高效同步练习17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（沪科版·新教材）

高效同步练习17.4一元 知识点①一元二次方程的根与系数的关系 1.（4分)已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两 个根为x1,x2,下列结论正确的是() A+西2=2 B.x1·x2=1 C.x1,x2都是有理数 D.x1,x2都是正数 2.[教材例题变式](4分)已知方程x2-5x+3=0 的两个解分别为x1,x2,则x1+x2-x1x2的值 为() A.-8 B.-2 C.8 D.2 3.（4分)已知m,n是关于x的一元二次方程x2 -3x-2=0的两个根，则(m-1)(n-1)的值 为() A.2 B.0 C.-4 D.-5 4.(5分)若axB是方程x2+2x-2005=0的两个 实数根，则a2+3+B的值为 5.(12分)不解方程，求下列各方程的两根之和 与两根之积 (1)x2+3x+1=0; (2)3x2-2x-1=0; (3)2x2+6x+4=0. 25分钟同步练习，精炼高效抓 二次方程的根与系数的关系 知识点②一元二次方程的根与系数的关系的 应用 6.(4分)已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个 根分别为2和3，则b,c的值分别为() A.5,6 B.-5,-6 C.5,-6 D.-5,6 7.(（4分)已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b =0的两根，且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值 分别是( ） A.a=-3,b=1 B.a=3,b=1 3 3 C.a=-2,b=-1 D.a=-2b=1 8.学习情境·错解问题(5分)在解一元二次方 程x2+px+q=0时，小红看错了常数项，得到方 程的两个根是-3,1.小明看错了一次项系数， 得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程 是 9.(5分)若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x +m2-4=0有一个根为0，则另一个根 为 10.(8分)若x1,x2是一元二次方程2x2-3x-1= 0的两个根，求下列代数式的值， (1)(x1-x2)2; 1、 1 (2)(x1+)(x2+). X2 考点ZBK八年级数学下册 19 易错点利用根与系数的关系求字母的值时，忽 视△≥0致错 11.(8分)已知关于x的方程x2+2(m+2)x+m2- 5=0有两个实数根，且这两个根的平方和比 这两个根的积大16，求m的值. 第订章 12.(4分)关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1) =0有两个不相等的实数根x1,x2,且有x1- x1x2+x2=1-a,则a的值是( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.2 13.(5分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+ 3)x+m+1=0的两个实数根为x1,x2,且x,2+ x22=4,则m的值为 14.(8分)是否存在a的值，使方程x2+(a-2)x+ a2+4=0的两根互为相反数？若有，求出a 的值；若没有，说明理由。 20 25分钟同步练习，精炼高效抓 15.（10分)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x+ m+3=0的两个实数根. (1)求m的取值范围； (2)是否存在实数m,使得等式+1=m-3 1X2 成立？如果存在，请求出m的值；如果不存 在，请说明理由. 考点ZBK八年级数学下册根是3+万，3可 4 4 (2)先把士的系数变为1，即把原方程两边同除以子，得+ 30移项得+分=3配方，得242X 1. x+（=3+ (),即(x+)=投开平方，得x+=±子，所以原方程的 17 161 根是与子6-之 6C【解标】配方可得2-名+（经）2=（经）2-受，(-冬) (学营宁-号6=6做速C 7.D8.C 9.A【解析】由题意，得P-Q=m2-m-(m-2)=m2-2m+2=(m- 1)2+1>0,∴.P>Q.故选A. 10.B 11.19或21或23【解析】.x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5,三 边为9,9,3时，周长9×2+3=21；三边为9,3,3时，不满足三边 关系；三边为9,9,5时，周长9×2+5=23；三边为5,5,9时，周 长5×2+9=19；故该等腰三角形的周长为19或21或23. 高效同步练习17.2.2公式法 1.D2.A3.D 3 4.解：(1).a= ,6=4,c=-1.62-4ac=4-4x2×(-1)=22> 33 3，4+22 0,代人求根公式，得x=4牡22-4牡22 3 2 专422 (2)将方程化为一般形式，得6x2-3x-4=0,a=6,b=-3,c=-4, b2-4c=(-3)2-4×6×(-4)=105>0,代入求根公式，得x= 2×6 124=3405○ 3±√105_3±√105. 243v105 12 (3)a=3,b=6,c=-1,.62-4ac=62-4×3×(-1)=48>0,代入 求根公式，得-342与-1+5南-1 2×3 5c61-I7 2 7.解：(1)第三步 (2)a=1,b=-4,c=-2,.b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24>0, x=4牡② 2 ,∴.x1=2+√6，x2=2-√6 高效同步练习17.2.3因式分解法 1.B2.A3.B4.0 5.2【解析】设x2+y2=z,原方程化为(z+1)(z+3)=15,即z2+4z- 12=0.解得1=2,2=-6（不符合题意，舍），所以x2+y2=2. 6.解：(1)把方程左边分解因式，得3x(x-2)=0.因此，有3x=0或 x-2=0.解方程，得x1=0,x2=2; (2)方程化为一般形式，得2x2-x=0.把方程左边分解因式，得 x(2x-1)=0.因此，有x=0或2x-1=0.解方程，得x1=0,x2= 1 2 7.解：任务一：V×V 任务二：原方程可以变形为(x+1)(x+5)-6(x+5)=0.将方程 左边分解因式，得(x+5)(x+1-6)=0.因此，有x+5=0或x+1- 6=0.解方程，得x1=-5,x2=5. 8.B 9.C【解析】.k<b,解方程，得k=-3,b=1,∴.函数y=kx+b的图 象经过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选C 10.(x-2)(x+3) 11.解：设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0,因式分解得(a- 3)(a+2)=0,解得a1=3,a2=-2.a≥0，.a=-2舍去，则a= 同步练习，精炼高效抓考 3,x2=3,x1=5,x2=-3 12.解：(1)x2+5x+6=0,方程左边因式分解得(x+2)(x+3)=0.所 以x+2=0或x+3=0.得x1=-2,x2=-3; (2)x2-6x-7=0,方程左边因式分解，得(x+1)(x-7)=0.所以 x+1=0或x-7=0.得x1=-1,x2=7. 高效同步练习17.3一元二次方程根的判别式 1.A2.-13.C4.B 5.解：(1)原方程变形为16x2+8x+3=0,因为△=82-4×16×3= -128<0,所以原方程没有实数根； (2)原方程变形为3x2-5x+3=0,因为4=(-5)2-4×3×3=-11< 0,所以原方程没有实数根； (3)原方程变形为2x2-5x+3=0,因为△=(-5)2-4×2×3=1>0， 所以原方程有两个不相等的实数根. 6.D7.D8.A 9解：(1)由题意，得4=72-4(11-m)≥0，解得m≥-5 4 (2):m为负整数，∴.m=-1,此时方程为x2+7x+12=0,解得x =-3,x2=-4. 10.k≤4且k≠2【解析】由题意，得△≥0且k-2≠0，即42-4(k 2)×2≥0且k-2≠0，解得k≤4且k≠2. 11.D12.A13.C 14.1或-9【解析】解方程x2-2x=0,得：x1=0,x2=2.①若x=0 是两个方程相同的实数根.将x=0代入方程x2+3x+m-1=0, 得m-1=0,∴.m=1,此时原方程为x2+3x=0.解得x1=0,x2= -3,符合题意，∴.m=1;②若x=2是两个方程相同的实数根 将x=2代入方程x2+3x+m-1=0,得4+6+m-1=0,∴.m=-9. 此时原方程为x2+3x-10=0.解得x1=2,x2=-5,符合题意， m=-9.综上所述：m的值为1或-9. 15.解：(1)由题意，得△=m2-4n=0,∴.n= 4m2; (2)①.·方程有两个不相等的实数根，且m=-4,.△=(-4)2- 4n>0,解得n<4,∴.n的取值范围为n<4: ②.'n<4,∴.n可以是3，此时方程为x2-4x+3=0,(x-3)(x-1) =0,解得x1=3,x2=1.（答案不唯一) 16.(1)证明：.△=[-(k+3)]2-4×1×(4k-4)=k2-10k+25=(k 5)2≥0，∴.无论k取何值，此方程总有实数根； (2)解：当a为腰时，将x=3代入原方程得：32-3(k+3)+4k-4 =0,解得k=4,.原方程为x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4, 3,3,4可以组成三角形，∴.这个等腰三角形的周长为3+3+4= 10;当a为底时，△=(k-5)2=0,解得k=5,原方程为x2-8x+ 16=0,解得x1=x2=4,3,4,4可以组成三角形，∴这个等腰 三角形的周长为3+4+4=11.综上所述，这个等腰三角形的周 长为10或11. 高效同步练习17.4一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.D 3.C【解析】由题意得m+n=3,mm=-2,则(m-1)(n-1)=mn （m+n)+1=-2-3+1=-4.故选C. 4.2003【解析】a+3a+B=a2+2a+(a+β)=2005+(-2)=2003. 2 5.解：(1)x1+x2=-3x1x2=1(2)x1+x2=3x1=-3 (3)x1+x2=-3x1x2=2 6.D7.D 8.x2+2x-20=0【解析】设此方程的两个根为α，B,由题意得α+B =-p=-2,B=q=-20,则以a、B为根的一元二次方程是x2+2x- 20=0. 9.4 10解：1()2=(+)2-4=(P-4(宁= 9 +2 17 4 )=名书+1+1+1 1 (2)(x1+)(x2+ 1 1 22+ 1 2 （2) 11解：根据题意，得4=4(m+2)2-4(m2-5)≥0，解得m≥9 4 设方程两根为a、b,则a+b=-2(m+2),ab=m2-5..a2+b2=ab +16,.（a+b)2-3ab-16=0.∴.4(m+2)2-3(m2-5)-16=0.整 ZBK八年级数学下册 71 理，得m2+16m+15=0,解得m=-1,m,=-15.m≥-9 m 的值为-1. 12.B【解析】.△>0，∴.（-3a-1)2-4a·2(a+1)>0,（a-1)2>0. .a≠1，x1-x1x2+x2=1-a,.x1+x2-x1x2= 3a+12(a+1)=1 -a,a2=1,a=±1，a≠1，.a=-1.故选B. 13.-1或-3【解析】.△=(m+3)2-4×1×(m+1)=(m+1)2+4≥ 4,m为任意实数.x号+x号=(x1+x2)2-2x1x2=4,(-m-3)2 2(m+1)=4,(m+2)2=1,.m1=-1,m2=-3. 14.解：不存在.由题可知x,tx2=0,则x1+x2=-(a-2)=0,解得a =2..b2-4ac=(a-2)2-4(a2+4)=0-32=-32,.∴.△<0，则方程 无实数根，∴.不存在α的值，使方程的两根互为相反数. 15.解：(1)x1x2是方程x2-2x+m+3=0的两个实数根，.△=b -4ac=(-2)2-4×1×(m+3)≥0，解得m≤-2； (2)存在实数m,使得等式1+1 =m-3成立.理由：x1、x2 是方程x2-2x+m+3=0的两个实数根，∴.x1+x2=2,x1x2=m+3. …11 =m-3小1+1-。 2 X1 %2 名名名m+3m-3.解得m= ±√1.：m≤-2，.m=-√T(符合)，m=√I(舍去).即存 在实数m,使得等式1+1 =m-3成立，此时m=-√11】 高效同步练习17.5一元二次方程的应用 第1课时一元二次方程的应用1 1.A2.1 3.解：(1)设AB的长为x米，依题意，得x(34+2-3x)=96.解得x1 =4,x2=8.故当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面 积为96平方米： (2)不能.理由如下：假设长方形ABCD的面积是110平方米， 依题意，得x(34+2-3x)=110.即3x2-36x+110=0..·△= （-36)2-4×3×110=-24<0,∴.该一元二次方程无实数根，.假 设不成立，∴.长方形ABCD的面积不能为110平方米. 4.A5.(1+x)2=6 6.20%【解析】设这两年的年平均亩产量增长率为x,由题意得 700(1+x)2=1008,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍 去)..这两年的年平均亩产量的增长率为20% 7.解：设AB=xm,则BC=(50-4x)m,依题意，得x(50-4x)=150. 15 整理，得2-25x+75=0.解得=5，=气当x=5时，50-4r =50-4x5=30>25,不合题意，舍去：当x=1】5时，50-4x=50-4× =20<25,符合题意.故AB的长为15 15 2 m 8.C9.D10.17 11.解：(1)设接待人数的月平均增长率是x,依题意，得256(1+ x)2=576.解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意，舍去).故 接待人数的月平均增长率是50%： (2)能，理由：576×(1+50%)=864（人），864<1000，∴.能够正 常接待。 第2课时一元二次方程的应用2 1.18cm【解析】设原铁皮的边长为xcm,依题意列方程得(x-2× 4)2×4=400,即(x-8)2=100.所以x1=18,x2=-2(舍去).故原 铁皮的边长为18cm. 2.解：设这张长方形纸板的长为5x厘米，所以宽为2x厘米，由题 意，得(5x-10)(2x-10)·5=200,解得：x1=6,x2=1,.当x=1 时，宽为2x-10=2×1-10=-8(厘米)，不符合实际，舍去，∴x= 6,5x=30.答：长方形纸板的长为30cm. 3.6 4.D【解析】设个位数字为x,则十位上的数字是(x+2),根据题 意得x(x+2)+40=10(x+2)+x,整理，得x2-9x+20=0,即(x-4) (x-5)=0,解得x1=4,x2=5,当x1=4时，x+2=6,这个两位数 是64；当x1=5时，x+2=7,这个两位数是75.所以，这两位数是 64或75.故选D. 5.5 6.解：设每台扫地机器人的定价为x元，则每台的销售利润为(x- 1200)元，平均每天能售出(12+15c0-x6)台，根据题意得：（x 50 72 同步练习，精炼高效抓考 1200)(12+1500-x 50×6)=4800,整理得：x2-2800x+196000=0, 解得：x,=x2=1400.答：每台扫地机器人的定价应为1400元. 7.B【解析】设此长方体箱子的底面宽为x米，则长为(x+2)米 依题意得：x(x+2)=15,整理得：x2+2x-15=0,解得：x1=3,x2= -5(不合题意，舍去)，∴.20(x+2+2)(x+2)=20×(3+2+2)×(3+ 2)=20×7×5=700.故选B. 8.36【解析】设这位风流人物去世的年龄十位数字为x,则个位 数字为x+3,则根据题意：10x+(x+3)=（x+3)2,整理得：x2-5x+ 6=0,解得x1=2,x2=3,由题意，而立之年，则x=2舍去，.这位 风流人物去世的年龄为36岁」 9解：(1)设甲队计划x天到达目的地，由题意得.120-1.160 2 x-2 解得x=6,经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，∴x-2=4, 答：甲队计划6天到达目的地，则乙队计划4天到达目的地； (2)由题意得，135×4(m+8)+6(300-30m)(m+8)=17640,解 得m=6或m=-1(舍去)，所以m=6. 10.解：(1)(100-8-60)(20+2×8)=1152（元）.答：降价8元，则 每天销售T恤衫的利润为1152元. (2)由题意，设此时每件T恤衫降价x元，∴.（100-x-60)(20+ 2x)=1050,.x=5或x=25.又.优惠最大，.x=25..此时售 价为100-25=75（元）.答：小明希望每天获得的利润达到 1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75 元 (3)小明每天不能获得1200元的利润，理由如下：根据题意 得，当降价m元时，(100-m-60)(20+2m)=1200,∴.m2-30m+ 200=0,·m1=10,m2=20.:每件T恤衫的利润率不低于 55%,∴.100-m-60≥60×55%，解得m≤7，∴.m无解，∴.小明每 天不能获得1200元的利润. 追梦第17章章末复习 一元二次方程及其应用 1.B2.C3.C 4.B【解析】.关于x的一元二次方程ax2+bx-c=0的解是x1= 1,x2=-3,.方程a(x+3)2+b(x+3)-c=0的解为x+3=1或(x+ 3)=-3,.x1=-2,x2=-6.故选B. 5.C【解析】根据题意得k≠0且△=4-4k×(-2)≥0，解得k≥ -2且k≠0.故选C. 6.B【解析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3(x-1) 文，根据题意得：3x(x-1)=216,整理得：x2-x-72=0,解得：x1= 9,x2=-8(不符合题意，舍去)，∴.3(x-1)=3×(9-1)=24,∴.所 列方程为3x(x-1)=216,一株椽的价钱为24文，这批椽的数量 为9株.故选B. 7.C 8.x2+3x+1=0(答案不唯一) 9.2025【解析】小.x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，∴.12+a-b= 0,∴.b-a=1,∴.b-a+2024=1+2024=2025. 10.6或25 【解析】当4为底边时，腰为两根，则方程有两个相等 的实数根，∴.△=(-k)2-4×1×9=0,解得，k=±6，又.方程两根 之和为正数，∴.k>0,∴.k=6;当4为腰时，4-4h+9=0,解得k= 25 4 11.2【解析】设道路的宽度为xm,.（12-x)(8-x)=60,.x2- 20x+36=0,x1=2,2=18(舍去)），.道路的宽度为2m 12.解：(1)先把x2的系数变为1，即把原方程两边同除以2，得x 2=0.移项，得x+ 3 2 配方，得x2+ 2549 2- 2t 1616 即(+子产怨开平方，得 所以原方程的根是 16 4=±4 x=2x2=-3; (2).∵a=4,b=-23,c=-9,∴.b2-4ac=12-4×4×(-9)=156. 代入求根公式，得x=25±56-5±√39 2×4 4 3+√393-√39 4 一，x2= 4 13.(1)解：将x=5代入方程，得25-10k+k2-1=0,解得k=4或6； (2)证明：.△=（-2k)2-4(k2-1)=4>0,.不论k取何值，方 程总有两个不相等的实数根. ZBK八年级数学下册