电，磁偏转中关于接收粒子数目问题赏析-《中学生数理化》高考理化2026年1月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根湖源 高中理化2026年1月 电、磁偏转中关于接收粒子数目问题赏析 ■广东省深圳市德琳学校高中部 余学昌（特级教师） 带电粒子在电场或磁场中的运动问题是 同学们的学习难点，也是各地各类考试与历 年高考中的高频考点，这类问题具有较强的 6 区分度，若是在电、磁偏转中叠加粒子撞击在 板（屏）上要求确定板（屏）接收粒子的数目等 问题更会让考生望而生畏。实际上，同学们 图1 若能冷静思考，沉着应对，从题目给出的条件 思路点拨：因为电子的初速度。垂直于 (长度、角度均匀分布)人手，尝试画出图形， 电场线方向，电子在电场中做类平抛运动，所 关注临界条件，寻求几何约束关系，则往往就 以可以采用平抛的研究方法，将电子的曲线 能顺利破题。下面举例说明，供同学们参考。 运动分解为沿初速度。方向的匀速直线运 一、电偏转中的接收粒子数目问题 动和沿电场线方向的初速度为零的匀加速直 当带电粒子以一定的初速度沿与电场线 线运动。 垂直的方向进入匀强电场时，粒子受到的静 解析：(1)当电子从两金属板正中间沿垂 电力与运动方向垂直，做类平抛运动。粒子 直于电场线方向以速度v。=2×102m/s飞 入时，若能飞出电场，则电子在电场中的运动 在匀强电场中的类平抛运动的处理方法类似 于重力场中的平抛运动，即应用运动的合成 时间4一二。在沿电场线方向上，电子受静电 与分解，将粒子的曲线运动分解为沿初速度 1 方向的匀速直线运动和沿电场线方向的初速 力作用，位移y=at,其中a=S-巴 mmd 度为零的匀加速直线运动。当空间放置有板 解得y=0.6cm,因为号 =0.5cm,所以 (屏)，需要判断板（屏）接收粒子的数目时，则 应以类平抛运动的分析为基础，关注临界状 之，即电子不能飞出电场。 态，寻找临界条件，采用动力学观点，应用运 (2)假设到金属板A的距离为d。的电 动学公式或牛顿运动定律列式求解。 子恰能飞出电场，则d一d。=y,解得d。= 例1如图1所示，两块长度1=3cm 0.4cm,故能飞离电场的电子数占总数的百 的平行金属板A、B相距d=1cm,与电压 U=300V的直流电源两极相连，且9A<9m, 分比为0.4cm×100%=40%。 1 cm 若在两金属板正中间有一电子（质量m=9× 点评：本题(2)问中的电子总数目和飞离 101kg,电荷量e=1.6×10C),沿着垂直 电场的电子数目都不确定，但是将分布宽为 于电场线方向以速度v。=2×10'm/s飞入， 1cm的电子带视为均匀分布，则其比率可借 则： 助长度关系来确定。 (1)电子能否飞离平行金属板间电场？ 同步训练1.如图2甲所示，静电除尘装 (2)如果从金属板A到B分布宽为1cm 置中有一长为l、宽为b、高为d的矩形通道， 的电子带通过其间电场，不计电子之间的相 其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用 互作用，那么能飞离电场的电子数占总数的 金属材料。如图2乙所示是该装置的截面 百分之几？ 图，上、下面板与电压恒定的高压直流电源相 38 解新题捏费开中学生表理化 连，质量为m、电荷量为一q、分布均匀的尘埃 向第一、四象限各个方向均匀发射速率均为 以水平速度。进入矩形通道，当带负电的尘 v。的电子。已知电子的电荷量为e、质量为 埃碰到下面板后其所带电荷被中和，同时被 m,与x轴正方向间夹角a=30°向第四象限 收集。通过调整上、下面板间距d可以改变 发射的电子进入区域Ⅱ时的速度方向恰与x 收集效率7。当d=d。时，n=81%(即离下 轴正方向相同，且打在荧光屏上的P(3d,0) 面板0.81d。范围内的尘埃能够被收集)。不 点。忽略电子自身重力及电子之间的相互作 计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。 用，求： 1接地线 图2 (1)求收集效率为100%时，上、下面板 图3 间距的最大值dms。 (1)磁感应强度B与电场强度E (2)求收集效率”与上、下面板间距d的 (2)沿y轴负方向发射的电子到达荧光 函数关系。 屏上时的纵坐标。 参考答案：(1)dx=0.9d。。(2)当d (3)能够到达荧光屏的电子数占电子源 0.9d。时，7=100%；当d>0.9d。时，7= 发射总数的百分比。 0.81(借)×100%. 思路点拨：磁偏转问题多为部分圆弧运 动问题。依据洛伦兹力充当向心力，沿用处 二、磁偏转中的接收粒子数目问题 理磁偏转的基本方法：画轨迹（定圆心），找联 当带电粒子以一定的速度沿与磁感线垂 系（求半径、确定几何约束关系、明确偏转角 直的方向进入匀强磁场时，粒子受到的洛伦 度与圆心角、判断运动时间与周期的关系)， 兹力与运动方向垂直，在垂直于磁感线的平 用规律（半径、周期公式），即可顺利求解。 面内以入射速度做匀速圆周运动。粒子在匀 解析：(1)电子以与x轴正方向间夹角 强磁场中的匀速圆周运动的处理方法类似于 α=30°向第四象限发射时的运动轨迹如图4 重力场中的圆周运动，即洛伦兹力提供粒子 所示。设电子在区域I内匀强磁场中的运动 做匀速圆周运动所需的向心力，轨迹圆的圆 心在与入射速度垂直的直线上，满足关系式 9B=m发T--。当空间放置有 v 板（屏），需要判断板（屏）接收粒子的数目时， 则应关注速度大小的取值范围或速度射入角 度的范围，利用临界条件和平面几何知识列 式求解。 图4 例2如图3所示，在Oxy平面内，在 轨迹半径为r,根据几何关系得rsin a=d, 0≤x<d的区域I内仅有垂直于平面向外的 匀强磁场；在d≤x<3d的区域Ⅱ内仅有沿 根据洛伦兹力提供向心力得euB=m,,解 y轴负方向的匀强电场；在x=3d处垂直于 x轴放置一足够大的荧光屏。位于O点的电 得r=2a,B=22 设电子在区域Ⅱ内匀强 子源可在180°的范围内沿平行于Oxy平面 电场中的运动时间为t,,加速度的大小为a, 39 中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高中理化2026年1月 则沿水平方向有2d=vot1,沿竖直方向有 的速度与x轴正方向间的夹角为B,根据几 1 ati,又有eE=ma,解得a= 1 r(1-cosa)=- 何关系得rsin B-=r一d,解得sinB=之，即 (2-√3)w ,E=(2-3)mu B=30°，因此能够到达荧光屏的电子数占电 2d 2ed 0 于源发射总数的百分比)=90十里×100%- (2)当电子沿y轴负方向发射时，其运动 180° 轨迹如图5所示。设电子由C点进人区域Ⅱ 66.7%。 内匀强电场，打在荧光屏上的D点，电子到 点评：本题中电子源发射的电子的速度 达C点时的速度方向与x轴正方向间的夹 大小保持不变，方向在180°范围内变化，可利 角为日，C点的纵坐标为yc,根据几何关系得 用旋转圆来确定电子在磁场中的运动轨迹。 sin o=d (1)问因题千已明确给出了与x轴正方向间 ，一yc=rcos0,又有r=2d,解得 夹角α=30°向第四象限发射电子的准确位 sin0=2,即0=30°，yc=-3d。设D点 1 置，故从位置关系入手破题，必须先画出电子 的偏转图形，再利用几何关系和圆周运动规 的纵坐标为yD,电子在区域Ⅱ内匀强电场中 律列式求解；(3)问中的电子数占比问题需要 的运动时间为t2,则2d=vot2cos0,yn一yc= 利用角度占有量去确定。 -vot,sin 0- 2at,又有a= (2-√3) ,解得 2d 例3上海光源是我国的重大科学装 置。在该装置中，电子经电场加速，进人波荡 yD=（3 -33)d。 器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷 量e、质量m、初速度v。均已知，不计相对论 效应与辐射带来的动能损失，忽略电子自身 重力。 .id 2d 3d (1)如图7甲所示为直线加速器简化模 型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使 电子从右侧出射时的动能为Ek,求极板间的 加速电压U。 D ×日 … 图5 C (3)因为荧光屏足够大，所以电子只要能 进人电场就能到达荧光屏，当电子到达磁场 右边界的速度方向恰好与边界相切时，电子 恰不能进人电场，也就不能到达荧光屏，其运 动轨迹如图6所示。设对应电子射入磁场时 图7 (2)如图7乙所示为波荡器简化模型，匀 强磁场均匀分布在多个区域内，水平面内沿 轴线AC方向每一区域宽度均为d,纵向尺 寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂 直于纸面。在A点放置一电子发射装置，使 电子以速率v在纸面内与轴线AC成一60° 十60°的角度范围内均匀发散射出。若恰有 75%的电子能从区域I右边界射出，求区域 图6 I内匀强磁场的磁感应强度B。 40 解新题捏费开中学生表理化 思路点拨：电子在直线加速器内受到水 物理的重要仪器，主要由加速电场、偏转电场 平向右的静电力，做匀加速直线运动，利用动 和偏转磁场三部分构成。如图9甲所示为某 能定理可求加速电场的电压。电子在波荡器 科研团队设计的粒子偏转装置示意图，粒子 内受到洛伦兹力，在相邻的匀强磁场区域中 源可以均匀连续地发出质量为m、电荷量为 做部分圆弧运动，利用“恰有75%的电子能 十9、初速度忽略不计的粒子，粒子经电压为 从区域工右边界射出”这一条件，找到电子刚 U。的加速电场加速后，贴近上极板边缘，水 好无法从区域工右边界射出的临界条件，即 平飞入两平行金属板间的偏转电场。两水平 可顺利破题。 金属板的板长为2√2d,间距为d,两极板间 解析：(1)电子在电场中做匀加速直线运 加有如图9乙所示的周期性变化的电压，其 动，根据动能定理得eU=E一立m,解得 m 最大电压也为U、周期为2d√元。偏转电 U=2Ex-mvk 场下极板右端正下方紧挨着它竖直放置长度 2e 为d的探测板。粒子由偏转电场飞出后，立 (2)电子在区域I内匀强磁场中运动，根 即进入偏转电场右侧的垂直于纸面向外的水 据左手定则测可知，电子受到的洛伦兹力斜向 平匀强磁场中，最后经匀强磁场偏转后打在 下。根据洛伦兹力提供向心力得evB= 探侧板上。不计粒子自身重力及粒子间的相 、n,解得B。根据电子在与轴线AC】 互作用，求： 成一60°~十60的角度范围内均匀分布可知， -2d 入射角度相对轴线AC偏下30°的电子刚好 粒子源 无法进人区域Ⅱ。若电子刚好无法从区域I 加速电场 右边界射出，则电子的运动轨迹与区域I右 偏转电场 边界相切，如图8所示，根据几何关系得d= 偏转磁场 R-Rsin30°，解得R=2d,B=m 探测板 d 1U/V U a.24.3/ t/s 0 乙 图9 (1)从偏转电场出射的粒子通过偏转电 场所用的时间t。 图8 (2)从偏转电场出射的粒子数占粒子源 ,点评：本题考查的主要知识点有电子在 发射总数的百分比？。 电场中的匀加速直线运动，需要应用动能定 (3)当从偏转电场出射的粒子全部能够 理列式求解；电子在磁场中的偏转，需要应用 到达探测板时，偏转磁场的磁感应强度B需 洛伦兹力充当向心力的公式和几何关系列式 要满足的条件。 求解。(2)问根据恰有75%的电子能从区域 m 参考答案：(1)t=2d I右边界射出，易知相应的角度，结合电子的 √gU。(2)7= 运动轨迹与区域「右边界相切的临界条件， 2 .4 2mUo 50%;(3) 2mU。 即可求得磁感应强度B。 d q ≤B≤dq 同步训练2.粒子偏转装置是研究高能 (责任编辑张巧) 41