18.3 正方形（题型专练）（基础达标3大题型+能力提升5大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

18.3正方形 题型一 正方形的定义及性质 1.（24-25八年级下·河北保定·期末）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还有其特有性质。需找出正方形具备而一般平行四边形不一定具备的性质． 【详解】解：A、对边平行且相等：平行四边形的定义即对边平行且相等，正方形必然满足，故A错误，不符合题意； B、对角线相等：正方形的对角线相等，但一般平行四边形（如普通菱形、非矩形的平行四边形）对角线不一定相等，故B正确，符合题意； C、对角线互相平分：所有平行四边形的对角线均互相平分，正方形也满足，故C错误，不符合题意； D、对角相等：平行四边形的对角相等，正方形同样满足，故D错误，不符合题意． 故选：B． 2.（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3.（24-25八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，点E，F，G，H分别在，，，边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查正方形的性质、待定系数法求反比例函数关系式等知识点，解题关键是通过A点和C点坐标求出M点坐标． 由点坐标可知正方形的边长，求出点坐标，再根据点和点坐标求出点坐标，代入即可求出反比例函数的解析式； 【详解】解：∵正方形中，， ， ∴点的横坐标为：， ， ∵正方形的中心为点， ∴点是的中点， ∴点的坐标为， 将代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：8． 4.如图，正方形的面积为15，的斜边的长为8，则的长为_____． 【答案】7 【分析】根据题意得出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，， 在中，． 5.把两个全等的正方形和正方形按如图1的位置摆放，交于； (1)求证：； (2)如图2，延长交线段于点，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，若正方形的边长为，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据全等图形及正方形的性质，得到，，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，得到，最后推出，可得结论； （3）设，根据正方形的性质及全等三角形的性质可得出，，，然后在中，根据勾股定理得出，列出方程求解，最后根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形和四边形都是全等的正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵四边形和四边形都是全等的正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴的度数为； （3）设， ∵正方形的边长为，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 题型二 正方形的判定 1.（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，根据正方形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：A、，四边形是菱形，不一定是正方形，故不符合题意； B、，四边形是矩形，不一定是正方形，故不符合题意； C、，，四边形是正方形，故不符合题意； D、，，四边形不是正方形，故符合题意； 故选：C． 2. 如图，将一个矩形对折两次，沿着图中的虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，则剪切线与折痕所夹的大小为（）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要想成为一个正方形，那么就必须展开后为的角，通过折叠我们知道剪下的四边形四边相等，有一个角为就为正方形． 【详解】解：剪切线与折痕所成的角的大小等于为就可以得到一个正方形． ， 故选：B． 3.如图，在中，是的中点，点在边上运动（点不与重合），且保持连接．有下列结论： ①是等腰直角三角形 ②四边形不可能为正方形； ③在运动过程中，总有成立； ④四边形的面积随点的运动而发生变化． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】①连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF＝90°，DE＝DF．所以△DFE是等腰直角三角形； ②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形； ③由AC＝BC，AE＝CF，得出CE＝BF，进一步由勾股定理得出AE2＋BF2＝EF2； ④由割补法可知，四边形CEDF的面积保持不变． 【详解】①连接CD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB； 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； ∴ED＝DF，∠CDF＝∠EDA； ∵∠ADE＋∠EDC＝90°， ∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°， ∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正确）； ②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）； ③∵AC＝BC，AE＝CF， ∴CE＝BF， 由勾股定理得：CE2＋CF2＝EF2； ∴AE2＋BF2＝EF2．（故③正确）； ④如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N， 可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变（故④错误）， 故正确的有①③ 故答案为：①③． 4.如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定定理，掌握正方形的判定条件是解题关键． 结合矩形的角和角平分线，先推导四边形的基础形状，再根据正方形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：已知四边形为矩形，且平分，平分． 故，， 可得，，是等腰直角三角形． 选项：由两边平行可得四边形为平行四边形， 再由可得四边形为菱形， 再由可得四边形为正方形，故选项正确； 选项：，，仅可得到，无法证明四边形为正方形，故选项错误； 选项：根据题意可知，故，无法判定正方形，故选项错误； 选项：，，仅能判断是等腰三角形，不能证明，无法判定正方形，故选项错误． 故选：． 5.（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】由题意易得四边形是矩形，然后通过证明得，进而问题可求解． 【详解】证明：，， ，． 又， 四边形是矩形． 是边的中点， ． ， ． 又， ， ， 四边形是正方形． 题型三 求正方形的周长和面积 1.（25-26八年级下·北京·课后作业）正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】利用正方形四角为直角的性质，结合勾股定理求出边长，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形的四个内角都是直角，对角线长为， ∴根据勾股定理得， 整理得， ∵边长为正数， ∴， ∴正方形的周长为． 2.（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 3.（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，则可求最大的正方形的边长，再用大正方形面积减去两个小正方形面积求解即可． 【详解】解：∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∵大一点的正方形的面积为， ∴大一点的正方形的边长为， 则最外边的大正方形的边长为， ∴， ∴， 则留下的阴影部分的面积为 ． 4.两个正方形按如图1和图2所示两种方式摆放，大正方形的边长是4，小正方形的边长是2，图1中两阴影部分的面积差记为（），图2中两阴影部分的差记为（），则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，图形的面积，熟练掌握割补法求几何图形的面积，正方形面积公式，整式的运算法则，是解题的关键． 设图1中阴影部分的面积分别为和，空白部分的面积为；图2中阴影部分的面积分别为和，空白部分的面积为，则， ，利用正方形的面积公式分别计算和并比较大小即可． 【详解】解：如图，设图1中阴影部分的面积分别为和，空白部分的面积为；图2中阴影部分的面积分别为和，空白部分的面积为． ∵； ； ∴． 故答案为：=． 5.（2024八年级·四川宜宾·阶段练习）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、． (1)填空：用a，b表示的面积 （写出化简后结果）； (2)用a，b表示的面积，并化简； (3)如图2，若点M是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据，即可得出答案； （3）先得出，，再求出，，进而得出，求出的值，结合完全平方公式，即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：由图可知， ； （3）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； 题型一 利用正方形的性质与判定求线段长 1.在正方形中，，，，则点、之间的距离是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，由证明，得出，证出，由证明，得出，，同理：，，得出，证出四边形是正方形，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 同理：， ， 即， 同理：， 在和中， ， ， ，， 同理：，， ， ， 四边形是正方形， ； 故选：A． 2.（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形中，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，点为的中点，的延长线与交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 连接，先证明，设，则，再证明，则，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3.如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，．则点P到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，过点P作于点H，即可得出四边形为矩形，再证明，则四边形为正方形，进而得出，即可求解． 【详解】解：过点P作于点H， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 故答案为：． 4.（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形的边长为9，E是的中点，垂直平分且分别交，于点F，G，则的长为______________． 【答案】 【分析】连接、，设，则，根据垂直平分线的性质得到，在和中，利用勾股定理求出和的表达式，列方程求解即可． 【详解】解：连接、， 四边形是正方形， 、， 是的中点， ， 设，则， 垂直平分， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ． 5.（23-24八年级下·广东深圳·期中）在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题． (1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______； (2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长； (3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，20 【分析】（1）根据题意可得四边形是正方形，由勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，进而得到，再根据折叠性质即可求解； （3）先根据题意证明是菱形，当重叠四边形顶点Q，N与矩形顶点重合时，则其周长最大，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：四边形是正方形， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，分别为，的中点， ∴， ∴，， 又由折叠可知， ，， ， ∴； （3）解：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形是平行四边形， 过点Q作，，如图， ∵， ∴， ∴， 四边形是菱形， 当重叠四边形顶点Q，N与矩形顶点重合时，如图，则其周长最大， 设，则，， 由勾股定理得：，解得：， 重叠四边形周长的最大值是20； 题型二 利用正方形的性质与判定求角度大小 1.如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（    ） A．45° B．50° C．60° D．不确定 【答案】A 【分析】过点作，，垂足分别为．证明，然后得到，易得答案. 【详解】解：如图所示，过点作，，垂足分别为． ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选A． 2.（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，再求出，根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在正方形中，，， ， ． 3.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】/22.5度 【分析】利用正方形的性质得到，，从而证得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得，最后利用角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分， ∴． 4.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的外角性质． 根据正方形的性质求得，根据三角形的外角性质求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，点在对角线上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 5.如图，已知正方形是正方形内一点，若，将绕点B顺时针旋转至处，此时点三点在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，旋转角为，则，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，，再求出，，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点顺时针旋转至处， ∴，旋转角为， ∴， ∴， ∵点三点在同一直线上， ∴． （2）解：由（1）已得：，，，， ∴，，， ∴，， ∴在中，． 题型三 与正方形有关的动点问题 1.如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过（    ）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】首先过点F作FQ⊥CD于点Q，证明△ADE≌△EQF，进而得出AD=EQ，得出当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥10进而求出即可． 【详解】解：过点F作FQ⊥CD于点Q， ∵在正方形AEFG中，∠AEF=90°，AE=EF， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠DAE+∠1=90°， ∴∠DAE=∠2， 在△ADE和△EQF中， ∴△ADE≌△EQF（AAS）， ∴AD=EQ=4， 当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时,此时时间为t,则有DQ+CM≥10， ∴t+4+2t≥10， 解得：t≥2， 故当经过2秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点． 故选：A． 2.（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（   ）秒时，四边形ABPQ为矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据四边形ABPQ为矩形时，AQ＝BP，利用距离=速度×时间列方程求出t值即可得答案. 【详解】设动点的运动时间为t秒， ∵四边形ABPQ为矩形， ∴AQ=BP， ∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s， ∴15﹣t＝2t． 解得：t＝5． 故选C． 3.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5厘米，AD=BC=4厘米． 动点P从A出发，以1厘米/秒的速度沿A→B运动，到B点停止运动；同时点Q从C点出发，以2厘米/秒的速度沿C→B→A运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒(t > 0)，当t= 时，S△ADP=S△BQD． 【答案】s或4s 【分析】分两种情况：（1）当点Q在CB上时，如图1所示，（2）当点Q运动至BA上时，如图2所示，分别根据三角形的面积公式即可列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：分两种情况：（1）当点Q在CB上时，如图1所示： S△ADP＝AD×AP＝2t，S△BQD＝BQ×DC＝（4﹣2t）， 则2t＝（4﹣2t），解得：t＝； （2）当点Q运动至BA上时，如图2所示： S△ADP＝AD×AP＝2t，S△BQD＝BQ×DA＝2（2t﹣4）， 则2t＝2（2t﹣4），解得：t＝4； 综上可得：当t＝s或4s时，S△ADP＝S△BQD． 故答案为：s或4s． 4.如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【分析】连接，由三角形的中位线性质可知，，所以要使最大，只要达到最大即可，当与重合时，达到最大，这样即可求解本题． 【详解】解：如图，连接，， 正方形的面积为， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， 当有最大值时，有最大值， 点是边上的动点， 当点与点重合时，有最大值为， 的最大值为． 5.综合与探究 如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．    (1)当运动停止时，的值为______． (2)当为何值时，点重合？ (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）分别计算停止运动的时间，再比较即可得出结论； （2）、两点重合，即，联立方程解答即可； （3）把、两点分两种情况讨论，点在点的左侧或点在点的右侧，进一步利用平行四边形的性质联立方程解答即可． 【详解】（1）当点到达点时，，解得： 当点到达点时，，解得： 当点到达点时，，解得： 当点到达点时，，解得： ∵当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动， ∴ 故答案为： （2）解：当点与点重合时，由，得 、（舍去） 所以时点与点重合． （3）因为当点到达点时，，解得： 此时点和点还未相遇，所以点只能在点的左侧， ①如图1，当点在点的左侧时，由，解得（舍去），； 故当时四边形是平行四边形；    ②如图2，当点在点的右侧时，由，解得或（舍去）； 故当时四边形是平行四边形；    综上：当或时四边形是平行四边形． 题型四 与正方形有关的折叠问题 1.（25-26九年级下·重庆·月考）如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ∴， 在正方形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，即， ∵和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离相等， 设点G到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴△的面积为． 2.（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 3.如图，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查正方形中的折叠问题，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作于P，连接，易得四边形是矩形，证明，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴，， 由翻折知，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9． 4.（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 5.（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 题型五 与正方形有关的综合应用 1.如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF=CE = AE =AF，则证明结论①正确；设DF=x，故DF= BE =x，在Rt△ADF中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F作FH⊥AB于点H，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF的长，则可推出结论③正确；由DF=BE可知阴影部分的面积为矩形ABCD面积的一半与△CGF面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠AEF=∠CFE， 由折叠性质可知：AE=CE，AF=CF，∠AEF=∠CEF， ∴∠CFE =∠CEF， ∴CF=CE， ∴CF=CE = AE =AF， ∴四边形是菱形；故①正确； ∵四边形是菱形， ∴CF =AE， ∵四边形是矩形，，， ∴AB =CD=4，∠D=90°， ∴AB-CF =CD-AE， 即DF=BE， 设DF=x，则CF = AF=4-x， 在Rt△ADF中， DF2+AD2= AF2， 即x2+22=（4-x）2 解得x=1.5， 即的长是1.5；故②正确； 过点F作FH⊥AB于点H， ∴四边形是矩形， ∴FH=AD=2，AH=DF=1.5， ∵AE=AB-BE=2.5， ∴HE=AE-AH=1， 由勾股定理得；故③正确； ∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=， ∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF， =S矩形ABCD+S△CGF， =AB•AD+CG•GF， =×4×2+×2×， =4+ =；故④正确． 故选：D． 2.如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④ 【答案】B 【解析】①如图，过E作EM⊥BC于点M，过E作EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形；故①正确； ②当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故②错误； ③由①知：DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， 故③正确； ④∵AB＝BC＝3，∠B＝90°， ∴ACAB6， ∴AC＝AE+CE＝CG+CE＝6． 故④正确； 故选：B． 3.图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 5.（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． (1)当为多少度时，四边形为正方形？ (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，正方形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据等边对等角，结合正方形的判定方法，进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出和的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为正方形； （2）在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 1.如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．先根据折叠的性质得到，设，再根据正方形的性质和勾股定理得到，，即可得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：连接，， 由折叠得四边形和四边形关于直线对称， ∴． 设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴在中，，在中，， ， ， 即， 解得，即． 故选：B 2.如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】连接，交于H点，如图，利用基本作图得到垂直平分，先根据正方形的性质得到，所以，然后根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：连接，交于H点，如图，根据作法得垂直平分， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 3.如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，从而得到，，，进而判断出为等腰直角三角形，求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 是由旋转得到的， ， ，，， 点在上， ， 是等腰直角三角形， ， ． 4.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则_______． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图： ， ， 、， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， 设，则、， ， ， 解得， ， 故答案为：15． 5.（25-26九年级上·全国·期末）如图，点为正方形内一点，连接、，，以为边向上作正方形，恰好经过点，连接、．若，，则的面积为______． 【答案】54 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作于点，根据正方形的性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得到，再证明，得到，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：54． 6.如图，正方形的边在正六边形的边上，则 度．    【答案】 【分析】本题考查多边形内角和，以及正方形性质，根据边形内角和为，求出正六边形的内角和，算出，再结合正方形性质根据，即可解题． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 7.如图，和都是正方形，且正方形的边长为．    (1)若正方形的边长为，求图中阴影部分的面积； (2)若正方形的边长未知，你能否求出图中阴影部分的面积？若能，请求出来；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于梯形的面积加上正方形的面积减去的面积再减去的面积，从而列出算式求解． （2）设正方形的边长为，然后按照第一小问的方法列出代数式并化简，结果中不含有的项，从而求解． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解：能，设正方形的边长为， ， ， ． 8.如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，求长． 【答案】 【分析】连接，首先结合正方形性质可证得，推出为等腰直角三角形，结合，推出为等腰直角三角形，，再证明，设，得，，然后在中，根据勾股定理求出正方形的边长，最后在中，根据勾股定理求出长，即可求出长． 【详解】解：连接、、， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵设， 又∵，， ∴，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴，，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴． 9.（25-26八年级下·全国·期中）正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，是对角线上一点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连． (1)如图①所示，求证：矩形是正方形． (2)将（1）中正方形顶点沿着平移，顶点落在延长线上时，如图②所示．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】（1）过点分别作于点，于点，证明，得到，即可得证； （2）证明△DAE≌△DCG，即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：如图，过点分别作于点，于点， 则． ∵四边形是正方形， ，平分， ， ∴四边形为正方形， ． ∵四边形为矩形， ， ． 又，， ， ， ∴矩形是正方形． （2）．理由如下： 由（1）可知，矩形是正方形， ，． ∵四边形是正方形， ，， ，， ， ． ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.3正方形 题型一正方形的定义及性质 A基础达标题 题型二正方形的判定 题型三求正方形的周长和面积 题型一利用正方形的性质与判定求线段长 题型二利用正方形的性质与判定求角度大小 正方形 B能力提升题 题型三 与正方形有关的动点问题 题型四与正方形有关的折叠问题 题型五与正方形有关的综合应用 C拓展培优题 A 基础达标题 题型一正方形的定义及性质 1.B. 2.A. 3.8. 4.7. 5.(1)证明：连接AG, :四边形ABCD和四边形AMEF都是全等的正方形， ∴AD=AM,∠D=∠M=90o, 在Rt△ADG和Rt△AMG中， (AD =AM, LAG-AG .Rt△ADG≌Rt△AMG(HL), ·DG=MG; 1/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知：△ADG兰△AMG, ∴LDAG=∠MAG=∠DAM, :四边形ABCD和四边形AMEF都是全等的正方形， AB=AM,∠B=∠AMP=90o，∠BAD=90°， 在Rt△ABP和Rt△AMP中， (AB=AM, LAP=AP ·Rt△ABP≌Rt△AMP(HL), LBAP=MAP=BAM'BP=MP. ·∠GAP=MAG+∠MAP =吉LDAM+∠BAM =吉(LDAM+LBAM) =吉LBAD =克×90 =45°， ·∠PAG的度数为45°； (3)设PG=X, 正方形ABCD的边长为3，DG=1, ∴.CG=CD-DG=3-1=2,GM=DG=1,∠C=90°， ..BP=PM=PG-GM=x-1, ∴.CP=BC-BP=3-(x-1)=4-x, 在Rt△CGP中，PG2=CG2+CP2, x2=22+(4-x)2, 解得：x= 六PG= .AM=AB=3, SAAPG=PGAN=吉×号×3=， 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△APG的面积为15 题型二正方形的判定 1.C. 2.B. 3.①③. 4.A 5.证明：：DE⊥AB,DF⊥AC ·∠DEA=∠BED=90°，∠DFA=∠DFC=90°. 又：∠A=90°， ·四边形AEDF是矩形 :D是BC边的中点， ·BD=CD AB=AC, .∠B=∠C 又：∠BED=∠DFC=90°， ·△BED≌△CFD(AAS), ·DE=DF, :四边形AEDF是正方形. 题型三求正方形的周长和面积 1.C 2.B 3.36cm2· 4.=. 5.(1)解：SAADE-=ABAD=(a+b)a=a2+号b 故答案为：专a2+ab (2)解：由图可知，S△DHF=S△DE~S△HEF =EF.AE-EF.BE =(a+b)b-b2 =ab: (3)解：，点M是线段AE的中点， AM=EM=AE=岁， 六BM=AB-AM=a-岁=碧， 3/12 函学科风网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴S四边形CNEF=S△CBN十S梯形CBEF =BM·BC+(EF+BC)·BE =吉×碧×a+(a+b)·b =寺a2-ab+ab+b2 =a2+ab+b2: SAMEFT=MEEF=吉×岁×b=寸ab+b2, S△NFC=S四边形CMEF-S△MEF =1a2+ab+b2.(月ab+b2) =京a2+b2, b<a ∴…a-b>0, SAMRC-SADHR=a2+b2-ab=(a-b)2>0 ·S△MFC>SADHE D H MB B 能力提升题 题型一利用正方形的性质与判定求线段长 1.A. 2 3.2 5.(1)解：由题意得：四边形ADFE是正方形， AD=6, DE=VAD2+AE2=6V2 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：62： (2)解：：H,G分别为BC,AD的中点， AG=DG=克AD=DF ∴·∠GFD=30°，∠GDF=60°， 又由折叠可知∠ADE=∠FDE=30°， DE=2AE AD=3AE=6' AE=2V3 DE=45: (3)解：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，则四边形PQMN是平行四边形， 过点Q作QL⊥NP,QK⊥NM,如图， KM .'QL=QK, .SMNPO=PN.QL=MN·QK, .MN=NP, ·四边形PQMN是菱形， 当重叠四边形PQMN顶点Q,N与矩形顶项点重合时，如图，则其周长最大， 设MN=MQ=x,则MG=9-x,QG=3, 由勾股定理得：(9-x+32=x2解得：x=5, :重叠四边形PQMN周长的最大值是20： 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二利用正方形的性质与判定求角度大小 1.A. 2.C 3.22.5°. 4.105: 5.(1)解：，四边形ABCD是正方形， ·AB=BC,∠ABC=90°， ,△BPA绕点B顺时针旋转至△BEC处， ·△BPA兰△BEC,旋转角为∠PBE=∠ABC=90°， ·BP=BE, ∠BPE=∠BEP=180PE=450, 2 ,点AP,E三点在同一直线上， ·∠APB=180°-∠BPE=135°· (2)解：由(1)已得：△BPA兰△BEC,∠BEP=45°，∠APB=135°，∠PBE=90°， EC=PA=2 BE=PB=2 ZBEC=ZAPB=135 ∴PE2=BE2+PB2=8'LPEC=LBEC-LBEP=90°， 在Rt△CEP中， PC=VPB2+CE2=V8+(2)3=10 题型三与正方形有关的动点问题 1.A. 2.C. 3.10s或4s. 422 5.(1)当N点到达A点时，x2=24,解得：x=2V6 当P点到达D点时，2x=24,解得：x=12 当Q点到达C点时，x=24,解得：X=24 当M点到达B点时，3x=24,解得：x=8 ,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动， x=26 故答案为：x=2V6 (2)解：当点P与点N重合时，由x2+2x=24,得 x1=4、2=-6(舍去) 所以x=4时点P与点N重合。 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)因为当N点到达A点时，x2=24,解得：x=26 :此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧， ①如图1，当点P在点N的左侧时，由24-(x+3x)=24-(2x+x习，解得x1=0（舍去)，2=2： 故当x=2时四边形PQMN是平行四边形； D B O M 图1 ②如图2，当点P在点N的右侧时，由24-(x+3x)=(2x+x网)-24，解得x=-3+V57或3-V57（舍 去) 故当x=-3+V57时四边形NQMP是平行四边形： D M 图2 综上：当x=2或-3+V57时四边形NQMP是平行四边形， 题型四与正方形有关的折叠问题 1.C 2.B 3.9. 4.6cm2. 5.(I)解：由折叠得∠CDE=∠FDE,DC=DF, ,四边形ABCD是正方形 ·∠C=∠DFE=90°=∠DFG,AD=CD=DF, ∴在Rt△ADG和Rt△FDG中， (DG=DG, AD=FD :Rt△ADG≌Rt△FDG(HL), 7/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠DAG=∠FDG, 又：∠FDE=∠CDE :∠ADC=2LFDE+2∠FDG=90°， :∠FDE+∠FDG=45°， ·∠GDE=45°： (2)解：Rt△ADG≌Rt△FDG, 设AG=FG=x,GB=10-X, BE=3CE ·CB=CE+BE=4CE=10 :CE=号=ER,BE=罗，GE=号+x 在Rt△GBE中，GB2+BE2=GE2 10-x2+()2=(侵+x2 100+x2-20x+25=9+x2+5x ÷X=6, AG=6 题型五与正方形有关的综合应用 1.D. 2.B. 3.跌· 4.20 5.(1)解：当∠BCE=22.5时，四边形ABCD为正方形，理由如下： ,矩形ABCD, ∴.∠DCB=90°，D0=OC=OB=OA,CD=AB, :∠BCE=22.5°， .∠DCE=90°-22.5°=67.5°， .'DE=AB' .DE=CD, ·∠DCE=∠DEC=67.5o, ·∠CDE=180°-2×67.5°=45°， 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,D0=0C .∠0CD=∠0DC=45°， ∴∠C0D=90°，即：AC⊥BD, ∴.四边形ABCD为正方形； (2)在Rt△BCD中，∠BDC=30,BD=2N5+2' 六BC=BD=5+1'cD=5BC=3(V5+1)=3+5 DE=CD=3+V3 "0B=0D=BD=V5+1' 0B=DB-0D=3+V3-V3-1=2 拓展培优题 1.B 2.D 3.B. 4.15. 5.54. 6.30: 7.(1)解：S阴影=S棉形ABED十S正方形DEFG-S△AGB-S△EFG' =(3+10)×3×吉+10×10-(3+10)×3×克-10×10×： =50cm2. (2)解：能，设正方形ABCD的边长为xCm, S阴影=S梯形ABED十S正方形DEFG-S△AGB-S△EFG' =(x+10)×x×专+10×10-(x+10)×x×吉-10×10×， =50cm2. 8.解：连接AF、AEEN, 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,正方形ABCD, ∴·∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°，AD=AB=BC=CD, ∴·∠ABC=∠ADC=∠ADF, :在△ABE和△ADF中， AB=AD ∠ABC=∠ADF ABE-DF .△ABE≌△ADF(SAS), ·∠BAE=∠DAF,AE=AF, :∠BAD=BAE+LDAE=90, ·∠EAF=∠DAF+∠DAE=90°， ·△AEF为等腰直角三角形， ∴.∠AEM=∠AFM=45°， ,AN⊥EF ·∠MAE=∠FAM=45°， ∴.△MAE、△FAM为等腰直角三角形， AM=ME=MF=FE ,在△NME和△NMF中， (ME-MF ∠NME=∠NMF MN-MN ·△NME≌△NMF(SAS), .NE=FN. 设BC=CD=a, 又，BE=DF=5,CN=8, ..EC=a-5,EN=FN=DN+FD=a-8+5=a-3, ,在Rt△ECN中，∠BCD=90°， ∴根据勾股定理，EN2=CN2+EC2,即(a-3)2=82+(a-5)2, 解得：a=20, ..EC=15,FN=17,FC=FN+CN=25, 10/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,在Rt△FCE中，∠BCD=90°， ∴根据勾股定理，FE2=FC2+EC2,即FB2=252+152=850, 解得：FE=5V34' 'AM-5 9.(I)解：证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N, D BMF 则∠ENC=∠END=LEMC=90°· ,四边形ABCD是正方形， ÷∠BCD=90°，AC平分∠BCD, :EM=EN, .四边形EMCN为正方形， ·∠MEN=∠MEF+∠FEN=90o. 四边形DEFG为矩形， ·∠DEF=∠NED+∠FEN=90o, ·∠MEF=∠NED: 又：EM=EN,∠EMF=∠END=90°， ·△EMF≌△END(ASA), ·EF=ED, 矩形EFGD是正方形. (2)cG+EC=V2CD:理由如下： 由(1)可知，矩形EFGD是正方形， ·DE=DG,∠EDG=90o· ,四边形ABCD是正方形， ·AD=CD,∠ADC=90°， 11/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠ADE=∠CDG=90°-LCDE,AC=V2CD' ·△DAE≌△DCG(SAS), ·AE=CG AE+EC=AC, .CG+EC=2CD 12/12 18.3正方形 题型一 正方形的定义及性质 1.（24-25八年级下·河北保定·期末）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 2.（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，点E，F，G，H分别在，，，边上，且四边形是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为 ． 4.如图，正方形的面积为15，的斜边的长为8，则的长为_____． 5.把两个全等的正方形和正方形按如图1的位置摆放，交于； (1)求证：； (2)如图2，延长交线段于点，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，若正方形的边长为，，求的面积． 题型二 正方形的判定 1.（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，已知四边形的对角线，相交于点，则下列能判定四边形是正方形的条件是（    ） A． B． C．， D．， 2. 如图，将一个矩形对折两次，沿着图中的虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，则剪切线与折痕所夹的大小为（）      A． B． C． D． 3.如图，在中，是的中点，点在边上运动（点不与重合），且保持连接．有下列结论： ①是等腰直角三角形 ②四边形不可能为正方形； ③在运动过程中，总有成立； ④四边形的面积随点的运动而发生变化． 其中正确结论的序号是 ． 4.如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 5.（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 题型三 求正方形的周长和面积 1.（25-26八年级下·北京·课后作业）正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 2.（25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 3.（25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________． 4.两个正方形按如图1和图2所示两种方式摆放，大正方形的边长是4，小正方形的边长是2，图1中两阴影部分的面积差记为（），图2中两阴影部分的差记为（），则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 5.（2024八年级·四川宜宾·阶段练习）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为，点G在边上，点E在边的延长线上，交边于点H．连接、． (1)填空：用a，b表示的面积 （写出化简后结果）； (2)用a，b表示的面积，并化简； (3)如图2，若点M是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）． 题型一 利用正方形的性质与判定求线段长 1.在正方形中，，，，则点、之间的距离是（    ） A． B． C．5 D．6 2.（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形中，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，点为的中点，的延长线与交于点，若，则的长为___________． 3.如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，．则点P到直线的距离为 ． 4.（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形的边长为9，E是的中点，垂直平分且分别交，于点F，G，则的长为______________． 5.（23-24八年级下·广东深圳·期中）在长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题． (1)如图（1），折痕为，点A的对应点F在上，折痕的长是______； (2)如图（2），H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，求折痕的长； (3)如图（3），在图（2）中，把长方形沿着剪开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合，使得重叠部分是四边形，重叠四边形的周长是否存在最大值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由． 题型二 利用正方形的性质与判定求角度大小 1.如图，是正方形的边上的一个动点，的垂直平分线交对角线于点，交于点，连接，，则的度数是（    ） A．45° B．50° C．60° D．不确定 2.（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点E，则______． 4.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，点在对角线上，过点作于点，连接，若，则的度数为______． 5.如图，已知正方形是正方形内一点，若，将绕点B顺时针旋转至处，此时点三点在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长． 题型三 与正方形有关的动点问题 1.如图，矩形中，，点从D向C以每秒1个单位的速度运动，以为一边在的右下方作正方形．同时垂直于的直线也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过（    ）秒时，直线和正方形开始有公共点 A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2.（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t＝（   ）秒时，四边形ABPQ为矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 3.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5厘米，AD=BC=4厘米． 动点P从A出发，以1厘米/秒的速度沿A→B运动，到B点停止运动；同时点Q从C点出发，以2厘米/秒的速度沿C→B→A运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒(t > 0)，当t= 时，S△ADP=S△BQD． 4.如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 5.综合与探究 如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．    (1)当运动停止时，的值为______． (2)当为何值时，点重合？ (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 题型四 与正方形有关的折叠问题 1.（25-26九年级下·重庆·月考）如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 3.如图，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，则 ． 4.（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为 ． 5.（25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 题型五 与正方形有关的综合应用 1.如图，在矩形片中，边，，将矩形片沿折叠，使点A与点C重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形是菱形；②的长是1.5；③的长为；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论：①矩形DEFG是正方形；②CE＝CF；③AE＝CG；④CE+CG＝6．其中结论正确的序号有（　　） A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.②④ 3.图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为 ． 4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 5.（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． (1)当为多少度时，四边形为正方形？ (2)若，，求的长． 1.如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．4 2.如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3.如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则_______． 5.（25-26九年级上·全国·期末）如图，点为正方形内一点，连接、，，以为边向上作正方形，恰好经过点，连接、．若，，则的面积为______． 6.如图，正方形的边在正六边形的边上，则 度．    7.如图，和都是正方形，且正方形的边长为．    (1)若正方形的边长为，求图中阴影部分的面积； (2)若正方形的边长未知，你能否求出图中阴影部分的面积？若能，请求出来；若不能，请说明理由． 8.如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，求长． 9.（25-26八年级下·全国·期中）正方形是所有四边形中性质最为丰富的，尤其是对角线，相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．如果我们把两个正方形按照一定的方式放在一起，会发现一些很有趣的结论．已知正方形，是对角线上一点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连． (1)如图①所示，求证：矩形是正方形． (2)将（1）中正方形顶点沿着平移，顶点落在延长线上时，如图②所示．试探究，，的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $