高效同步练习 8.3 完全平方公式与平方差公式-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年七年级下册数学活页同步练习（沪科版·新教材）

高效同步练习8.3完全平方 第1课时完全平 知识点①完全平方公式的几何意义 1.（4分)我们已经接触了很多代数恒等式，知道 可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释 一些代数恒等式，例如图1可以用来解(a+ b)2-(a-b)2=4ab,那么通过图2中阴影部分 面积的计算验证的恒等式是( 图1 图2 A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b)） C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2 知识点②完全平方公式的运用 2.(4分)计算(3-a)2的结果是() A.a2+9 B.a2+6a+9 C.a2-6a+9 D.a2-9 3.（4分)如果(x+a)2=x2-10x+b,那么a,b的值 分别是( ) A.a=5,b=25 B.a=-5,b=-25 C.a=5,b=-25 D.a=-5,b=25 4.(4分)如图，已知正方形ABCD与正方形 CEFG的边长分别为a,b,如果a+b=10,ab= 8,则阴影部分的面积为( A.38 A B.39 C.40 B a C b G D.41 5.(5分)若代数式x2-x+625是一个完全平方 式，则k= 32 15分钟同步练习，精炼高效圳 公式与平方差公式 方公式 6.（4分)下列单项式中，与整式4x2+1相加后不 能组成某个整式的完全平方的是() A.4x4 B.4x C.-4x D.2x 7.数学思想·数形结合(10分)乘法公式的探究 及应用 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三 种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种 纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、 宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸 片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正 方形 (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的 面积 方法1： 方法2： (2)观察图2，请你写出下列三个代数式： (a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关 系： (3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题： 已知a+b=5,a2+b2=11,求ab的值 图1 图2 考点ZBK七年级数学下册 第2课时 知识点①平方差公式的几何意义 1.(4分)我们可以用一些硬纸片拼成的图形面 积来解释一些代数恒等式.观察图形，通过面 积的计算，可以验证的恒等式是( A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.a(a+b)=a2+ab C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.(a+b)2=a2+2ab+b2 2.(4分)如图，阴影部分是边长为a的大正方形 中减去一个边长为b的小正方形后所得到的 图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形， 给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方 差公式的是( a a a ② A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 知识点②平方差公式的计算 3.(4分)(2+x)(x-2)的结果是( A.2-x2 B.2+x2 C.4+x2 D.x2-4 4.（4分)下列能用平方差公式计算的是( A.(a+3)(3+a) B.(m-2)(m+3) C.(2x-y)(2x+y) D.(-p-q)(p+q） 5.(4分)若(2-x)(2+x)(4+x2)=16-x”,则n的 值等于() A.6 B.4 C.3 D.2 25分钟同步练习，精炼高效抓 平方差公式 6.(8分)计算： (1)(-4a+3)(-4a-3); (2)(-2x)2-(3-2x)(3+2x). 第8章 知识点③平方差公式的应用 7.(4分)利用平方差公式计算20252-2024× 2026的结果是() A.-1 B.1 C.-2 D.2 8.(4分)三个连续的整数，中间一个数是n,则 这三个整数的积是( ) A.3n B.n3 C.n3-1 D.n3-n 9.(4分)若长方形玻璃的长为2a+1,对应的宽 为2a-1,则此玻璃的面积为() A.4a2-1 B.4a2-4a+1 C.4a2+4a+1 D.2a21 2 考点ZBK七年级数学下册 33 10.趣味题(4分)从前，一位农场主把一块边 长为a米(a>4)的正方形土地租给租户张老 汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的 一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成 长方形土地继续租给你，租金不变，你也没 有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老 汉的租地面积会( A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定 11.(4分)如图，点D、C、H、G分别在长方形AB JI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD 的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为 8,则正方形EFGH的面积等于( A.3 A D B.4 C.5 D.6 B 章 12.跨学科试题·物理(5分)小明在上学路上， 某一时刻骑自行车的速度。=6.5m/s,由于 前方遇见水坑，减速到v,=1.5m/s,若自行 车在减速这段时间内行驶的距离x(单位： m)满足公式2ax=v,2-v,2,其中a=-2m/s2, 则小明骑自行车在减速这段时间内行驶的 距离x为 m 13.(8分)已知2a2+3a-6=0,求式子3a(2a+1)》 -(2a+1)(2a-1)的值. 34 25分钟同步练习，精炼高效抓 14.（10分)小丽在计算3×(4+1)×(42+1)时，把 3写成(4-1)后，发现可以连续运用平方差 公式进行计算用类似方法计算：(1+2)×(1 1.1 +2京)×(1+2)×(1+28)+2F 15.新定义(10分)如果一个正整数能表示为 两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数 为“奇特数”.例如：8=32-12,16=52-32,24= 72-52:则8、16、24这三个数都是奇特数， (1)32和2012这两个数是奇特数吗？若 是，表示成两个连续奇数的平方差形式. (2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n 取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特 数是8的倍数吗？为什么？ 考点ZBK七年级数学下册【变式】A【解析】因为a=-0.32=-0.09,b=32=1 ,c (-了)2=9，d=(-写)°=1，所以a<bdce故选A 10.解：(1)原式=1+3-1=3； (2)原式=，1+11 (-2)2 -1+(-4)2=1 +4-1+ （2 (-4)24 。名 41+ 第3课时用科学记数法表示绝对值小于1的数 1.C2.D 3.解：(1)0.0000893=8.93×105； (2)-0.0000002024=-2.024×10 4.解：0.00000005×2×103=5×10-8×2×103=1×104(cm).故2×103 个这样的细胞排成的细胞链的长度为1×10-4cm. 5.B 1 6.C【解析14000000-0.00000025=2.5×10.故选C, 7.258.9 9.解：(1)0.00009g=9×10g; (2)8x9x105=7.2×10(g),故8cm的氢气质量为7.2x104克. 高效同步练习8.2.1单项式与单项式相乘 1.B2.C 3.解：(1)原式=(-3×2)·a3=-6a3； (2)原式=(-8×3)·xyz=-24x2yz 3).3 (3)原式=9如62.(- ac2、 20% 4.D5.B6.A7.A 8.D【解析】因为x3·xy2=x3+my2=xy,所以3+m=6,2n= 4,解得m=3,n=2.所以4m-3n=4×3-3×2=6.故选D. 【变式号 【解析】因为(am1b2)·（a2b)=am+2b22= a,所以2+2-=3，解得n=,代入m+2n=5,剥m=4所 19 以m+n=4+ 2=2 9.解：4(2ab)2c.4a2(bc)3.8abc2=512a'bc'(立方分米)，又 因为512a°b°c9=(8a3b2c3)3,所以正方体贮水池的棱长为 8a3b2c3分米. 高效同步练习8.2.2单项式与多项式相乘 1.B2.A 3.解：(1)x2-2x+1-(-3x2)=4x2-2x+1,所以这个多项式是 4x2-2x+1: (2)(4x2-2x+1)·(-3x2)=-12x+6x3-3x2. 4.B5.A6.6x3-8x2 7.A【解析】因为-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+3xy,所以 ■处应为3xy.故选A. 8.(解：原式=-4a3b+6a2b2-8ab=-4(ab)3+6(ab)2-8ab=-4× 33+6×32-8×3=-108+54-24=-78. 高效同步练习8.2.3多项式与多项式相乘 1.C2.B 3.A 【变式】B【解析】因为(x+a)(x-2)=x2-2x+ax-2a=x2+(a -2)x-2a=x2+x+b,所以a-2=1,-2a=b,所以a=3,b=-6. 故选B. 4.解：(1)原式=7x4-21x2y2+8x2y2-24y=7x-13x2y2-24y; (2)原式=2x2-3x+10x-15-2x+4x2-6x=-2x+6x2+x-15. 5.解：原式=6x2-9x+2x-3-6x2+24x+5x-20=22x-23.当x=-2 时，原式=22×(-2)-23=-67. 6.D7.3a2-ab-2b2 8.解：由图可得(2a+b)(a+b)-a2=a2+3ab+b2.所以绿化的面 同步练习，精炼高效抓考 积是(a2+3ab+b2)平方米， 9.C 10.A【解析】因为M=(a+b)(a-2b)=a2-ab-2b2,N=-b(a+ 3b)=-ab-3b2,所以M-N=a2-ab-2b2-(-ab-3b2)=a2+b2. 因为a≠0，所以a2+b2>0,所以M>N.故选A. 11.3 12.解：(1)(a2-ab+b2) (2)原式=(x3+y3)-(x3-y3)=x3+y3-x3+y3=2y3 微专题整式乘法中的“不含”问题 1.C 2.C【解析】原式=2x3-2mx2+4x+x2-mx+2=2x3+(-2m+1)x2 +(4-m)x+2.因为积中不含x的二次项所以-2m+1=0,解 17 得m= 2,所以x的一次项系数为4 221 故选C. 3.C【解析】原式=4x2-2bx+2ax-ab=4x2+2(a-b)x-ab,因为 （2x+a)(2x-b)展开的结果中不含有x项，所以a-b=0.故选 C. 4.6【解析】原式=2x2+mx-6x-3m=2x2+(m-6)x-3m.因为 （x-3)(2x+m)中不含x的一次项，所以m-6=0,解得m=6. 数学活动求最大乘积 解：任务一：764×85 任务二：因为a>b>c>0,所以组成最大的三位数是：100a+10b+ c,最小的三位数是：100c+10b+a,所以100a+10b+c-(100c+10b +a)=99a-99c=99(a-c),所以最大三位数与最小三位数之差 可以被99整除. 高效同步练习8.3完全平方公式与平方差公式 第1课时完全平方公式 1.A2.C 3.D【解析】(x+a)2=x2+2ax+a2=x2-10x+b,所以2a=-10,a= -5;b=a2=(-5)2=25.故选D. 4.A【解析】因为a+b=10,ab=8,所以a2+b2-ab=a2+2ab+b2 3ab=(a+b)2-3ab=100-3×8=76,所以Sm影=S三舟形8cD+S*8ccE -5am24-a0=分0+8 1 1 2ba=2(a2+b2 -ab)=。×76=38.故选A. 2 5.±506.D 7.解：(1)(a+b)2a2+b2+2ab (2)(a+b)2=a+b+2ab (3)由(a+b)2=a2+b2+2ab,可得ab=a+b)'（a+6),所以当 2 a+b=5,a2+b2=11时，a6=22=7. 第2课时平方差公式 1.C2.D3.D4.C 5.B【解析】(2-x)(2+x)(4+x2)=(4-x2)(4+x2)=16-x4=16- x”,所以n=4.故选B. 6.解：(1)原式=(-4a)2-32=16a2-9; (2)原式=(-2x)2-[32-(2x)2]=4x2-(9-4x2)=8x2-9. 7.B8.D9.A10.C 11.B【解析】设大、小正方形边长为a、b,则有a2=20,S酬影事分= ×(a+6)(a-b)=8,即d2-6=16,可得62=4，所以正方形 EFGH的面积是4.故选B. 12.10 13.解：原式=6a2+3a-(4a2-1)=2a2+3a+1.因为2a+3a-6=0, 所以2a2+3a=6,所以原式=6+1=7. 14解：原式=2x(1-7)x(1+分)×(1+) 1 +2京)x(1+ 1 1 )×(1+2)+ 2-2x(1×(1+x(1+ 1 1 1、1 1、 ×(1+2)×(1+2京)+2西=2x(1- 8）×(1 1、,1 2)+25=2x(1- ZBK七年级数学下册 73 1 25t25=2. 15.解：(1)32这个数是奇特数.因为32=92-72.因为2012不能表 示为两个奇数的平方差的形式，所以2012这个数不是奇 特数. (2)两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.理由如下：(2n+ 1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,因 为取正整数，所以由这两个连续奇数构造的奇特数是8的 倍数. 高效同步练习8.4.1提公因式法 1.D2.C3.D4.A5.B 6A【解析】因为2c6-6= 20a+2),所以-号c6-ab 提公因式后，另一个因式是a+2b.故选A. 7.B 【归纳总结】提公因式的注意事项：如果多项式的首项系数是负 数，通常要提出“-”号.可按照下列口诀分解因式：首项有“负” 先提“负”，各项有“公”要提“公”，某项提出莫漏“1”，括号里面 分到底： 8.-31【解析】原式=(6x+17)(5x-12-13x+20)=（6x+17)(-8x +8)=-(6x+17)(8x-8),所以a=-6,b=-17,c=-8,故a+b+c= -31. 9.-2m【解析】因为m(3m2-5m-2)=3m3-5m2-2m,而3m3- 5m2+▲=m(3m2-5m-2),所以▲=-2m. 10.解：(1)原式=-9mn(m-3n+2); (2)原式=9a2(x-y)2+3a(x-y)3=3a(x-y)2(3a+x-y)； (3)原式=(2y-x)(2x+y+2x)=(2y-x)(4x+y); (4)原式=(m-2n)(a+3a+2b)=2(2a+b)(m-2n). 高效同步练习8.4.2公式法 第1课时公式法 1.D2.A3.A 4.解：(1)原式=a2-(2b)2=(a+2b)(a-2b); (2)原式=(x-2y)2-(2x)2=[(x-2y)+2x][(x-2y)-2x]=(3x -2y)(-x-2y)=-(3x-2y)(x+2y). 5.C 6解：原武=a2a·号+分)产=(a+: 1 (2)原式=(2x)2-2·2x·5y+(5y)2=(2x-5y)2 7.B【解析】因为M=x2+y2,N=2xy,所以M-N=x2+y2-2xy=（x y)2.因为(x-y)2≥0，所以M≥N.故选B. 8.D【解析】因为多项式“4x2+▲+9y2”能用完全平方公式分解 因式，所以“▲”处的一项是：±2(2x·3y)=±12xy.故选D. 9.(x-2) 10.解：(1)如图 d. b 拼成边为(a+2b)和(a+b)的长方形，所以a2+3ab+2b2=(a+ 2b)(a+b); (2)由题意得(a+b)=3,ab=1,a2+b2=（a+b)2-2ab=7. 第2课时提公因式法和公式法的综合应用 1.B2.B3.B 4.解：(1)原式=2a(-4ab+a2+462)=2a(a-2b)2; (2)原式=x(x2-5-4)=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)； (3)原式=x2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x2-1)=(x-1)(x+1) (x-1)=(x+1)(x-1)2 5.C【解析】原式=(x2-y2)(a2-b2)=(x+y)(x-y)(a+b)(a b),由题可知，x+y对应“我”，x-y对应“爱”，a+b对应“中” a-b对应“国”，则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”. 故选C. 6.解：(1)公式法； 74 同步练习，精炼高效抓考 (2)不彻底.最终结果为(x-2)4； (3)设x2-2x=y,原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2 2x+1)2=(x-1)4. 第3课时用分组分解法进行因式分解 1.C 2.A【解析】因为2x-3x2-3x+2=2x-x2-2x2-3x+2=（2x x2)-(2x2+3x-2)=x2(2x-1)-(x+2)(2x-1)=（2x-1)(x2-x -2)=(2x-1)(x+1)(x-2).所以不是2x3-3x2-3x+2因式的 是x-1.故选A. 3.C 4.C【解析】(ax+3)(x-8)=ax2+(-8a+3)x-24,所以a=2, -8a+3=k,所以k=-8×2+3=-16+3=-13.故选C. 5.B 6.解：(1)原式=(x2-2xy+y2)-9=(x-y)2-32=(x-y-3)(x-y+ 3): (2)原式=(m3-2m2)-(4m-8)=m2(m-2)-4(m-2)=(m2- 4)(m-2)=(m-2)2(m+2). 7.解：(1)原式=a2-4a+4-5-4=(a-2)2-9=(a-2+3)(a-2 3)=(a+1)(a-5); (2)原式=m2+6m+9-9+1=(m+3)2-8,因为(m+3)2≥0，所 以当m=-3时，二次三项式m2+6m+1的最小值为-8： (3)x2-5x+5-(-x2+3x-4)=2x2-8x+9=2(x2-4x)+9=2(x 2)2+1>0,所以x2-5x+5>-x2+3x-4. 追梦第8章章末复习整式乘法与因式分解 1.A2.C3.B4.A 5.D【解析】由题意，得(a+4)2-(a+1)2=(a+4+a+1)(a+4- a-1)=3(2a+5)=(6a+15)cm2.故选D. 6.B【解析】因为M-N=8x2-y2+6x-2-(9x2+4y+13)=-x2+ 6x-y2-4y-15=-(x2-6x+9)-(y2+4y+4)-2=-(x-3)2-(y+ 2)2-2,所以M-N的值为负数.故选B. 7.1.5×109 8.15【解析】由题意得甲：(x+2)（x+4)=x2+6x+8,所以a= 6;乙：(x+1)(x+9)=x2+10x+9,所以b=9,所以a+b=6+9 =15. 9.2 10.解：(1)原式=-1+1+3-2=1： (2)原式=a+a-a°=a. 11.解：(1)原式=2y2(x2-2z)； (2)原式=a2-(4b2-4bc+c2)=a2-(2b-c)2=(a+2b-c)(a 2b+c). 12.解：原式=4x2+4x+1-2(x2+2x-3)-2=2x2+5.当x2=2时， 原式=2×2+5=9. 13.解：x2-2x-15=x2-2x+1-15-1=(x-1)2-16=(x-1+4)(x 1-4)=(x+3)(x-5). 14.解：(1)4 (2)因为A=(2x+1)(x-2)=2x2-4x+x-2=2x2-3x-2,2B= 2x(m-x）=2mx-2x2,所以A+2B=2x2-3x-2+2mx-2x2= (2m-3)x-2.因为A+2B的值与x无关，所以2m-3=0,解 得m=2 （3)设AB=x,由图可知S1=a(x-3b),S2=2b(x-2a),所以 S-S,=a(x-3b)-2b(x-2a)=ax-3ab-2bx+4ab=(a-2b)x+ ab.因为当AB的长变化时，S,-S2的值始终保持不变，所以 S,-S2取值与x无关，所以a-2b=0,所以a=2b. 高效同步练习9.1分式及其基本性质 第1课时分式 1.A 2.①③④⑤②6⑦ 【归纳总结】利用分式的定义来判断分式的依据：首先要具 备B(A、B是整式，B≠0)的形式，再看分母B中是否含有字 母.另外还需要注意几点：①π是一个数字，不是字母；②判 断是否为分式，只需看原始的形式，不能看化简后的结果； ③分子、分母必须是整式，不能有分式或根式. ZBK七年级数学下册