专题 与正方形有关的常考模型&专题 特殊平行四边形中的折叠问题&专题-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（冀教版·新教材）

专题 与正方形有关的常考模型 模型①正方形中相交垂线段问题 模型③正方形中的半角模型 模型展示 模型展示 正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到 (1)如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，则 的两条线段若垂直，则相等 ①EF=BE+DF:②△CEF的周长为正方形ABCD 边长的2倍：③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF. D D B GB E (2)如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，则 1.(8分)(1)如图1，在正方形ABCD中，AE、DF FA平分∠DFE,EF=DF-BE. 相交于点O,且AE⊥DF,则AE和DF的数量 关系为 (2)如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是 边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF,垂足为H.求 证：EF=BG. 3.(9分)如图1，已知正方形ABCD,把一个直角 与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个 顶点重合，当直角的一边与BC相交于点E, 另一边与CD的延长线相交于点F时， 图 图2 (1)证明：BE=DF; (2)如图2，作∠EAF的平分线交CD于点G, 连接EG,证明：BE+DG=EG 模型②正方形中对角线交点处的直角 模型展示 图1 图2 正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E, 第 F分别在AB,BC上.若∠EOF为直角，OE,OF 分别与DA,AB的延长线交于点G,H,则△AOE 章 ≌△BOF,△AOG≌△BOH,△OGH是等腰直角 1 三角形，且S四边形OBBF= 4S正方形BCD: 2.(3分)正方形ABCD的对角线相 交于点O,点O又是正方形EFG0 的一个顶点，而且这两个正方形 的边长都是1，若正方形EFG0绕 点0转动，则这两个正方形重叠部分的面 积为 52 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBJ八年级数学下册 专题特殊平行四边形中的折叠问题 方法点拨：(1)折叠问题的本质是轴对称，折叠前的部分和折叠后的部分是全等图形；(2)折痕可以看作 垂直平分线，对称点的连线被对称轴垂直平分，连接两对称点可以得到相等的线段，也可以构造直角三角 形，从而把折叠问题转化为轴对称问题；(3)利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知 结合一起列出方程来求解（方程思想） 类型一矩形的折叠问题 类型二菱形的折叠问题 1.(3分)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B 4.(3分)如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B 落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已 点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则 知∠DMN=36°，连接BM,则∠AMB的度数 ∠EDC的大小为() 为() A.10° B.15° C.20° D.30° A.68° B.72 C.76° D.85° 第4题图 第5题图 第1题图 第2题图 5.(3分)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°， 2.(3分)如图，在矩形ABCD中，AB=15,AD=8, 点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折 E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B 落在点F处，当△AEF为直角三角形时， 叠，点C对应点为点C',且DC'是AB的垂直 平分线，则∠DEC的大小为 AE= 3.(7分)如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折 类型三正方形的折叠问题 叠，使A、C重合，AC与EF交于点H. 6.（3分)将一张正方形纸片对折两次，然后剪下 (1)求证：AE=AF; 一个角，如果要剪出一个正方形，那么剪口与 (2)若AB=4,BC=8,求△ABE的面积 折痕成() 第 A.22.5° B.30° C.45° D.60° 章 A 第6题图 第7题图 7.(3分)如图，把正方形纸片ABCD沿 对边中点所在的直线对折后展开， 折痕为MN,再过点B折叠纸片，使 点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM的长为 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBJ八年级数学下册 53 专题特殊平行四边形中的动点与最值问题 方法点拨：我们常见的四边形中的动，点问题是在几何图形中有一个或两个动点，并对这些点在运动变化 过程中伴随的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察.解决动点问题 的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点。 类型一特殊平行四边形中的动点问题 类型三)特殊平行四边形中的最值问题 1.（3分)如图所示，点0为矩 3.(3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6, 形ABCD的对称中心，点E BD=8,点E、F分别是边AB,BC的中点，点P 从点A出发沿AB向点B运 在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的 动，运动到点B停止，延长EO交CD于点F, 最小值，则这个最小值是() 则四边形AECF形状的变化依次为() A.3 B.4 A.平行四边形正方形→平行四边形矩形 C.5 D.6 B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C.平行四边形→正方形→菱形→矩形 D.平行四边形→菱形正方形→矩形 2.（10分)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC =8cm,点P从点D出发向点A运动，运动到 点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运 第3题图 第4题图 动，运动到点C即停止.点P、Q的速度都是 4.（3分)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边 1cm/s,连接PQ,AQ,CP.设点P、Q运动的时 BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动 间为t(s). 点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运 (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ 动，则线段EF的值大小变化情况是(） (2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？ A.一直增大 B.不变 第二十一章 C.先减小后增大 D.先增大后减小 5.(3分)如图，在边长为2的正方形ABCD中， E,F分别是BC,CD上的动点，M,N分别是 EF,AF的中点，则MN的最大值为 第5题图 第6题图 6.(3分)如图所示，在矩形ABCD中，AB=6,AD =8,P是AD上的动点，PE⊥AC于E,PF⊥BD 于F,则PE+PF的值为 54 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBJ八年级数学下册90°，∴.∠ACD=45°=∠CAD,∴.AD=CD,∴.四边形ADCE为正 方形. 专题与正方形有关的常考模型 1.解：(1)AE=DF （2)过点E作EM⊥BC于点M,则四边形ABME为矩形..：.AB =EM,在正方形ABCD中，AB=BC,.EM=BC.EM⊥BC, ∠MEF+∠EFM=90°.，·BG⊥EF,∴.∠CBG+∠EFM=90°，∴. I∠CBG=∠MEF ∠CBG=∠MEF,在△BCG和△EMF中，{BC=EM (∠C=∠EMF=90° .∴.△BCG≌△EMF(ASA),.∴.BG=EF A 3.证明：（1).·四边形ABCD为正方形，.AB=AD,∠BAD=∠B= ∠ADC=90°.∠EAF=90°，∴.∠BAE=∠DAF,在△ABE和 (∠BAE=∠DAF △ADF中，{AB=AD ,.△ABE≌△ADF(ASA),∴.BE ∠ABE=∠ADF =DF: (2).:△ABE≌△ADF,∴.AE=AF.由题意，得∠EAG=∠FAG (AE=AF 在△AEG和△AFG中， ∠EAG=∠FAG,.∴△AEG≌△AFG AG=AG (SAS),..GE=GF..CF=DG+DF,BE=DF,..BE+DG=EG. 专题特殊平行四边形中的折叠问题 1.B【解析】.四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠ABC=90°.由折 叠性质得，∠NME=∠ABC=90°，ME=BE..·∠DMN=36°，. ∠AME=180°-∠NME-∠DMN=54°，.∠AEM=90°-∠AME= 36°..ME=BE,∴.∠EMB=∠EBM=18°，∴.∠AMB=∠AME+ ∠EMB=72°.故选B. 27或 【解析】①若LAEF=90.LB=∠BCD=90°= ∠AEF,.四边形BCFE是矩形.·将△BEC沿着CE翩折， CB=CF,∴.四边形BCFE是正方形，.BE=BC=AD=8,∴，AE= AB-BE=7;②若∠AFE=90°.，'将△BEC沿着CE翻折，∴.CB =CF=8,∠B=∠EFC=90°，BE=EF.,'∠AFE+∠EFC=180° .点A,点F,点C三，点共线，·AC=AB2+BC2=17,AF=9 :AB2=AF+EP,AE=V81+(I5-AB),解得AB=};③若 ∠EAF=90°..·CD=15>CF=BC=8,∴.点F不可能落在直线 4D上不存在LEAF=90°，综上所述，AE=7或】 3.（1)证明：·四边形ABCD为矩形，.AD∥BC,.∠AFE= ∠FEC,由折叠的性质得：∠AEF=∠FEC,,∠AFE=∠AEF ∴AE=AF (2)解：根据折叠的性质可得AE=EC,设BE=x,则AE=EC=8 -x,在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AB2+BE=AE2,即42+ x2=(8-x)2,解得x=3,BE=3,Sae=2AB·BE=6. 4.B【解析】四边形ABCD为菱形，∠ADC=∠B=70°，AB= AE=AD,∴.∠AED=∠ADE..AD∥BC,∴.∠DAE=∠AEB=70° 六LADB=∠AED=2(180°-∠DAE)=5,∠BDC=70 55°=15°.故选B. 5.75°【解析】连接BD.设DC'与AB交于点P..四边形ABCD 为菱形，AB=AD.:LA=60°，.△ABD为等边三角形， ∠ADC=120°，∠C=60°..·DC'是AB的垂直平分线，.P为AB 的中点，∴.DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°， ∠PDC=90°，∴.由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在 △DEC中.∠DEC=180°-（∠CDE+∠C)=75°. 6.C 7.√3【解析】.·四边形ABCD为正方形，AB=2,过，点B折叠纸 片，使点A落在MN上的点F处，∴.FB=AB=2,BM=1,则在Rt △BMF中，FM=√BF2-BM=√22-1'=√3. 专题特殊平行四边形中的动点与最值问题 1.B 2.解：（1)当四边形ABOP是矩形时，BQ=AP,即t=8-t,解得t= 4.即当t=4时，四边形ABQP是矩形； (2)设t秒后，四边形AQCP是菱形，AQ=CQ,BQ=t,则CQ=AQ =8-t,则在Rt△ABQ中，AQ=AB2+BQ,即(8-t)2=42+t2,解 得t=3.即当t=3时，四边形AOCP是菱形 3.C【解析】.·四边形ABCD是菱形，对角线AC=6,BD=8,. 同步练习，精炼高效抓考 AB=√32+4=5，作E关于AC的对称，点E,连接E'F,则E'F 即为PE+PF的最小值..·AC是∠DAB的平分线，E是AB的中 点，.E在AD上，且E是AD的中点..：F是BC的中，点，.AE =BF,,ADBC,∴.四边形AEFB是平行四边形，EF=AB 5.故选C. 4.C【解析】连接AP.,PE⊥AB,PF⊥AC,∴.∠PEA=∠PFA= 90°.·∠A=90°，∴.四边形AFPE是矩形，∴.EF=AP,由垂线段 最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，.动，点P 从，点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小 变化情况是先减小后增大.故选C. 5.W2【解析】连接AE.,M,N分别是EF,AF的中点，∴.MN是 △AEF的中位线，MN=2AE.:四边形ABCD是正方形， ∠B=90°，.AE=√2+BE,当BE最大时，AE最大，此时 MN最大.，点E是BC上的动点，∴，当点E和，点C重合时，BE 最大，即为BC的长度，∴.此时AE=√22+22=22，∴.MN= 2AE=2,.MW的最大值为2. 24 6. ,【解析】连接OP.:四边形ABCD是矩形，∴.∠DAB=90°， AC=2A0=20C,BD=2BO=20D,AC=BD,..OA=OD=OC= 0B,.Sa40D=Sa0c=Sa40B=4S矩形CD=4X6X8=12.在 Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=√/AB+AD=√6+82=10， 六A0=0D=5.:Sa40p+Sam=Sa40,2A0·PE 2D0. 24 PF=12,..5PE+5PF=24,PE+PF= 5 高效同步练习21.8梯形 1.C2.B3.C4.A5.B 6.75【解析】由题意得：下底是35厘米，①腰长为15厘米时 两底是35厘米、10厘米，C=35+15×2+10=35+30+10=75(厘 米)，②腰长为10厘米时，两底是35厘米、15厘米，3515 10,∴.无法构成等腰梯形，不符合题意. 7.解：(1)作DE⊥AB于点E,则∠BED=90°.又.∠B=90°，AB∥ CD;∴.∠B=∠BED=∠C=90°，∴.四边形BCDE是矩形，∴.BC =DE,BE=CD=460m,∴.AE=1060-460=600(m),∴.BC=DE= √/10002-6002=800(m). (460+1060)×800 (2)S四边形ABCD =608000(m2) 数学活动在四边形上构造特殊四边形 1.解：(1)矩形：等腰梯形. (2)四边形DBCE是中母菱形.证明：连接DC、BE.,·D、E分别 是AB、AC的中点，DE/∥BC,DE=)BC,.四边形DBCE是梯 形.又.AB=AC,..DB=EC,∴.梯形DBCE是等腰梯形..·.DC= BE,∴.四边形DBCE是中母菱形. (3)四边形DBCE是中母菱形.证明：连接DC、BE.,BD=AE, ∠BAE=∠CBD,AB=BC,∴.△ABE≌△BCD(SAS),∴.BE=CD, .四边形DBCE是中母菱形. 2.解：(1)菱形 (2)成立，理由：连接AD、BC,'∠APC=∠BPD,∴.∠APC+ ∠CPD=∠BPD+∠CPD,.·.∠APD=∠CPB,.·PA=PC,PD= PB,.△APD≌△CPB(SAS),.AD=CB,·E、F、G、H分别是 AC、AB、BD、CD的中点，∴.EF、FG、GH、EH分别△ABC、△ABD、 △BCD、△ACD的中位线，.EF=2BC、FG=2AD,GH= 2BC,BH=2AD,.EF=FG=GH=EH,四边形EFGH是 2 菱形. (3)如图，四边EFGH是正方形，理由：连 接AD、BC,·(2)中已证△APD≌△CPB, .LPAD=∠PCB,LAPC=90°， ∠PAD+∠1=90°，.∠1=∠2，.∴.∠PCB+ ∠2=90°，.∠3=90°..·（2)中已证GH、 EH分别是△BCD、△ACD的中位线，∴. GH∥BC,EH∥AD,∴.∠EHG=90°..：(2)中已证四边EFGH是 菱形，∴.菱形EFG丑是正方形. ZBJ八年级数学下册 77