类比法分析静电场与引力场问题-《中学生数理化》高考理化2026年1月刊

知识篇知识结物与拓居中学生数理化 高中理化2026年1月 类比法分析静电场与引力场问题 ■北京师范大学贵阳附属中学 陈卫国（正高级教师） 类比是根据两个研究对象之间某些方面 二、质量均匀分布的球壳（球体）的重力 的相同或相似，推论出其他方面也可能相同 场分布与电荷量均匀分布的球壳（球体）的静 或相似的一种认识事物的思维方法。类比与 电场分布的比较 归纳、演绎的关系如图1所示。下面就让我 质量均匀分布球壳的重力场分布与电荷 们采用类比法来分析静电场与引力场中的某 量均匀分布球壳的静电场分布的比较如图2 些问题，体会类比法的重要作用吧！ 所示。 一般 电荷量均匀分布球壳 归纳 类比 演绎 场场强为0 内部电场场强为0、 小 部电场场强大小 严方反比规律 满足平方反比规律 类比 特殊 、特殊 图2 图1 1.如图3所示，质量M均 一、地球重力场与电荷静电场的比较（见 匀分布在半径为R的球壳上，该 表1) 球壳产生的重力加速度g.与到 表1 球心距离r的关系： (1)在球壳内部，即当r<R 地球重力场 电荷静电场 图3 时，有g=0; 地球周围空间存在重力场 电荷周围空间存在静电场 (2)在球壳外部，即当r>R时，有 同一位置，重力加速度 同一位置，电场强度E mg.=GMm,整理得g, G_ms相同 F gE 相同 mm q (3)在球壳上，即当r=R时，有g 重力场中物体的重力势能 静电场中电荷的电势能 &=GM 2。 E。=mgh E,=q9 因此g,r图像如图4所示。 同一位置，不同质量物体 同一位置，不同电荷量电 的重力势能与质量的比值 荷的电势能与电荷量的比 恒定，即E-mg =gh 值恒定，即5_空- m 99 在静电场中移动电荷，静 在重力场中移动物体，重 电力做功只与电荷的电荷 图4 力做功只与物体的质量及 量及始末位置电势差U 2.如图5所示，电荷量Q Q 始末位置高度差△h有关 有关 均匀分布在半径为R的金属球 重力做的功等于始末位置 静电力做的功等于始末位 壳上，该球壳产生的电场强度 重力势能的差，即WA 置电势能的差，即WAB E与到球心距离r的关系： (1)在球壳内部，即当r<R EnA一EpB EpA一EB 图5 时，有E=0; 21 中学生表理化架州贸德辞7行展 (2)在球壳外部，即当r>R时，有gE,= 4 kg,整理得E,=91； w=Q·R越理得E,·反： (2)在金属球外部，即当r>R时，有 (3)在球壳上，即当r=R时，有E. E=kQ E,=学整理得E,9: R2。 (3)在金属球表面，即当r=R时，有 因此E,r图像如图6所示。 E=E-0 因此E.r图像如图10所示。 E 图6 3.如图7所示，质量M均 M 匀分布在半径为R的球体上，该 R 图10 球体产生的重力加速度g与到 结论：质量均匀分布球壳产生的重力加 球心距离r的关系： 速度与电荷量均匀分布球壳产生的电场强度 (1)在球体内部，即当r<R 图7 在形式上完全相同，质量均匀分布球体产生 ,且M= M.m M 时，有mg=G 的重力加速度与电荷量均匀分布金属球产生 4 3元Ra 的电场强度在形式上也完全相同。 三、氢原子核外电子绕核做匀速圆周运 专r=M·京整理得g.-,发cc GM r 动与太阳系各行星绕太阳做匀速圆周运动的 (2)在球体外部，即当r>R时，有 比较 mg:=G整理得g, GM&1 1.如图11所示，氢原子核外电子绕核做 匀速圆周运动： (3)在球体表面，即当r=R时，有gx= GM 8-- R2。 因此gr图像如图8所示。 图11 根据km 得u=, ke 电子的 动能B,一立m,。一会>0，电于的电势能 1 E。=一 e<0,电子绕核运动时的总能量 图8 4.如图9所示，电荷量Q均 E=E十E。=2,一=一Re 2r <0。因此电 r 匀分布在半径为R的金属球上， R 该金属球产生的电场强度E与 子绕核运动时的能量满足关系式「E。一 到球心距离r的关系： 2|E1,|Ek1=1E。 (1)在金属球内部，即当 图9 说明：令离核无限远处的电势能为零，则 电子在正电荷产生的静电场中的电势能为负 r<R时，有qE=k 且Q= Q 4 值，电子的动能为电势能绝对值的一半，总能 3TR3 量为负值。 22 如视阳墙胸年行骨中学生凝理化 2.如图12所示，行星绕太阳做匀速圆周 内分布着竖直向下的匀强电场（图中未画 运动： 出)，电场强度为E,重力加速度为g,点电荷 在运动过程中的最小速度为，试求： ●天王星 ●海王星 图13 图12 (1)当点电荷的速度为2时，速度方向 根据GMm GM 行星 和水平方向间的夹角日。 0 (2)点电荷的速度由v增大到2所用的 1 的动能E,=之mu GMm ,行星的势能 时间t。 2r 解析：点电荷在平面直角坐标系Oxy内 GMm,行星绕太阳运行时的总机械能 受到竖直向下的重力和静电力作用，做类斜 E-Ex+E-GMm GMm=-GMm0 上抛运动，轨迹为抛物线，如图14所示。 2r 2r 因此行星绕太阳运行时的能量满足关系式 E。|=2E1,|Ek1=1E|。 说明：令离太阳无限远处的引力势能为 零，则行星在太阳引力场中的势能为负值，行 图14 星的动能为势能绝对值的一半，总机械能为 (1)在轨迹的最高点，点电荷的速度方向 负值。 水平且最小，为，当点电荷的速度为2时， 四、学以致用 速度方向和水平方向间的夹角日满足关系式 例1假设中国空间站组合体在距地 面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周 cos 品-子，即9=60 运动，已知地球半径为R,地球表面附近重力 (2)点电荷的速度由v增大到2u所用的 加速度为g,不计地球自转。试求：中国空间 时间t=0=2w·sin0.3mu 站组合体的线速度和向心加速度。 a mg+qEmg十qE 解析：在地球表面附近，物体所受重力和 总结：类比是一种由个别到个别的推理 万有引力近似相等，即G一mg,整理得 形式。采用类比法得到的结论具有或然性， GM=gR。中国空间站组合体绕地球做匀 结论正确与否必须由实验检验。德国哲学家 Mm v2 康德曾经说：“每当理智缺乏可靠论证思路 速圆周运动，则GR十h)=mR十h 时，类比往往能指引我们前进。”尽管用类比 mam,解得中国空间站组合体的线速度大小 并不能直接得出结论，但类比往往会在问题 g 难以解决时，通过形象过渡，使问题获得突 0=R√尔千h,方向沿圆周的切线方向：向心 破，因此类比是一种非常有效的探索问题的 gR 加速度大小a。一R十h),方向指向圆心。 方法。综观高中物理教材可以发现，采用类 比法处理问题的案例比比皆是，因而，在高中 例2如图13所示，质量为m、电荷量 物理的学习中，我们固然应该重视知识的学 为q(q>0)的点电荷从平面直角坐标系Oxy 习，但更应重视物理思维方法的培养。 的原点O以某一速度斜向上抛出，Oxy平面 (责任编辑张巧) 23