多物体系统问题的求解方法-《中学生数理化》高考理化2026年1月刊

专精中金经热季翠方青中学生款理化 心登登登登登效终登登效效登登效登登终登登公登经处登登登登登登效登登处登效处登经登登登经 编者按：物理问题的研究对象可以是单一物体，也可以是由多个物体组成的系统。当* 研究对象是单一物体时，分析与求解问题的方法相对简单；当研究对象是由两个或两个以产 上物体组成的系统时，同学们就容易出现思路混乱的情况。本期专栏特邀山东省与上海÷ 市双料特级教师、正高级三级教师李树祥，深度剖析多物体系统问题的求解方法，希望能产 够为同学们指明解题方向，提供有效助力。 点整效格数数数投整投数整整设整投整数好数投效格好格格格格故极教拉故故故超招招设效招格格 多物体系统问题的求解方法 ■上海师范大学附属中学 李树祥（特级教师、正高级教师） 当研究对象是由两个或两个以上物体组 例2如图2所示，滑块A放置在水 成的系统时，应该如何分析与求解呢？ 平地面上，滑块B在一水平力F作用下紧靠 一、当系统内各个物体的运动情况相同 滑块A左侧面，此时滑块A恰好不滑动，滑 时，采用整体与隔离法，应用平衡条件或牛顿 块B刚好不下滑。已知滑块A与B间的动 运动定律列式求解 摩擦因数为“1，滑块A与地面间的动摩擦因 当系统内各个物体的运动情况相同时， 数为：2，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力， 一般是把系统视为整体采用整体法研究其受 则滑块A与B的质量之比为( )。 力情况或运动情况，若需研究系统内某个物 体或几个物体的受力情况或运动情况，则需 777777777777777777 采用隔离法把待研究的某个物体或几个物体 图2 隔离出来单独进行研究。 1 例1如图1所示，用完全相同的轻弹 A.- B.11 1L2 miu? 簧A、B、C将两个相同的小球1、2连接并悬 C. 十12 2+412 D. 挂，两个小球均处于静止状态，弹簧A与竖 12 12 直方向间的夹角为30°，弹簧C处于水平位 解析：对由滑块A、B组成的整体应用平 置，则弹簧A、C的伸长量之比为()。 衡条件，在水平方向上有F=2（mA十 m)g,对滑块B应用平衡条件，在竖直方向 A 上有AF=mg,解得mA=1一 ! m. 答案：B 二、当系统内各个物体的运动情况不同 时，应用动量守恒定律、机械能守恒定律、功 图1 能关系或能量守恒定律等进行分析与求解 A.3:4 B.4:√3 1.应用动量守恒或机械能守恒条件进行 C.1:2 D.2:1 守恒判定：系统动量守恒的条件是系统不受 解析：设三根弹簧的劲度系数为k,两个 小球的质量为m,设弹簧A的拉力为F4,弹 外力或所受合外力为零或所受内力远大于外 力（如碰撞、爆炸或反冲），若不满足这些条 簧C的拉力为Fc,把两个小球（含弹簧B)视 件，则系统的动量不守恒；系统机械能守恒的 为一个整体，根据平衡条件得F4si30° Fc,即FA=2Fc,因此弹簧A、C的伸长量之 条件是除系统受到的重力和内部弹力做功 比xa:x-F:=2:1. 外，其他内力和外力都不做功，即系统内只用 动能与重力势能、弹性势能之间的转化，若系 答案：D 统所受其他内力或外力做功，即系统内除动 3 中学生款理化韩壁免师感季方法 能、重力势能、弹性势能外，还有其他能量参 解析：撤去推力后，由小车、弹簧和滑块 与转化，则系统的机械能不守恒。 组成的系统受到的外力是重力和地面对它的 注意：判断系统的动量是否守恒无须分 支持力，合外力等于零，因此系统的动量守 析内力，而判断系统的机械能是否守恒，不但 恒；因为滑块与车厢水平底板间有摩擦，且撤 要分析内力和外力，还要分析力的做功情况。 去推力时滑块相对车厢底板有滑动，即有滑 例3如图3所示，在粗糙水平地面 动摩擦力做功，所以系统的机械能不守恒。 上，两物体A、B用轻绳相连，在恒力F作用 答案：B 下做匀速直线运动。某时刻轻绳断开，物体 2.应用动量守恒定律列式求解：通过对 A在力F牵引下继续前进，物体B最后静 系统所受外力的分析，若发现系统满足动量 止。在物体B静止前，由物体A和B组成的 守恒的条件，则可以灵活地选用恰当的动量 系统的动量（选填“守恒”或“不守恒”）； 守恒表达式列方程求解。 在物体B静止后，由物体A和B组成的系统 (1)p=p',即系统发生相互作用前的总 的动量 (选填“守恒”或“不守恒”)。 动量力等于发生相互作用后的总动量'： (2)m101十m20,=m11′十m2v2',即由两个 物体组成的系统发生相互作用前的动量和等 图3 于发生相互作用后的动量和；(3)△p:= 解析：轻绳断开之前，由物体A和B组 一△p2',即由两个物体组成的系统内一个物 成的系统在水平方向上受到的外力是恒力F 体的动量变化量与另一个物体的动量变化量 和地面对它的滑动摩擦力，因为系统做匀速 大小相等，方向相反；(4)△p=0,即系统动量 直线运动，所以合外力等于零，即F一∫4一 的变化量为零。 ∫=0，所以系统的动量守恒；轻绳断开之后 注意：当系统在某个方向上受到的合外 至物体B静止之前，系统的受力情况不变， 力等于零时，系统在这个方向上的动量守恒； 依然满足F一f4一fB=0,所以系统的动量 因为动量是矢量，所以应用动量守恒定律列 依然守恒；物体B静止之后，系统的受力情 方程前必须规定正方向。 况发生改变，应有F一fA=m4a,系统所受合 例5气球的质量为200kg,载有质量 外力不等于零，所以系统的动量不守恒。 为50kg的人，静止在空中距地面20m的位 答案：守恒不守恒 置。气球下悬一根质量可忽略不计的绳子， 例4如图4所示，在光滑水平地面上 此人想从气球上沿绳缓慢下滑至安全到达地 有一小车，一轻质弹簧的一端与车厢相连，另 面，则这根绳子的长度至少为( )。 一端与滑块相连，滑块与车厢水平底板间有 A.15m B.20m 摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去 C.25m D.30m 推力时滑块相对车厢底板有滑动。在地面参 解析：初始状态下，由人和气球组成的系 考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，由 统处于静止状态，说明系统所受合外力为零， 小车、弹簧和滑块组成的系统( )。 系统的动量守恒。设人安全到达地面时，人 的速度为v1,气球的速度为v2,运动时间为 0a00000000☐ t,以由人和气球组成的系统为研究对象，规 定竖直向下为正方向，根据动量守恒定律得 图4 A.动量守恒，机械能守恒 ,人一m球t m人01一m球2=0，即m大专 球=0，整 B.动量守恒，机械能不守恒 1 1 C.动量不守恒，机械能守恒 理得s球= 45人= ×20m=5m。根据几何 D.动量不守恒，机械能不守恒 关系可知，气球和人的运动路程之和等于绳 专精中金经热季翠方情中学生款理化 子的长度，则绳子的长度L=s球十s人=5m十 方向的分速度大小相等。 20m=25m,即这根绳子至少长25m 例7如图6所示，两个质量相等的小 答案：C 球a、b(可视为质点)通过铰链用长为√2L的 例6 一门旧式大炮如图5所示，炮车 刚性轻杆连接，小球a套在竖直杆M上，小 和炮弹的质量分别为M和，炮简与水平地 球b套在水平杆上，初始状态下，刚性轻 面间的夹角为α，炮弹发射瞬间相对地面的 杆与竖直杆M间的夹角为45°。细杆M、N 速度为。。不计炮车与水平地面间的摩擦， 足够长，并不接触（小球α、b均可无碰撞地通 则炮弹发射瞬间炮车向后反冲的速度大小 过O点)，且两细杆间的距离可忽略不计，不 为( )。 计一切摩擦，重力加速度为g。现将两小球 由静止释放，下列说法中正确的是( )。 m 7777777777 图5 A.mvocos a B.mvosin a M M C.mvotan a mvocos a M D.M+m 图6 解析：当炮弹离开炮口时，由炮弹和炮车 A.由两小球组成的系统机械能不守恒 组成的系统在水平方向上受到的外力相对于 B.当小球a到达与b等高位置时，小球 内力可忽略不计，则系统在水平方向上的动 a的速度大小为√gL 量守恒。设炮弹发射瞬间炮车的速度为， C.当小球a运动到最低点时，小球b的 取炮车后退的方向为正，对由炮弹和炮车组 速度达最大 成的系统，在水平方向上有M一mw。cosa D.在小球a从初始位置下降到最低点 0,解得0= mvocos a 的过程中，刚性轻杆对小球a的弹力一直做 M 负功 答案：A 解析：由两小球组成的系统除所受重力 3.应用机械能守恒定律列式求解：通过 和内部刚性轻杆的弹力做功外，没有其他力 对系统所受的除重力和内部弹力之外的其他 做功，故系统的机械能守恒，选项A错误。 力做功情况的分析，若发现系统满足机械能 根据系统机械能守恒可知，当小球a到达与 守恒的条件，则可以选用恰当的机械能守恒 b等高位置时，两小球沿刚性轻杆方向的分 定律表达式列方程求解。 速度大小相等，且小球b的速度为0，设两小 (1)E1=E2,即系统初状态机械能的总 和与末状态机械能的总和相等，注意：必须选 球的质量为m,则mgL=2mv,解得v。= 好零重力势能参考面，且初、末状态必须用同 √2gL,选项B错误。当小球a运动到两细 一零重力势能参考面计算重力势能；(2)△Ek= 杆的交点O后继续往下运动√2L时，小球b 一△E。,即系统减少（增加）的势能等于系统 到达两细杆的交点O处，小球a的速度为0， 增加（减少）的动能，注意：必须弄清重力势能 小球b的速度达最大，则mg(L十√2L) 的增加量或诚少量，且可不选取零重力势能 参考面而直接计算初、末状态的重力势能之 之mu,解得v,=√2(1+2)gL,选项C正 1 差；(3)△EA增=△EB藏，即系统内A部分物体 确。根据系统的机械能守恒可知，在小球α 机械能的增加量等于B部分物体机械能的诚 从初始位置下降到最低点的过程中，刚性轻 少量，注意：用绳或杆连接的物体，沿绳或杆 杆对小球a的弹力先做负功后做正功再做负 5 中学生款理化实带里免师新肉举方志 功，选项D错误。 4.应用能量守恒定律或功能关系列式求 答案：C 解：当系统的机械能不守恒时，可以利用能量 例8如图7所示，在一竖直平面内， 守恒定律或功能关系列式求解。 小物块A与小球B跨过定滑轮用轻绳相连， 能量守恒定律的表达式有系统初状态的 小物块A穿在水平光滑直杆上，开始时小物 总能量与末状态的总能量相等，即E1一E2; 块A静止在直杆上的C点，此时轻绳与水平 系统某种能量的增加量等于其他能量的减少 方向间的夹角日=30°，直杆与定滑轮O1、O2 量，即△E某=一△E其施。 间的竖直距离为L,重力加速度为g。已知 常见的功能关系有系统所受合外力做的 小物块A与小球B的质量相等，直杆足够 功等于系统动能的变化量，即W合=△Ek(动 长，小球B运动过程中不会与直杆相碰， 能定理)；系统所受保守力做的功等于相应势 sin53°=0.8，c0s53°=0.6。现将小物块A 能的改变量，即W查=一△E重或W弹= 由静止释放，求： 一△Ep弹或W电=一△E电；除重力和系统内部 弹力做的功外，系统所受其他力做的功等于 系统机械能的增加量，即W地=△E机；一对 互为作用力与反作用力的摩擦力做的总功等 于系统因摩擦而减小的机械能，即Q=fs相； C 若安培力做正功则电能转化为其他形式的 图7 能，若克服安培力做功则其他形式的能转化 (1)当小物块A从C点运动到D点时， 为电能，且克服安培力做多少负功，就有多少 轻绳与水平方向间的夹角α=53°，在这个过 电能产生，即E电=一W安。 程中小球B下降的高度、小物块A到达D 例9如图8所示，固定斜面的倾角 点时的速度分别为多少？ 日=30°，物体A与斜面间的动摩擦因数H= (2)在小物块A沿直杆滑动的过程中能 够达到的最大速度为多少？ ，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于 4 解析：(1)当小物块A从C点运动到D 原长状态时上端位于C点，用一根不可伸长 点时，小物块A与小球B沿绳方向的分速度 的轻绳跨过轻质光滑定滑轮连接物体A和 大小相等，即小物块A与小球B的速度满足 B,定滑轮右侧轻绳与斜面平行。物体A的 关系式vB=v4cosa。根据几何关系可知，小 质量M=4kg,物体B的质量m=2kg,初始 球B下降的高度h=上。L=三L。由 状态下，物体A到C点的距离L=1m。现 sin日sina41 给物体A、B一初速度v。=3m/s,使物体A 小物块A和小球B组成的系统除所受重力 沿斜面向下运动，物体B向上运动，物体A 和内部轻绳的弹力做功外，没有其他力做功， 将弹簧压缩到最短后又恰好能返回C点。物 故系统的机械能守恒，则mgh= 2mnvi+ 体A和B均可视为质点，取重力加速度g= 10m/s,不计空气阻力，整个过程中，轻绳始 1 75 mai,其中mA=mB,解得0A一√68gL。 终处于伸直状态，物体B不会与定滑轮相 (2)当小物块A运动到定滑轮O1正下 碰。求： 方时，小物块A的速度达最大，小球B的速 度刚好为0，小球B下降的高度h'= sin 0 L=L,根据机械能守恒定律得mgh'= 1 maux,解得ums=√2gL。 图8 专精中能经热季翠方青中学生款理化 (1)物体A沿斜面向下运动至刚到达C 个银综训练 点时的速度大小v。 (2)弹簧的最大压缩量x。 1.如图9所示，A、B两物块叠放在一 (3)弹簧的最大弹性势能Emx。 起，在粗糙的水平面上保持相对静止地向右 解析：(1)在物体A从初始位置沿斜面 做匀减速直线运动，运动过程中物块B受到 向下运动至刚到达C点的过程中，由物体A、 的摩擦力( B(含轻绳)组成的系统能量守恒，则 Mxlsin (Mm)(M B m)v2+Mgcos日·L,解得v=2m/s。 图9 (2)由物体A、B(含轻绳)组成的系统从 A.方向向左，大小不变 C点出发，在物体A将弹簧压缩到最短后返 B.方向向左，逐渐减小 回到C点的过程中，系统动能的减少量等于 C.方向向右，大小不变 因摩棕而产生的热量，即宁(M十m)w一0 D.方向向右，逐渐减小 2.(多选题)如图10所示，在水平光滑地 uMgcos0·2x,解得x=0.4m。 面上有A、B两木块，两木块用一轻弹簧连 (3)由物体A、B(含轻绳)组成的系统从 接，物块A靠在墙壁上，用力F向左推物块 C点出发，在物体A将弹簧压缩到最短的过 B,使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状 程中，根据能量守恒定律得gxsin 0十 态。若突然撤去力F,则下列说法中正确的 2(M+m)2=mgx+uMgcos日·x十 1 是( )o Emx,解得Epmax=6J。 77777 5.综合应用多个守恒定律列式求解：多 图10 数物理综合类试题需要把系统或系统内某几 个物体组成的整体作为研究对象，综合应用 A.木块A离开墙壁前，由两木块和弹簧 动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定 组成的系统动量守恒，机械能也守恒 律等列方程求解。 B.木块A离开墙壁前，由两木块和弹簧 例10一中子与一质量数为A(A> 组成的系统动量不守恒，机械能守恒 C.木块A离开墙壁后，由两木块和弹簧 1)的原子核发生弹性正碰，若碰撞前原子核 组成的系统动量守恒，机械能也守恒 处于静止状态，则碰撞前与碰撞后中子的速 D.木块A离开墙壁后，由两木块和弹簧 率之比为( )。 组成的系统动量不守恒，机械能守恒 A.A+1 A-1 B.4-1 A+1 3.如图11所示，一根长度为L的轻杆， 4A D.AD 下端O用铰链固定在水平地面上，另一端固 C.A+1) 定一质量为m的小球A,轻杆靠在高A子， 解析：设中子的质量为m,则质量数为A 的原子核的质量为A,因为中子与原子核 质量M=4m的物块B上，开始时轻杆处于 发生弹性正碰，所以由中子和原子核组成的 竖直状态，受到轻微扰动，轻杆开始沿顺时针 系统动量守恒，机械能也守恒，规定中子碰撞 方向转动，推动物块B沿地面向右滑至图示 前速度的方向为正，则mv1=mu?十Amo, 虚线位置（轻杆与地面间的夹角0=若）。若 mu+ 221 2Amv,解得4=A十1 不计一切摩擦，重力加速度为g,则此时小球 v2A-1° A的线速度大小为()。 答案：A 中学生款理化实带里免师新肉举方志 速度与系统产生的热量分别为多少？ (2)要使子弹能够打穿木块，则子弹的初 速度至少为多大？ 6.如图14所示，水平桌面上固定一光滑 U型金属导轨，其平行部分的间距为，导轨 右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不 图11 计。导轨所在区域分布着方向竖直向上的匀 8 1 强磁场，磁感应强度为B。一质量为、电阻 A√5gL B.√5gL 为R、长度也为（的金属棒P静止在导轨上。 2 C.√L 3 D.√7gL 质量为3m的绝缘棒Q位于金属棒P左侧， 以大小为。的速度向金属棒P运动并与其 4.缓冲器是一种吸收相撞能量的装置， 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后， 起到安全保护作用，在生产和生活中有着广 金属棒P和绝缘棒Q先后从导轨的右端滑 泛的应用。如图12所示是一种弹性缓冲器 出导轨，并落在地面上的同一地点。金属棒 的理想模型，劲度系数足够大的水平轻质弹 P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，金 簧与水平轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移 属棒P与绝缘棒Q始终保持平行，不计空气 动，与槽间的滑动摩擦力为定值∫，轻杆向右 阻力。求： 移动不超过L时，装置可安全工作。现用一 质量为m的小车以速度v。向右撞击弹簧，撞 击后将导致轻杆向右移动片。假设轻杆与槽 间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计小 车与地面间的摩擦。求： 图14 7777777 (1)金属棒P滑出导轨时的速度大小。 图12 (2)金属棒P在导轨上运动过程中产生 (1)小车与弹簧分离时的速度大小。 的热量。 (2)改变小车的速度，在保证装置安全工 (3)与金属棒P碰撞后，绝缘棒Q在导 作的前提下，轻杆向右运动的最长时间。 轨上运动的时间。 (3)小车撞击弹簧的最大动能满足什么 参考答案：1.A2.BC3.B 条件时，能够保证装置安全工作？ 2mL ；(2)t= 5.如图13所示，一质量为M、厚度为L 的木块，静止在光滑的水平地面上，一颗质量 1 G3)Eks≤之m。十i/fL 为m的子弹，以速度v。射向木块。将子弹 5.(1)v= mMu 与木块间大小为∫的相互作用力视为恒力， m+M,Q=2m十M) 试问： 2(m+M)fL (2)Vomin- mM 0 1 6.(1)up=2:(2)Qp=mw;(3)t= 2mR 图13 B212° (1)若子弹没有打穿木块，则木块的最终 (责任编辑张。巧) 8