2.3 平行线的性质-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年七年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习2. 第1课时 知识点①两直线平行，同位角相等 1.(3分)如图，直线a,b被直线c所截，a仍，∠1 =60°，则∠2的度数是() A.120° B.60° C.45° D.30° B _b >D 第1题图 第2题图 2.(3分)如图，AB∥CD,FE⊥DB,垂足为点E, ∠1=50°，则∠2的度数是( A.60 B.50° C.40° D.30° 3.(3分)如图，三角形ABC是一块直角三角板， 其中∠A=30°，AB,AC分别与直尺的两边交于 点D,E,若∠1=35°，则∠2的度数是( A.155° B.130° C.115° D.100° 知识点②两直线平行，内错角相等 4.(3分)如图，直线AD∥BC,若∠1=42°，∠BAC =78°，∠2的度数为() A.42° B.50 C.60° D.68° 第4题图 第5题图 5.生活情境·吸管杯子(3分)如图，是一款吸管 杯的截面示意图，已知AB∥CD,吸管看作一条 直线，若∠1=55°，则∠2的度数为() 25分钟同步练习，精炼高效抓 平行线的性质 平行线的性质 A.105° B.115° C.120° D.125 知识点③两直线平行，同旁内角互补 6.学科内融合(3分)如图，已知a6,小华把三 角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°， 则∠2的度数为( A.100° B.110° C.120° D.130° 120° 2 b 第6题图 第7题图 7.生活情境·铺设管道(3分)如图所示，要在一 条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设 的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的 角度大小应为 【点拔】利用平行线的性质求角的度数的一般思路： 由两直线平行计算角度的问题，关键是弄清楚平行 线被哪条直线所截，借助“三线八角”图，识别同位 角、内错角或同旁内角，进而由两直线平行推出相 关角度之间的数量关系。 8.跨学科试题·物理(3分)一只杯子静止在斜 面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖 直向下，支持力F,的方向与斜面垂直，摩擦力 F2的方向与斜面平行。若斜面的坡角α= 25°，则摩擦力F,与重力G方向的夹角B的度 数为() A.155°B.125° C.115° D.65 9.(3分)如图，把一张长方形的纸折叠 后，B、D两点落在B'、D'点处，若 ∠AOB'=76°，则∠CG0的度数 是() 考点ZBB七年级数学下册 21 A.52° B.50° C.48° D.45 第9题图 变式1题图 变式①(3分)如图，将一条对边互相平行的 纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD,若 CDBE,∠1=35°，则∠2的度数是() A.90° B.100°C.105° D.110° 变式2(3分)如图1是长方形纸带，∠DEF 等于α，将纸带沿EF折叠成折叠成图2，再沿 BF折叠成图3，则图中的∠CFE的度 数是() 图1 图2D 图3 A.2a B.90°+2a C.180°-2a D.180°-3a 10.新趋势·开放性试题(8分)如图，已知AC∥ DE,CD∥EF,请你添加一个已知条件后，能 使EF平分∠DEB。 (1)你添加一个已知条件 (2)写出你的说明过程。 22 25分钟同步练习，精炼高效抓 11.[教材习题变式](9分)【问题提出】课堂上， 李老师提出了这样一个问题：“已知一个角 的两边分别平行于另一个角的两边，那么这 两个角是什么关系？” 【问题探索】为了解答李老师的问题，小明与 小颖分别画出了下面的图形，请你根据这两 位同学画的图形，解答下列问题： (1)如图，AB∥DE,BC∥EF,则下列结论正确 的是( A.∠B=∠E B.∠B+∠E=180° C.∠B=∠E或∠B+∠E=180° D.以上都不对 (2)请你根据两位同学所画的图形，分别给 出你的结论并说明理由； (3)结合李老师提出的问题，我们可以得到 一个结论（请你用语言表述） D B△ G-C B△ G-C EA 一F 小明画的图形 小颖画的图形 考点ZBB七年级数学下册 第2课时平行线 知识点①平行线的性质与判定的综合 1.（3分)如图，直线a,b被直线c,d所截，若∠1= 80°，∠2=100°，∠3=85°，则∠4的度数是() A.80 B.85° C.95° D.100° ☑B -b 第1题图 第2题图 2.（3分)如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结 论正确的是() A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1=∠3 D.∠2=∠4 3.(6分)如图，已知∠1=∠BDC,∠2+∠3 =180°。 (1)问AD与CE平行吗？如果平行请说明 理由。 (2)若CE垂直AE于E,DA平分∠BDC, ∠FAB=68°，求∠1的度数。 【易错提醒】平行线的判定与性质之间的关系：平行 线的判定是利用角的大小关系及位置关系推出两 直线平行，而平行线的性质是由两条平行的直线推 出角之间的关系。 25分钟同步练习，精炼高效抓 性质与判定的综合 知识点②利用平行线的性质与判定解决实际 问题 4.（3分)如图1，汽车前灯的反光装置相当于凹 面镜，有了它，射出的光可看作平行光。现对 此进行逆向分析，如图2，两条平行光线1、3 通过凹面镜反射后反射光线汇聚于焦点F,2 是过焦点F的一条辅助线，根据图中信息，下 列判断错误的是( 45 图1 图2 A.1// B.l九2 C.l2九3 D.∠1=45 5.（3分)如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕 道而过，如第一次拐弯后∠A=120°，第二次拐 弯后∠B=150°，第三次拐弯后的道路恰好和 第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C等 于 B A 第5题图 第6题图 6.(3分)乘车进人车库时仔细观察了车库门口 的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模 型，已知AB垂直于水平地面AE。当车牌被自 动识别后，曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢 向上旋转，CD段则一直保持水平状态上升 (即CD与AE始终平行)。若∠BCD=140°， 则∠ABC= 7.学习情境·过程性学习(3分)某同学的作业 如下框，其中横线处应填的依据是() 考点ZBB七年级数学下册 23 如图所示，当∠1=∠2时，∠3=∠4吗？为什 么？请完成下面的说理过程，解：因为∠1= ∠2（已知）。所以直线ab( ）。所 以∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）。 A.两直线平行，内错角相等 B.内错角相等，两直线平行 C.两直线平行，同位角相等 D.同位角相等，两直线平行 章 4 C M 第7题图 第8题图 8.(3分)如图，AB∥CD,将一副直角三角板按如图 摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°。下列结论：① GE∥MP;②∠EFV=150°；③∠BEF=75°；④ ∠AEG=∠PMN。其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9.「生活情境·自行车(3分)如图1是自行车放在 水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB, CD都与地面1平行，∠BCD=60°，∠BAC=54°，要 使AM与CB平行，则∠MAC的度数是( 图1 图2 A.60° B.66° C.114° D.1209 10.数学思想·类比思想(10分)课堂上，王老师给 同学们呈现了这样一个问题： 已知：如图，AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD 于点P,当∠1=30时，求∠EFG的度数。 24 25分钟同步练习，精炼高效抓 小明、小颖、小丽三位同学用不同的方法添加辅 助线解决问题，如图： E E 4 -B M-93- PD TD 小明 小颖 ND 小丽 小明同学辅助线的作法和分析思路如下： 辅助线：过，点F作MN∥CD。 分析思路： (1)欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为 求∠2和∠3的度数； (2)由辅助线作图可知，∠2=∠1，又由已知 ∠1的度数可得∠2的度数； (3)由AB/CD,MN∥CD推出ABMN,由此可 推出∠3=∠4； (4)由已知EF⊥AB,可得∠4=90°，所以可得 ∠3的度数； (5)从而可求∠EFG的度数。 请你选择小颖同学或小丽同学所画的图形，描 述辅助线的作法，并写出相应的分析思路。 考点ZBB七年级数学下册10.解：构图-：(1)B(2)①3②1 构图二：x3-x=x(x-1)(x+1) 构图三：由题意得，小长方形的短边为b,所以八边形ABC DEFGH的面积为a(a+4b)+4×b2=a2+4ab+2b2。 高效同步练习2.1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、余角和补角 1.B2.A3.A4.B 5.45°【解析】因为∠AOC=∠AOD+∠DOC=90°，∠BOD= ∠D0C+∠BOC=90°，∠BOC=45°，所以∠AOD=∠B0C =45° 6.40或80【解析】若(2x-10)°和(110-x)°是对顶角，则(2x -10)°=(110-x)°，解得x=40;若(2x-10)°和(110-x)°互 为补角，则(2x-10)°+（110-x)°=180°，解得x=80。综上 所述，x=40或80。 7.解：(1)因为∠AOC=∠BOD=90°，所以∠C0D+∠AOD= 90°，∠COD+∠BOC=90°，所以与∠COD互余的角有 ∠AOD,∠BOC: (2)因为∠B0C=∠A0B-∠A0C=155°-90°=65°，所以 ∠C0D=∠B0D-∠B0C=90°-65°=25°： (3)∠COD与∠AOB互补，∠AOC与∠BOD互补。 第2课时垂直 1.D2.D 3.解：(1)(2)如图所示： --} 4.B【解析】同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直。故选B。 5.A【解析】由垂线段最短可知，CP≤AC且CP<BC,所以CP 的长可能是2。故选A。 6.57.垂线段最短8.B9.B 高效同步练习2.2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两直线平行及平行公理 1.A2.B3.D 4.D【解析】根据“同位角相等，两直线平行”，可知∠2=∠1 =120°。故选D。 5.A【解析】如图，当∠ABC=∠ADI时，HⅢ∥ BC,因为∠ABC=45°，所以∠ADI=45°。所以 ∠FDH=45°。因为∠EDF=60°，所以∠EDH G =15°。故选A。 6.C 7.同位角相等，两直线平行 8.解：因为CD平分∠ACE,∠ACE=140°，所以∠DCE= ∠ACE=70°，因为∠B=70°，所以LB=LDCE,所L CD。 9.解：如图所示，EF即为所求，GH即为所求。 10.A 【知识回顾】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行。 11.A 12.平行于同一条直线的两条直线平行 13.D14.C 15.解：(1)如图所示，直线L1∥0B; (2)如图所示，直线L,0A。 同步练习，精炼高效抓考 B 0了A 16.解：设BC与EF交于点G。因为∠E=∠F,∠EGB= ∠CGF,所以∠B=∠BCF。因为∠B=∠D,所以∠D= ∠BCF,所以AD∥BC。 17.解：ACBD同位角相等，两直线平行垂直的定义 125等量代换AEBF 第2课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行 1.B2.A 3.B【解析】A.因为∠A=∠CDE,所以AB∥CD,错误；C.因 为∠ABD=∠BDC,所以CD∥AB,错误；D.∠C=∠A,不能判 定AD∥BC,错误。故选B。 4.内错角相等，两直线平行 5.解：已知补角的定义同角的补角相等∠BAG角平 分线的定义∠AGC等量代换内错角相等，两直线 平行 6.D7.平行8.A 9.①③④【解析】①∠B+∠BCD=180°，所以AB∥CD:②因 为∠1=∠2，所以AD∥BC:③因为∠3=∠4，所以AB∥CD: ④因为∠B=∠5，所以AB∥CD。所以其中一定能判定AB∥ CD的条件是①③④。 10.D11.D 12.解：平行。理由如下：如图，因为∠1=∠2，所以∠5=∠6。 因为∠3=∠4，所以∠3+∠5=∠4+∠6，所以ab。 3 6人2 4 高效同步练习2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 1.B 2.C【解析】因为AB∥CD,所以∠D=∠1=50°。因为FE⊥ DB,所以∠FED=90°，所以∠2=180°-∠FED-∠D=180° 90°-50°=40°。故选C。 3.C【解析】因为∠1=35°，所以∠ADF=∠1=35°。在三角 形ADF中，∠A=30°，所以∠AFD=180°-35°-30°=115°。 因为FD∥EG,所以∠AEG=∠AFD=115°，所以∠2=∠AEG =115°。故选C。 4.C【解析】因为AD∥BC,所以∠2=∠ABC。又因为∠ABC+ ∠BAC+∠1=180°，即∠ABC+78°+42°=180°，所以∠ABC= 60°，即∠2=60°。故选C 5.D 6.D【解析】如图，由题意知，∠3=180° (∠1+90°)=180°-(40°+90°)=50°。因为 a/b,所以∠2+∠3=180°，所以∠2=180°- ∠3=130°。故选D。 7.60°8.C 9.A 【变式1】D【解析】沿长BC至，点G。如 图，因为AFBE,所以∠1=∠3。因为AD ∥BC,所以∠3=∠4，所以∠4=∠1=35° 因为CD∥BE,所以∠6=∠4=35°，所以 D ∠5=∠6=35°，所以∠2=180°-∠5-∠6B 36G =180°-35°-35°=110°。故选D。 【变式2】D 10.解：(1)∠ACD=∠DCE(答案不唯一) (2)因为AC∥DE,所以∠ACD=∠CDE,又因为∠ACD= ∠DCE,所以∠CDE=∠DCE,又因为CD∥EF,所以∠DCE =∠FEB,∠CDE=∠DEF,所以∠FEB=∠DEF,所以EF 平分∠DEB。 ZBB七年级数学下册 71 11.解：(1)C (2)小明：∠B=∠E。理由：因为AB∥DE,所以∠B= ∠DGC。因为BC∥EF,所以∠DGC=∠E,所以∠B=∠E。 小颖：∠B+∠E=180°。理由：因为AB∥DE,所以∠B+ ∠DGB=180°。因为BC∥EF,所以∠DGB=∠E,所以∠B+ ∠E=180°； (3)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么 这两个角相等或互补 第2课时平行线性质与判定的综合 1.B【解析】因为∠1=80°，∠2=100°，所以∠1+∠2=180°， 所以ab,所以∠4=∠3=85°。故选B。 2.D【解析】因为∠A+∠ABC=180°，所以AD∥BC,所以∠2 =∠4。故选D。 3.解：(1)AD∥CE,理由：因为∠1=∠BDC,所以AB∥CD,所以 ∠2=∠ADC,因为∠2+∠3=180°，所以∠3+∠ADC=180°， 所以AD∥CE: (2)因为CE垂直AE,所以∠CEA=90°。因为CE∥AD,所以 ∠CEA=∠DAF=90°，因为∠FAB=68°，所以∠2=∠DAF- ∠FAB=22°，所以∠2=∠ADC=22°。因为DA平分∠BCD, 所以∠CDF=2∠ADC=44°，所以∠1=∠CDF=44°。 4.D 5.150°【解析】如图，过点B作DE∥AM,则 E八 ∠ABE=∠A=120°，所以∠EBC=∠ABC ∠ABE=150°-120°=30°。因为AM∥CN,所 以DE∥CN,所以∠C=180°-∠EBC=180°- M D 30°=150°。 6.130°【解析】过点B向右侧作BG∥CD,则∠BCD+∠CBG =180°。因为∠BCD=140°，所以∠CBG=180°-∠BCD= 40°。因为BA⊥AE,AE∥CD,BG∥CD,所以BA⊥BG,所以 ∠ABG=90°，所以∠ABC=∠ABG+∠CBG=90°+40°=130°。 7.B 8.D【解析】①由题意得：∠G=∠MPN=90°，所以∠MPG= 90°，所以∠G=∠MPG,所以GEMP,故①正确；②由题意 得∠EFG=30°，所以∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正 确：③过点F向右作FH∥AB,因为AB∥CD,所以∠BEF+ ∠EFH=180°，FH∥CD,所以∠HFN=∠MNP=45°，所以 ∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°，所以∠BEF=180°-∠EFH =75°，故③正确：④因为∠GEF=60°，∠BEF=75°，所以 ∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，因为∠MNP=45°，所以 ∠PMN=45°，所以∠AEG=∠PMN,故④正确。综上所述」 正确的有4个。故选D。 9.B【解析】由题意知，AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD=60°. 因为AM∥CB,所以∠MAB=180°-∠ABC=120°，所以 ∠MAC=∠MAB-∠BAC=66°。故选B。 10.解：例选择小丽同学所画的图形： 3 A O2—B F4r、N PTD G 辅助线：过点O作ON∥FG交CD于点N。 分析思路：(1)欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知， ∠EFG=∠EON,因此只需转化为求∠EON的度数； (2)欲求∠E0W的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3 的度数； (3)由已知EF⊥AB,可得∠3=90°： (4)由AB∥CD,可推出∠2=∠4，由ON∥FG可推出∠4= ∠1，由此可推∠2=∠1，又已知∠1的度数可求出∠2的 度数； (5)从而可求∠EFG的度数。 追梦第二章章末复习相交线与平行线 1.C2.C 3.C【解析】因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，因为 ∠B0E+∠1=180°，∠B0E=154°，所以∠1=180°-∠B0E= 72 同步练习，精炼高效抓考 180°-154°=26°，所以∠2=90°-∠1=90°-26°=64°。故 选C。 4.D5.B 6.B【解析】因为平行，所以∠1+∠PF0=180°，因为∠1= 155°，所以∠PF0=25°，因为∠3=180°-∠0PF=∠PF0+ ∠P0F,∠3=55°，所以∠P0F=30°，所以∠2=30°。故 选B。 7.垂线段最短8.4.89.内错角相等，两直线平行 10.50°【解析】因为AB∥CD,∠1=65°，所以∠BEN=∠1= 65°。因为EN平分∠BEF,所以∠BEF=2∠BEN=130°。 因为AB∥CD,所以∠2+∠BEF=180°，所以∠2=180° ∠BEF=50°。 11.解：CD⊥AB,理由：因为DG⊥BC,AC⊥BC,所以∠DGB= ∠ACB=90°，所以DG∥AC,所以∠2=∠DCA。因为∠1= ∠2，所以∠1=∠DCA,所以CD∥EF。因为EF⊥AB,所以 CD⊥AB。 12.解：(1)t3t (2)过点H向左作HG∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥GH∥ CD,所以∠BPH=∠PHG,∠DQH=∠QHG。因为∠PHG+ ∠OHG=90°，所以∠BPH+∠D0H=90°，即t+(180-3t)= 90,解得1=45。 高效同步练习3.1感受可能性 1.A2.A3.B 4.D【解析】要使取出红球的可能性大，则红球的个数比白 球多，则红球有6个或6个以上。故选D。 5.2 【归纳总结】与转盘有关的随机事件，在比较事件发生的可 能性大小时，常把面积作为比较的入手点。一般地，某个区 域面积越大，则事件在该区域发生的可能性越大。 6.B7.④③②① 8.解：(1)31或2 (2)因为要使“摸到红球”和“摸到白球”的可能性大小相 同，所以两种球的数量应相同，故由题意可得5-x=3+x,解 得x=1。 高效同步练习3.2频率的稳定性 第1课时频率的稳定性 1.C2.0.463.小于4.35 5.B 6.解：(1)0.700.530.660.590.580.630.58 0.610.600.60 补全图形如图所示： 摸到白球的频率 0.72 0.70 0.68- 0.66 0.64 0.62 0.60- 0.58 0.56 0.54 0.52 01002003004005006007008009001000 试验次数 (2)0.6 第2课时用频率估计概率 1.A【解析】B.随机事件的概率是0与1之间的一个常数： C.概率很小的事件有可能发生：D.正面朝上的次数可能为 500次。故选A。 2.D 3.解：(1)0.700.70 (2)0.70 (3)这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.7：理由：在相 同条件下，多次试验，事件的发生频率近似等于概率。 4.D 5.A【解析】B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗均匀后，从 ZBB七年级数学下册