后， +(←)]=1+"，-号×1 下一次晨跑在第”天的概率为P,。,张明 (-)]-”+()+号1≤≤ 第(n一1)天晨跑后，在第n天晨跑的概率为 30)。 P.所以卫.=子P.+P.(n≥3 1 点评：本题考查概率与数列的综合问题， 4 难度较大。解决这种问题需要我们：①找到目 即4Pn=P.-1十3Pm-2=4Pm-1-3P,-1十 前状态下的“前一次事件”的所有可能性；②结 3Pm-2(n≥3)，所以4(Pm-Pm-1)=-3(P。-1 合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性 P。-PL=- -P),即p,1-P。 m≥3。 的数列递推关系；③利用数列递推关系求出数 所以{P+1一P}是以P2一P1为首项， 列的通项公式。其本质是一雏随机游走模型： 设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处， 为公比的等比数列。 4 在时刻t=0时，位于点x=i(i∈N“),下一个 由(1)知，P1=1,P:=,则P-卫1 时刻，它将以概率a或者B(a∈(0,1)，a十B= 1)向左或者向右平移一个单位。若记状态 3 ，所以卫.-D1=(-)。 X,=:表示在时刻t该点位于位置x=i(i∈ N”),那么由全概率公式可得P(X+1=)= 所以P-P=(),P,-P: P(X,=-1)·P(X+1=:|X,=-1)+P(X,=+1)· P(X+1=X=+1),由于P(X+1=X,=1)=B, ()P.-p=(-)。 P(X,+1=X,=+1)=a,代入上式可得P,=a· 所以Pn=P1+(P2-P)+(P一P2)+… P,+1十3·P,-1。 +(P.-P)=P+(-)+(-)++ 高考概率统计解答题，重在思路清晰与 步骤规范。复习时，请务必回归教材，吃透核 1-☐1 心概念；强化读题能力，精准把握关键词；答 4 题时，做到建模过程完整、计算步骤清晰、分 1-（-) 类讨论不重不漏。同时要把握好新动向，体 +号(-)(1≤n≤30). 会其设问方式与表述规范，确保会做的题不 丢分。面对创新题型，保持沉着，其本质仍是 (3)记前n天中，张明第i天晨跑的次数 基础知识的灵活应用。胸有模型，下笔有神， 为X;,由题意得P(X,=1)=P;。 定能稳操胜券。 (责任编辑王福华) 8