正交分解和斜交分解——两种求解抛体运动极值问题方法的比较-《中学生数理化》高考理化2026年1月刊

新理新路捏费开中学生表理化 正交分解和斜交分解 两种求解抛体运动极值问题方法的比较 ■四川省邛峡市第一中学校 许倩 ■四川省成都市双流区广都综合高中黎国胜（特级教师，正高级教师） 近几年来，抛体运动特别是斜抛运动常 答案：ABD 常出现在各地各类考试中。解决抛体运动的 解法一：正交分解法 常用方法是正交分解法，当求解抛体运动的 把小球的运动分解为沿斜面方向的匀变 极值时，有时采用正交分解法的运算量会比 速直线运动和垂直于斜面方向的匀变速直线 较大，若能巧妙地采用斜交分解法，则往往可 运动，小球从抛出到落到斜面上沿垂直于斜 以简化运算，提高解题效率。下面举例说明。 面方向的位移为0，沿两个正交分解方向的 例题如图1所示，空间中分布着竖直 加速度分量恒定，在空中的运动时间取决于 沿垂直于斜面方向的初速度的大小。根据运 向下的匀强电场，电场强度E=g。质量为 9 动的等时性可知，小球沿垂直于斜面方向的 m、电荷量为十q的小球（可视为质点），从斜 运动时间即为小球在空中的飞行时间。因为 面上的O点以大小为。的初速度在纸面内 小球沿垂直于斜面方向的加速度分量恒为 沿不同方向抛出，最终小球均落在斜面上。 已知斜面的倾角为日，重力加速度为g,不计 ,=ac0s8=(g+9%)os0=2gc0s9,所以 空气阻力。下列说法正确的是( 类比斜抛运动，当小球的初速度方向与斜面 )。 垂直时，小球在空中的飞行时间最长，小球与 斜面间的距离最大，且t:-2 8cos日1 o}=2×2gcos0·dmx,解得dmx= 4gcos 0' 图1 选项A正确，C错误。 A,小球在空中飞行的最长时间为。 把小球的运动分解为竖直上抛运动和水 gcos 0 平方向的匀速直线运动，则加速度恒定，竖直 B.小球距O点的最大高度为 g 上抛运动的最大高度由其初速度快定。根据 C.小球与斜面间的最大距离为2gc0s0 题意可知，当初速度。方向竖直向上时，竖 直上抛运动的初速度最大，小球距O点的高 D.小球在斜面上落点区域的长度为 度最大。根据运动学公式得v=2ahmx,其中 g cos20 a=g十5=2g,解得hm一 ,选项B正确。 m 术银踪训练 A.I变大，U变大 B.I变大，J变小 C.I变小，U变小小 D.I变小，U变大 如图4所示是某物理学习小组设计的火 警报警器电路的原理图，用半导体热敏材料制 成的传感器R:的电阻随温度的升高而减小， 电流表A为值班室的显示器，报警器接在电源 两极之间。当传感器R,所在位置出现火情 图4 时，报警器响起，此时电流表显示的电流I、报 参考答案：C (责任编辑 张 巧) 警器两端电压U的变化情况是()。 35 中学生表理化新摩费 将小球偏下方抛出，当小球的初速度方 根据运动的独立性，可以将小球的运动分解 向与斜面间的夹角为a(0°<a<90°)时，将小 为沿初速度。方向的匀速直线运动和竖直 球的初速度v。和加速度a分别正交分解，如 向下的自由落体运动，这时两个分运动不垂 图2所示，则vox=vocos a, 直，我们称之为斜交分解法。 voy=vosin a,a-asin 0= 如图4所示，将一个小球从水平地面上 2gsin 0,a= acos 0 的某个位置以初速度。沿与地面夹角为日 2gcos0,沿垂直于斜面方向 的方向抛出，小球做斜上抛运动，最后落在水 有t= 2v0 vosin a gcos9,沿斜面 图2 平地面上，采用斜交分解法求小球在空中的 运动时间和最大射程的过程如下： 1 方向有x下=0t十2a.t vosin acos a gcos 0 vosin'asin 0 gcos'0 2gcos'9·[sin(2a-)）+ 0 sin8],当2a-0= 经，即a=年+ 之时，xr取 图4 图5 得最大值，且xm=一2gc0s (1十sin0)。将 将小球的运动沿初速度。与加速度g 小球偏上方抛出，当小球的初速度方向与斜 方向进行分解，则小球沿初速度。方向做匀 速直线运动，沿加速度g方向做自由落体运 面间的夹角为B(0°<B<90°)时，将小球的初 动，如图5所示。根据几何关系得s·sin0 速度v。和加速度a分别正交 1 分解，如图3所示，则v’= h,即vt·sin0=2gt,整理得运动时间t= vocos B,vo'=vosin B,a:= 2vosin 0 asin日=2gsin0,ay 。 根据正弦定理得 g acos0=2gcos日，沿垂直于斜 sin 2 图3 x 面方向有t'= vosin B sin(o) 整理得x=sin2 ,因此当日= a 8cos日， g 沿斜面方向有x上=v't'一 2a,t'2 45时，水平射程x取最大值，且m一 g vosin Bcos B vsin'Bsin 0 2.斜交分解的一个重要结论：根据做平 gcosθ gcos'0 2gcos'0 抛运动物体的末速度的反向延长线过其水平 [sin(2p+0)-sin9],当2p+0=2,即B- 位移的中点可以证明，从斜面上抛出做斜抛 运动的物体落在斜面上时的速度的反向延长 车一2时，x上取得最大值，且x上ms 线过其沿初速度方向分位移（匀速直线运动 分位移)的中点。 2gc0s日1一sin0)。因此小球在斜面上落点 v后 证明：如图6所示，从倾角为日的斜面上 O点以初速度v。抛出的物体落到斜面上P 区域的长度x=x上nx十x下mx= 8c0s2日'选项 点时的速度vp=vo十v,由速度vp、vo、y,构 D正确。 成的矢量三角形和几何三角形MNP是相似 评析：显然，采用正交分解法分析与判断 三角形，设线段MN的长度为x,则= 本题选项D时的运算量很大，且需要灵活应 1 用数学知识求最值。 1 一，其中v,=gt,整理得x= 20t,式中 解法二：斜交分解法 28 1.斜交分解的基本方法：在斜抛运动中， t是物体沿初速度方向的分位移，因此物体 36 解新题捏开中学生表理化 落在斜面上时的速度的反向延长线过其沿初 (1-sin8)。 速度方向分位移（匀速直线运动分位移）的 gcos 0 中点。 Vot M t 图7 (3)判断例题中的D选项：因为例题中的 图6 带电小球是在由重力场和竖直向下的电场组 3.用斜交分解法分析与判断例题中的D 成的叠加场中做类斜抛运动，所以带电小球 选项。 的等效重力加速度为2g,利用小球在重力场 (1)在重力场中，将小球从斜面上的O 中的斜交分解的结论易得例题中的带电小球 点偏下方抛出，判断当小球的初速度方向 1 与斜面间的夹角a(0°<a<90°)为多大时， 在斜面上落点区域的长度x一 （x上mx十 小球落到抛出点下方斜面上的射程最远： 在如图6所示的位移矢量三角形ONP中， gcos日'选项D正确。 1 vot 28t 个银桨训练 根据正弦定理得 sin(-g) sin a, 如图8甲所示，某农场安装有一种自动 浇水装置，在农田中央装有一根竖直细水管， vot x下 整理得t= 从喷嘴喷出一细水柱，水柱的初速度大小 sin(2-0) sin(+g-a） v。=10m/s,初速度方向与水平方向间的夹 2vosin a 2vsin acos(0-a) 角0可调(0°≤θ≤90°)，喷嘴离水平地面的高 g cos20 度h=1.05m,其结构简图如图8乙所示，整 v[sin(2a-0)+sin 0] 个装置可以绕中心轴线缓慢地匀速转动，取 gcos日 ,因此当2a-0=2, 重力加速度g=10m/s,不计空气阻力，忽 即a= +号时取得最大值，且 略喷嘴到中心轴线的距离，则该自动浇水装 置的最大浇灌面积为()。 cosg1+sin0)。 (2)在重力场中，将小球从斜面上的O 点偏上方抛出，判断当小球的初速度方向 与斜面间的夹角B(0°<B<90)为多大时， 小球落到抛出点上方斜面上的射程最远： 77777777 7777777777 在如图7所示的位移矢量三角形OKQ中， 同理得x上= 2vosin Bcos(0+B) 图8 gcosθ A.21πm v[sin(28+0)-sin 0] B.100元m gcos日 ,因此当28+9=，即 C.121元m D.144πm 参考答案：C 月=一时，取得最大值，且 (责任编辑张巧) 37