高效同步练习20.2 勾股定理的逆定理及其应用-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（人教版·新教材）

高效同步练习20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 知识点①勾股定理的逆定理 7.（3分)一个三角形的三边之比为5：12：13，它 1.（3分)在△ABC中，点D在直线AB上，且AD 的周长为60，则它的面积是() +CD=AC2,则下列结论正确的是( A.120 B.144 C.196 D.60 A.∠ACB=90° B.∠BCD=90° 8.文化情境·数学文化(3分)如图是用三块正 C.∠BDC=90° D.∠CAD=90° 方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥 第 2.(3分)下列各组数中的三个数可作为三边长 拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别 构成直角三角形的是( 是1,2,3,4,5，选取其中三块（可重复选取）按 章 A.1,2,2 B.32,42,52 如图的方式组成图案，使所围成的三角形是 C.√2,3,5 D.3,4,5 面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片 3.学科内部融合(3分)已知三角形的三边长 的面积分别是( a、b、c满足(a-√2)2+√b-3+1c-√7I=0,则三 A.1,4,5 角形的形状是( B.2,3,5 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.3,4,5 C.直角三角形 D.不能确定 D.2,2,4 9.(3分)若△ABC的三边a,b,c满足(a-b)(a2 知识点②勾股数 +b2-c2)=0,△ABC的形状为 4.(3分)下列几组数中，为勾股数的是( 10.(7分)如图，在△ABC中，AC=8,BC=6,以 A.4,5,6 B.12,16,20 AB为边向外作△ABE,DE为AB边上的高， C.-10,24,26 D.2.4,4.5,5.1 DE=12,SA4E=60,求∠C的度数 5.（3分)下列几组数：①9,12,15，②8,15,17，③ 7,24,25,④n2-1,2n,n2+1(n是大于1的整 数)，其中是勾股数的有() A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 易错点)利用勾股定理的逆定理判断三角形的 形状 6.(3分)已知△ABC的∠A、∠B和∠C的对边 分别是a,b和c,下面给出了五组条件：① ∠A:∠B:∠C=1:2:3;②a:b:c=3:4:5;③2 ∠A=∠B+∠C;④a2-c2=b2;⑤a=1,b=2,c= √3.其中能独立判定△ABC是直角三角形的 条件有( )个 A.2 B.3 C.4 D.5 12 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册 第2课时 勾股定理的逆定理的应用 知识点①勾股定理逆定理的应用 【技巧点拔】求不规则图形的面积常用的方法是割 补法，即把不规则的图形分割或拼补成规则图形， 1.生活情境·花坛面积(3分)小亮在某公园里， 本题通过连接AC将四边形ABCD分割成△ABC和 测得一个三角形花坛的三边长分别是8m, △ACD,再利用勾股定理及其逆定理和两个三角形 面积的和求出四边形的面积。 6m,10m,则该花坛的面积是( ) A.120m2 B.72m2 4.生活情境·购物车(3分)如图1是超市的购 C.60m2 D.24m2 物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC 2.生活情境·舰队航行(7分)在一条南北向的 =24cm,CB=18cm,两轮中心的距离AB= 第 30cm,求点C到AB的距离 cm 海岸边建有一港口O,A,B两支舰队从O点出 发，分别往不同的方向进行海上巡查.已知A 舰队以15海里/小时的速度向北偏东60°方 向行驶，B舰队以8海里/小时的速度向另一 OB 个方向行驶：两小时后，A,B两支舰队相距34 图1 图2 海里，你知道B舰队是往什么方向行驶的吗？ 北 5.热点情境·森林火灾(8分)森林火灾是一种 常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、 经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式 扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向 AB,由点A飞向点B,已知点C为其中一个着 火点，且点C与直线AB上两点A,B的距离分 别为600m和800m,AB=1000m,飞机中心 周围500m以内可以受到洒水影响. (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火点 C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点 知识点②勾股定理及其逆定理的综合应用 C能否被扑灭？ 3.[教材例题变式](3分)如图，在四边形ABCD 中，AB=3,BC=4,CD=1,AD=26,AB⊥BC, 四边形ABCD的面积为() A.12 B.6+√6 C.2√6 D.2J6+6 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册 13 数学活动 活动利用勾股定理绘制图案 1.(10分) 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复 素 的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树 材 第二十章 经过小组讨论，制定了如下规则： 素 1.画出不同类型三角形形成的树形图； 材 2.所画的基础三角形周长为8cm,其中一条边长固定为2cm,根据规则，三位同学分别画 出了不同类型的树形图并进行探究， 素 S S 材 三 BS C ES,F H S 类型① 类型② 类型③ (1)小明画出类型①锐角△ABC,4B=AC,BC=2cm,则 S. (2)小金画出了类型②直角△DEF,∠DFE=90°，EF=2cm,计算S3-S2的值； (3)小山画出了类型③钝角△GHL,∠GIH=120°，HⅢ=2cm,计算S,-S2的值. 14 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年级数学下册误；D.√35÷√7=√5，错误.故选C 3.D 4.C【解析】由题可知，a-1=0,b+2=0,∴.a=1,b=-2.∴.a+b=1 +(-2)=-1.故选C. 5.B6.B7.D8.B9.a>310.2 11.√n2-2【解析】前(n-1)行的数据的个数为：2+4+6+…+ 2(n-1)=n(n-1),.第n(n是整数，且n≥3)行，从左到右数 第n-2个数的被开方数是n(n-1)+n-2=n-2,∴.第n(n是 整数，且n≥3)行，从左到右第n-2个数是√m-2. 12.解：(1)原式=（√10）2-(7)2-(2+22+1)=10-7-3-22 =-2w2; (2)原式=2y(-2xy)=2vx(。2】 4 )=9 9xVxy 13.解：(1) 1 =n+1-√n(n≥0). √n+I+n (2)原式=(2-1+3-√2+√4-√3+…+√2026-√2025) (√2026+1)=(-1+√2026)（√/2026+1）=2025 14解：若△ABC的三边长为5,6,7时，p=2×(5+6+7)=9,S6c =√9x(9-5)×(9-6)×(9-7)=6V6,△DEF的三边长为√5 6,7时，545x6户-可- /1 21 高效同步练习20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 1.C 2.A 【变式】C【解析】当3,4为直角边时，斜边为5，此时周长为 12;当4为斜边时，则另一直角边为√42-32=√7，此时三角形 的周长为7+√7.故选C. 3解：(1)在Rm△BCD中，DC=BC-Bm2=3-(号)- 25.DC 2)在△ACD中，A0=AC-CD=术-（号）：- 25AD= 5AB=169 555. 4.C 5.D【解析】设AB长为x,则AC为(x-4).·∠C=90°，.在 Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即(x-4)2+64= x2,解得x=10,即AB=10.故选D. 6.A 7.解：连接AC,在Rt△ABC中，AB=20m,BC=15m,根据勾股定 理，得AC=√AB2+BC2=25(m).在Rt△ACD中，CD=7m,AC= 25m,AD=√AC2-CD2=24(m)..Sg边形BcD=S△ABc+S△AcD= 2×20x15+2×24x7=234(m). 第2课时勾股定理的应用 1.B2.D3.C4.10 5.15【解析】由题意可得：B0=1.5×6=9(海里)，A0=1.5×8= 12(海里)，∠A0B=90°，∴.AB=WB0+A02=15(海里). 6.C 7.解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD=BC2-BD2=252- 152=400,.CD=20米，.CE=20+1.6=21.6(米)，答：风筝的 垂直高度CE为21.6米； (2)设风筝下降到点M处，由题意得，CM=12米，.DM=8米， ·.BM=√DM+BD=√82+15=17（米），.25-17=8（米）. 答：他应该往回收线8米. 第3课时利用勾股定理作图或计算 1.A【解析】.点A,B的坐标分别为(4,0)，(0,3)，.OA=4,0B =3.在Rt△A0B中，由勾股定理得AB=√32+4=5.：AC=AB= 5,.0C=5-4=1,.点C的坐标为(-1,0).故选A. 70 同步练习，精炼高效抓考点 2.解：（1)√2 (2)如图所示，点M即为所求 D M -2-1 0 A 2 3.A 4.解：A(-4,0),B(2,0),∴AB=6..△ABC是等边三角形，CH ⊥AB,∴.BC=6,AH=BH=3.∴.OH=1.根据勾股定理，得CH= VBC2-BF=35,C(-1,35)Sa=2×6x35=95. 5B【解析】由题意可得BC=AB=BF=1,BM=方AB=分 ∠BMF=90°，在Rt△BMF中，根据勾股定理，得MF= VBF-BM证=兮.故选B 6.7-3+√7或-3-√7 7.解：(1)如图1所示，△ABC即为所求； (2)如图2所示，△DEF即为所求. B ■■ 图1 图2 高效同步练习20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.C2.C 3.C【解析】由题意，得a-√2=0，b-3=0,c-√7=0，解得a=√2， b=3,c=7.(2)2+(7)2=32,.三角形的形状是直角三角 形.故选C. 4.B5.D6.C7.A8.B 9,等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【解析】小：（α- b)(a2+b2-c2)=0,∴.a-b=0或a2+b2-c2=0或同时满足a-b= 0,a2+b2-c2=0..a=b或a2+b2=c2或a=b且a2+b2=c2, △ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形. 10解：DB=2,Sae=DB·AB=60AB=10AC=8,BC =6,82+6=102,.AC2+BC2=AB2.由勾股定理的逆定理得 ∠C=90°. 第2课时勾股定理的逆定理的应用 1.D 2.解：在向北的坐标轴上0点上方取一点Y,在0点下方取一点 F.由题意可得0A=30海里，0B=16海里，AB=34海里..30 +162=342,.A02+B02=AB2,.△A0B是直角三角形， ∠A0B=90°.：∠A0Y=60°，∴.∠B0F=30°.答：B舰队是往南 偏东30方向行驶的. 3.B4.14.4 5.解：(1)受影响：理由：过点C作CD⊥AB于D,由题意知AC= 600m,BC=800m,AB=1000m,∴.AC+BC2=600+8002=10002 =AB,△MBC是直角三角形，SA=×600x80= CD·1000,.CD=480,.·飞机中心周围500m以内可以受到洒 水影响，∴.着火点C受洒水影响； (2)在线段AB上点D的两侧各作一点E、F,当EC=FC=500m 时，飞机正好喷到着火点C,在Rt△CDE中，ED=√EC-CD =140(m),∴.EF=280m,.飞机的速度为10m/s,∴.280÷10= 28(秒).28秒>13秒，着火点C能被扑灭. 数学活动 1 (2)由题意知∠DFE=90°，EF=2cm,由勾股定理得：EF2+DF =DE2,.DE2-DF2=EF2,即S,-S2=22=4(cm2); (3)过点G作GT⊥HI交H的延长线于T,在△GH中，∠GH =120°，HI=2cm,.∠GIT=60°，.·GT⊥HL,.∠IGT=30°，设 ZBR八年级数学下册 IT=acm,则Gl=2acm,由勾股定理得：GT=√G-T= √3acm,:HⅢ=2cm,△Gl的周长为8cm,∴.HG=8-2-2a=(6- 2a)cm,在Rt△GHT中，HG=(6-2a)cm,GT=√3acm,HT=(2+ a)cm,由勾股定理得：HG2=GT+HT2,即(6-2a)2=(W3a)2+(2 7,S2=G= +。、2厚.。=8，.GI=2a三7，HG=6一2a=8. 49,8=Hc2=676 256 60, =49s-8,=7（cm2). 追梦第二十章章末复习勾股定理 1.C【解析】C.(√3)2+22≠（√5）2，不能构成直角三角形.故 选C. 2.C3.C4.B 5.B【解析】由勾股定理，得楼梯的水平宽度=√52-32=4 (m),.地毯的长度至少是3+4=7(m).故选B. 6.B【解析】小.车宽1.6米，.欲通过如图的隧道，只要比较距 隧道中线0.8米处的高度与车高.在Rt△OCD中，由勾股定 理，得CD=√/0C2-0D=0.6米，.CH=CD+DH=0.6+2.3= 2.9(米)，∴.卡车的外形高必须低于2.9米.故选B. 7.15或37【解析】当AC为斜边时，AC=√AB+BC2=15;当 AC为直角边时，AC=√BC2-AB2=3√7. 8.6【解析】在直角三角形ABC中，AB=12,BC=16,∴.AC= √AB+BC2=20.根据折叠的性质可得，BD=DE,AB=AE=12, ∠ABD=∠AED=90°，∴.CE=AC-AE=8,∠CED=180°-∠AED =90°.设BD=DE=x,则CD=16-x.在Rt△CDE中，DE2+CE2= CD2,x2+82=(16-x)2,解得x=6,.BD=6. 【技巧点拨】根据勾股定理可求得AC=20,由折叠的性质可得 BD=DE,AB=AE=12,∠ABD=∠AED=90°，进而得到CE=8, ∠CED=90°，设BD=DE=x,则CD=16-x,在Rt△CDE中，根据 勾股定理列出方程求解即可. 9.12 10.√145【解析】长方体的展开图如图. (1)展开前面与右面，由勾股定理得：AB =(8+4)2+52=169:(2)展开前面与上面 由勾股定理得：AB2=(5+4)2+82=145: (3)展开左面与上面，由勾股定理得AB2= (3) (5+8)2+42=185,.:145<√16丽< √185，∴.最短路程长为√145cm 11.解：当CD LAB时，CD最短..·∠ACB=90°，AC=80米，BC= 60米，AB=VAC2+BC=100(米).SAc=号AC·BC 2AB·CD,CD=48米.CD1AB,LADC=90,AD= √4C2-CD=64(米).最低造价：48×100=4800（元）.答：点 D在距，点A为64米处时造价最低，最低造价为4800元. 12.(1)证明：.AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD=4,CE=3, .AC=6,BC=8,.AB=10,∴.AB2=AC2+BC2,.△ABC是直 角三角形，∴.∠C=90°； (2)解：∠C=90°，AD=6,BE=8,.AC2+CD2=AD2,BC2+ CE2=BE,.AD、BE分别为边BC、AC的中线，∴.CD= cB=号4CAC+(号Ac)2=36,BC+(24C2=64 54C+BC2=100,心AC+BC2=80,品AB=VAC+BO 4 =45. 13.解：(1)(b-a)2 (2)小正方形的面积可以用c2-2ab表示，也可以用(b-a)2表 示，∴.c2-2ab=(b-a）2=b2-2ab+a2,∴.a2+b2=c2 高效同步练习21.1.1四边形及其内角和 1.B 2.C【解析】由题意知，∠ABC=180°-∠1=108°，∠ADC=180°- ∠2=72°，.∴.∠A+∠C=360°-∠ABC-∠ADC=180°.故选C. 3.D 同步练习，精炼高效抓考 4.D【解析】.：∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∠1=50°，∠2=80°， ∠3=120°，∴.∠4=110°.故选D. 5.C6.B 7.解：(1).四边形的内角和为360°，∴.x+(x+10)+60+90=360, 解得x=100； (2).:四边形的内角和为360°，.x+x+80+150=360,解得x =65. 8.已知：四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的四 个外角； 求证：∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 证明：如图，.∠1=180°-∠DAB,∠2=180°-∠ADC,∠3= 180°-∠DCB,∠4=180°-∠ABC,.∠1+∠2+∠3+∠4=720°- (∠DAB+∠ADC+∠DCB+∠ABC),.四边形的内角和为360°， ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=720°-360°=360°. 2 AD 3 高效同步练习21.1.2多边形及其内角和 1.C2.A3.C 4.A【解析】设这个多边形的边数为n.由题意得：(n-2)×180° =5×180°，解得n=7,所以这个多边形的边数为7.故选A. 5.A6.67.B8.A 9.解：(1)30 (2)设这个多边形为n边形，由题意得，（n-2)×180°=1830°- 30°，解得n=12...小明求的是十二边形内角和： (3)正十二边形的每一个内角为180° 12 =150°..这个正多边形 的一个内角是150° 高效同步练习21.2.1平行四边形及其性质 1.D2.是3.D4.C5.A6.B7.C 8.12【解析】在□ABCD中.AC=8,BD=6,AD=5,∴.OC= 2AC=4,0B=2BD=3,BC=AD=5,△B0C的周长=0C+ 0B+BC=4+3+5=12. 9.①②③④ 10.50【解析】.·L1∥2，∠DAB=135°，.∠ABC=180°-∠DAB= 45°.AC⊥L2,LACB=90°..∠BAC=180°-∠ACB- ∠ABC=45°.∴.∠BAC=∠ABC.∴.BC=AC.BC=50mm,∴. AC=50mm,.41与b2之间的距离为50mm. 11.32cm或34cm【解析】如图所示，∠DAB 7D 的平分线分对边BC为6cm和5cm两部 分.当BE=5cm,EC=6cm时，∠BAE= B ∠DAE..·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC.∴.∠BEA=∠DAE.∴.∠BEA=∠BAE.∴.BE=AB= 5cm.∴.AB=CD=5cm,AD=BC=BE+CE=11cm.∴.☐ABCD的 周长为(5+11)×2=32(cm).当BE=6cm,CE=5cm时，同理得 AB=BE=CD=6cm,AD=BC=BE+CE=11cm,∴.□ABCD的周 长为(6+11)×2=34(cm).综上所述，□ABCD的周长为32cm 或34cm. 12.B13.A 14.A【解析】过，点D作DN⊥AB交BA延长线于点N.由题意， 得S,=2AM·DN,S,=2BM·DN,S=2CD·DN,S+S, 2AM·DN+2BM.DN=2DN·(AM+BMn=2AB·DN .四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,∴.S1+S2=S.故 选A 15.C【解析】：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD=3cm, ADBC,由尺规作图可知，BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∴. ∠ABE=∠CBE,∠DCF=∠BCF.,AD∥BC,∴.∠AEB= ∠CBE,∠DFC=∠BCF,∴.∠ABE=∠AEB,∠DCF=∠DFC, .'AE=AB=3cm,CD=DF=3cm,.'.EF=AD-AE-DF=4(cm). 故选C 16.D 17.解：② 证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.BO=DO.在△BOE和 ZBR八年级数学下册 71