高效同步练习 10.1 相交线-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年七年级下册数学活页同步练习（沪科版·新教材）

第2课时分式方程的应用 1.C2.1.5 3.解：设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则 “小宇”机器人每小时能完成(x+3000)件快递分拣任务，根 据题意，得1200-4800 xx+3000,解得x=1000,经检验，x=1000是 所列方程的根，且符合题意，所以x+3000=4000.答：“小宇” 机器人每小时能完成4000件快递分拣任务， 4.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，根据 题意，得80116-2，解得x=2,经检验，=2是原方程的 0.5xx 根，且符合题意，答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢 轨2公里. 5.解：(1)2x(2)1010 x 2x 3)根器题在，科00忍解得=15，经橙验15是吸 方程的根，且符合题意.答：骑车学生的速度为15千米/ 小时. 692 x+1 7.解：(1)设这项工程的规定时间是x天，根据题意得(1 )×15+01.解得x=30,经橙验x=30是原分式方程的 根.答：这项工程的规定时间是30天。 (2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷(30+30x3 =22.5(天)，22.5×(6500+3500)=225000（元）.答：该工程 的施工费用为225000元， 8.解：任务1：设每副“灵眸X”眼镜的标价为x元，则“智视 Pm”眼镜的标价为(x-700)元，由题意，得6000-3200，解 xx-700 得x=1500,经检验，x=1500是原方程的根，且符合题意，所 以x-700=800,答：每副“灵眸X”眼镜的标价为1500元， “智视Pro”眼镜的标价为800元； 任务2：设能购买m副“灵眸X”,则能购买(20-m)副“智视 Pro”,由题意，得1500×0.8m+(800-50)(20-m)≤20000，解 得m≤100因为m为正整数，所以m的最大值为11，答：最 9 多能购买11副“灵眸X” 追梦第9章章末复习分式 1.A2.D x2-16 3.A【解析】原式=[ x+4 x-4 (x-4)(x+4)(x-4)(x+4) △ 2x父-162“A.当△=2x时，1，结果是整数，符 x2-16△△ 合题意.故选A 4.B5.D6.D 7.B【解析】设小官通过AB路段的速度是x米/秒，则小官通 过BC路段的速度是1.6r米/秋.依题意得8+8=13，解 x1.6x 得x=1,经检验，x=1是原方程的根，且符合题意.故选B. 8.a2bc9.24 10.4或2【解析】方程两边同乘以最简公分母(x+3),得mx 2(x+3)=2x,整理，得(m-4)x=6.当m-4=0,即m=4时 此方程无解，原分式方程也无解；当m-4≠0时，由x+3=0, 得x=-3,把x=-3代入(m-4)x=6解得m=2,此时原分式 方程无解.所以m=4或2. 11.解：(1)方程两边同乘以最简公分母(x-2),得x-1+2(x 同步练习，精炼高效抓考 2)=-3,解方程，得x=子检验：当x=子时，-2≠0，所以， 女=子是原方程的根 (2)方程两边同乘以最简公分母(x2-1),得x(x+1)+4=x2 -1,解方程，得x=-5.检验：当x=-5时，x2-1≠0，所以，x= -5是原方程的根. 12.解：原式=2x-3-x+2 2(x-1)x-由分式的分母不能为 x-21 1 零，得x≠1,2，故当x=0时，原式=0--1 13.解：(1)解法一：设第一批服装的购进单价是x元，则第二 批服装的购进单价是(x+20)元.由题意，得4800×5 x+20,解得x=40.经检验：x=40是原方程的根，且符合题 9000 意，所以x+20=60.答：第一批服装的购进单价是40元，第 二批服装的购进单价是60元； 解法二：设购进第一批服装的数量为m件，则购进第二批 服装的数量为m件由题意，得20.4800=20，解得n- 5 4m 120.经检验，m=120是原方程的根，且符合题意，所以4800 m. =40,40+20=60.答：第一批服装的购进单价是40元，第二 批服装的购进单价是60元； (2)9000÷60=150(件)，设第二批服装的售价定为a元.由 题意，得(150-40)a+40×0.8a-9000≥5200，解得a≥100. 答：第二批服装售价至少定为100元. 14.解：(1)B型玩具的单价购进A型玩具的数量 (2)设可购进A型玩具a个，则B型玩具(200-a)个.由 (1)中甲可得A、B型玩具的价格分别是5×1.6=8（元），5 元，根据题意得8a+5(20-0）≤1350，解得a≤16子，所 以整数a最大值是116，即最多可购进A型玩具116个. 高效同步练习10.1相交线 第1课时对顶角 1.D 【归纳总结】判断两个角是对顶角的依据：(1)这两个角必须 是两直线相交得到的；(2)这两个角有公共顶点；(3)这两个 角的两边互为反向延长线.必须同时满足这些条件，才能说 明这两个角是对顶角. 2.B3.A 4.D【解析】因为∠1=∠2，∠1+∠2=80°，所以∠1=∠2= 40°.∠B0C=180°-40°=140°.因为0E平分∠B0C,所以 1 ∠3=2∠B0C=2×140°=70°.故选D. 【变式】120°【解析】因为OE平分∠BOD,OF平分∠COB, 所以∠B0E=1 F∠BOD,∠BOF=)∠BOC.因为∠BOD+ ∠B0C=180°，所以∠B0E+∠B0F=90°.因为∠AOD= ∠B0C,∠AOD=4∠E0D,所以∠BOC:∠B0E=4:1,所以2 ∠B0F:∠B0E=4:1,所以∠B0E=30°，∠B0F=60°.因为 ∠B0F+∠A0F=180°，所以∠A0F=120°. 5,或90解析】根据题意可得：当(2x-10)°=(100-x)° 时，解得x=110,当(2x-10)°+(100-x)°=180°时，解得x =90. 6.A【解析】由对顶角相等得∠BDF=∠1=43°.因为∠2= ZBK七年级数学下册 77 29°，所以∠EDF=∠BDF-∠2=14°.故选A. 7.【规律探究】2612【归纳总结】n(n-1) 【规律应用】1560 第2课时垂线 1.D2.D3.D4.C5.B 6.连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 7.A8.6米（答案不唯一） 数学活动怎样铺设节省材料 1.A 2.解：如图，点C即为所求： B 3.解：(1)6 (2)从节省材料的角度考虑，应选择图中路线②：如果有人 想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线①，因为两点 之间的所有连线中，线段最短，路线②比路线①短，可以节 省材料；而路线①较长，可以在桥上较长时间观赏湖面 风光. 4.解：如图所示 (1)沿AB走，两点之间的所有连线中，线段最短； (2)沿BD走，连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线 段最短： (3)沿AC走，连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线 段最短 D a B 高效同步练习10.2平行线的判定 第1课时平行线 1.B2.C 3.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4.如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 5.B【解析】①当a仍时，a与c相交，b与c也相交，故错误； ③过一，点可以画无数条直线，故错误.故选B. 6.C 7.相交过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 8.(1)①∥②∥③∥④⊥ (2)不是同一平面 第2课时同位角、内错角、同旁内角 1.D2.C3.C4.A5.B 6.(1)∠6(2)∠5(3)2∠3与∠5、∠4与∠6 【归纳总结】识别同位角、内错角、同旁内角的方法：第一步 是要分清截线和被截线（两个角的边所在的同一直线为截 线，另两边所在的直线为被截线)；第二步是根据两角在截 线和被截线的具体位置，结合同位角、内错角、同旁内角的 定义判断两个角的具体关系. 7.1【解析】同位角有∠ABD与∠ECD,共1对，则a=1;内错 角有∠ABC与∠BCF,共1对，则b=1:同旁内角有∠ABC与 ∠ECB,共1对，则c=1,所以abc=1. 8.解：与∠1是同旁内角的有∠AOE,∠ADE,∠MOE;与∠2是 内错角的有∠AOE,∠MOE. 第3课时利用同位角判定两直线平行 1.C 2.同位角相等，两直线平行 【归纳总结】过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：一 “落”：把三角尺的一边落在已知直线上.二“靠”：用直尺紧 靠三角尺的另一边.三“推”：沿直尺推动三角尺，使三角尺 与已知直线重合的边过已知点.四“画”：沿三角尺过已知点 的边画直线， 78 同步练习，精炼高效抓考 3.解：平行.理由：因为OA平分∠DOE,∠AOD=∠BOC,所以 ∠AOE=∠AOD,所以∠AOE=∠BOC,又因为∠B=∠BOC, 所以∠AOE=∠B,所以CB∥EO. 4.A5.A6.D 7.解：AC∥BD,AE∥BF,理由如下：因为∠1=35°，∠2=35°，所 以∠1=∠2，所以AC∥BD.因为AC⊥AE,BD⊥BF,所以 ∠EAC=∠FBD=90°.因为∠1=35°，∠2=35°，所以∠EAC+ ∠1=∠FBD+∠2，所以∠EAB=∠FBM,所以AEBF. 第4课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行 1.A2.内错角相等，两直线平行 3.解：(1)因为OC平分∠AOF,所以∠AOC=∠FOC.因为OC ⊥OD,所以∠COD=90°，所以∠DOF+∠FOC=∠BOD+ ∠AOC=90°，所以∠BOD=∠DOF,所以OD平分∠BOF: (2)因为∠BOD+∠AOC=90°，∠D+∠AOC=90°，所以∠D= ∠BOD,所以ABDE. 4.C5.B6.A7.D8.C 9.解：(1)因为∠DCB和∠ABC的平分线交于点E,所以 ∠DCB=2∠2，∠ABC=2∠1.又因为∠1+∠2=90°，所以 ∠DCB+∠ABC=180°，所以AB∥CD; (2)因为∠1=30°，∠1+∠2=90°，所以∠2=60°.因为BE平 分∠CBF,所以∠ABC=2∠1=60°，所以∠3=180°-∠2 ∠ABC=180°-60°-60°=60°. 10.解：(1)由题中定义可得∠2和∠7也为“外错角”： (2)因为∠1=∠3，∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以a%. 高效同步练习10.3平行线的性质 1.A【解析】方法一：如图1.因为∠1=60°，所以∠3=180°- 60°=120°.因为a%,所以∠2=∠3=120°.方法二：如图2 因为a%,所以∠1=∠3=60°.所以∠2=180°-∠3=120. 故选A. 3 图1 图2 2.A3.C4.D5.125° 6.解：因为DE∥BC,∠AED=50°，所以∠ACB=∠AED=50°， ∠EDC=∠DCB.因为CD平分∠ACB,所以∠DCB= 2∠ACB=25,所以∠EDC=25 7.C8.C9.D 10.B【解析】因为AB∥CD,所以∠AEF=∠1=62°，由折叠知 ∠A'EF=∠AEF=62°，所以∠2=180°-∠AEF-∠A'EF= 56°.故选B. 【变式】D【解析】在图1中，因为AD∥BC,∠DEF=a,所 以∠BFE=∠DEF=a,所以∠EFC=180°-a,所以在图2 中，∠BFC=180°-2a,所以在图3中，∠CFE=180°-3a.故 选D. 11.解：(1)因为EB∥DC,所以∠C=∠ABE.因为∠C=∠E,所 以∠ABE=∠E,所以AC∥DE,所以∠A=∠EDA; (2)因为AC∥DE,所以∠E+∠EBC=180°.因为∠E=60°， 所以∠EBC=180°-60°=120°. 12.解：例：选择小丽同学所画的图形： B P -G 辅助线：过点O作ON∥FG交CD于点N. 分析思路：(1)欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知， LEFG=∠EON,因此只需转化为求∠EON的度数；(2)欲 求∠EON的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度 数；(3)由已知EF⊥AB,可得∠3=90°；(4)由AB∥CD,可 ZBK七年级数学下册高效同步练习 第1课时 知识点①对顶角的识别 1.(4分)下列图形中，∠1和∠2是对顶角的 是() A.2 B. C.2 D.D 知识点②对顶角的性质 2.生活情境·剪刀(4分)如图是一把剪刀的示 意图，我们可以想象成一个相交线模型，若 ∠AOB+∠C0D=76°.则∠AOB=() A.36° B.38° C.52° D.46° 哈 D 第2题图 第3题图 3.生活情境·伸缩门(4分)常见的伸缩门中存 在非常多的对顶角.如图为简易伸缩门，当 ∠AOB减小10时，∠COD的度数() A.减小10° B.增大10° C.增大20° D.不变 4.(4分)如图，直线AC和直线BD相交于点O, 0E平分∠B0C.若∠1+∠2=80°，则∠3的度 数为() A.40° B.50° C.60° D.70 E D B E 13 D 第4题图 变式题图 变式(5分)如图所示，直线AB,CD相交于点 O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD= 4∠E0D,则∠AOF的度数为 15分钟同步练习，精炼高效抓 10.1相交线 对顶角 易错点)未给出图形，考虑不周全致错 5.（5分)两条直线相交成的四个角中，有两个角 分别是(2x-10)°和(100-x)°，则x= 6.跨学科试题·物理(4分)当光线从空气中斜 射入某种液体中时，光线的传播方向发生了 变化，在物理学中这种现象叫作光的折射.如 图，AB⊥液面MW于点D,一束光线沿CD射 入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE, 点F为CD延长线上一点.若人射角∠1= 43°，折射角∠2=29°，则∠EDF的度 数为() A.14° B.16° C.43° D.47° 7.学习情境·规律探究(10分)观察下列图形， 补全探究过程 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点， 则图中共有 对对顶角；如图2，有3 条直线相交于一点，则图中共有 对 对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图 中共有 对对顶角； 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可 形成 对对顶角； 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可 形成 对对顶角 第10 米 图1 图2 图3 考点ZBK七年级数学下册 55 第2课日 知识点①垂线 1.（4分)小红在学习垂线时遇到了这样一个问 题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交 于点O,则下列条件中能说明AB⊥CD的 是( ) A.AO=OB B.CO=OD C.∠AOC=∠BOD D.∠AOC=∠BOC D 知识点②垂线的画法 2.(4分)过直线m外的一点Q作m的垂线，下 列图中借助直角三角尺操作正确的是() B 04 知识点③垂线的基本事实 3.(4分)在同一平面内，作已知直线的垂线可以 作( )条 A.1 B.2 C.3 D.无数 4.(4分)如果直线0N⊥直线a,直线0M⊥直线 a,那么OM与ON重合（即0，M,N三点共 线)，其理由是() A.两点确定一条直线 第 B.同一平面内，过两点有且只有 M 一条直线与已知直线垂直 0 C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直 D.两点之间，线段最短 56 15分钟同步练习，精炼高效抓 垂线 知识点④垂线段最短 5.(4分)某村为号召村民利用屋顶资源建立太 阳能发电板.在一个无风的日子，一辆宣传车 在直线形成的公路上由A向B行驶，如图，O 是某户村庄的位置，当车行驶到下列哪一位 置时，村庄听到宣传车内容最清晰() A.M点B.N点 C.P点 D.Q点 AM NP QB 第5题图 第6题图 6.生活情境·管道设计(5分)如图，某单位要在 河岸1上建一个水泵房引水到C处，他们的做 法是：过点C作CD⊥L于点D,将水泵房建在 了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理 是 知识点⑤点到直线的距离 7.(4分)如图，在三角形ABC中，CD是高，M是 AB的中点，连接CM,则点C到AB边的距离 是() A.线段CD的长 B.线段CA的长 C.线段CM的长 D.线段CB的长 C A MD B D B C E 第7题图 第8题图 8.新考法·开放性试题(5分)如图，沿笔直小路 DE的一侧栽植两棵小树B,C,小明在A处测 得AB=7米，AC=9米，则点A到DE的距离可 能为 考点ZBK七年级数学下册 数学活动怎 1.（4分)如图所示，直线MN表示一条铁路，铁 路两旁各有一点A和B,表示两个工厂.要在 铁路上建一货站P,使它到两厂距离之和最 短，这个货站P应建在AB与MN的交点处， 这种做法用几何知识解释应是() P M P N B A.两点之间，线段最短 B.射线只有一个端点 C.两直线相交只有一个交点 D.两点确定一条直线 2.(8分)唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两 句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐 含着一个有趣的数学问题—将军饮马.如 图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C 饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走， 才能使他每天走的路程之和最短呢？如图， 直线1的两侧分别有A,B两点，请你在直线 上确定一个点C,使AC+BC最短（不写作法， 保留作图痕迹) ●A B 15分钟同步练习，精炼高效抓 详铺设节省材料 3.(8分)已知平面上点A,B,C,D(每三点都不 在一条直线上). (1)经过这四点最多能确定 条直线。 (2)如图这四点表示公园四个地方，如果点 B,C在湖对岸两处，A,D在湖面上，要从B到 C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中 两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长 时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？ ① D ① ① B ② 4.（10分)如图所示，火车站、码头分别位于A,B 两点，直线a和b分别表示河流与铁路： (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明 理由； (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明 理由； (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明 理由。 A 第10章 考点ZBK七年级数学下册 57