高效同步练习19.3.2菱形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（沪科版·新教材）

高效同步练习 第1课时 知识点①菱形的性质 1.（4分)关于菱形的性质，以下说法不正确的 是() A.四条边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形 2.一图多变(4分)如下图，菱形ABCD的对角 线AC,BD的长分别为6和8，则这个菱形的 边长是() A.5 B.10 C.6 D.8 B4 第2题图 变式题图 变式(5分)如上图，在菱形ABCD中，AB= 13,AC=10,则0B的长为 3.（4分)菱形ABCD的边长为3，则菱形ABCD 的周长为() A.3 B.12 C.6 D.9 4.(4分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC =130°，则∠A0E的大小为() A.75° B.65 C.55 D.509 第4题图 第5题图 5.(4分)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F 分别是AB、AD的中点，若EF=2,则菱形的周 长为() A.4 B.8 C.16 D.32 变式(4分)已知菱形的周长为24cm,两邻 角之比为2：1.则较短的对角线的长 为 25分钟同步练习，精炼高效抓 19.3.2菱形 菱形的性质 6.(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于 点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE. (1)求证：BD=EC; (2)若∠E=50°，求∠BA0的大小 知识点②菱形的面积 7.(4分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O.若AC=2,BD=2,则菱形ABCD的面积 为() A.1 B.2 C.4 D.6 8.(5分)如图，四边形ABCD是菱 第19 形.点O是两条对角线的交点， 过O点的三条直线将菱形分成 A 阴影部分和空白部分，当菱形的两条对角线 的长分别为6和8时，阴影部分的面积 为 易错点)错误地运用菱形的面积公式导致错解 9.(4分)已知菱形的周长为40cm,一条对角线 长为16cm.那么这个菱形的面积为(） A.40 cm2 B.48 cm2 C.96 cm2 D.192cm2 考点ZBK八年级数学下册 49 10.(4分)下列性质中，菱形具有而矩形不一定 具有的是( ) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直 11.学科内部融合(4分)如图，在平面直角坐标 系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3,4)， 则顶点A,B的坐标分别是() A.(4,0),（7,4) B.(4,0),(8,4) C.(5,0),(7,4) D.(5,0),(8,4) 第11题图 第12题图 12.学习情境·动点探究(4分)如图所示，点P 是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一 个动点.点M,N分别是AB,BC边上的中点， 则MP+PN的最小值是() A B.2 C.1 D.√2 13.(5分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 章 交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知 B0=4,S菱形ABCD=24,则AH= 第13题图 变式题图 变式(5分)如图，四边形ABCD的对角线 AC,BD互相垂直，垂足为O,∠BAD=90°，AB =8,AD=6,若S四边形BcD=60,则0C 50 25分钟同步练习，精炼高效抓 14.(8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交 点，DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证：OE= BC. 15.(10分)如图，在菱形ABCD中，F是BC上任 意一点，连接AF,交对角线BD于点E,连接 EC. (1)求证：AE=EC; (2)当∠ABC=60°，∠CEF=60时，点F在线 段BC上的什么位置？并说明理由， 考点ZBK八年级数学下册 第2课时 知识点①有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.(4分)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD 相交于0，且互相平分，添加下列条件，能判定 四边形ABCD为菱形的是( A.OA=OC B.AB=AD 0 C.AC=BD D.∠BAD=∠ABC 知识点②四边都相等的四边形是菱形 2.（5分)如图，在∠MON的两边上分别截取 OA,OB,使OA=OB;再分别以点A,B为圆心， OA长为半径作弧，两弧交于点C;再连接AC, BC,AB,OC.能直接判定四边形AOBC是菱形 的依据是 B 3.(8分)如图，正五边形ABCDE的两条对角线 AC,BE相交于点F.求证：四边形CDEF为菱 形 25分钟同步练习，精炼高效 菱形的判定 知识点③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4.新考法·开放性试题(5分)如图，在四边形 ABCD中，AC⊥BD,垂足为O,AB=CD,要使四 边形ABCD为菱形，应添加的条件 是 (只需写出一个条件即可). 5.（5分)在平面直角坐标系中，四边形ABCD的 顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),C(3,0), D(0,-2),则四边形ABCD的形状 是 6.学习情境·问题讨论(8分)小惠自编一题：如 图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点 O,AC⊥BD,OB=OD,求证：四边形ABCD是菱 形，并将自己的证明过程与同学小洁交流， 小惠： 小洁： 证明：'AC⊥BD,OB=OD, 这个题目还缺 .AC垂直平分BD 少条件，需要 ∴.AB=AD,CB=CD, 补充一个条件 ∴.四边形ABCD是菱形， 才能证明. 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内画 “V”;若赞成小洁的说法，请你补充一个条 件，并证明。 考点ZBK八年级数学下册 51 易错点)对菱形的判定方法掌握不透致错 7.生产劳动情境·加工零件(4分)张师傅应客 户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前， 张师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的 检测结果，图中有可能不合格的零件 是( 2cm 2cm 2cm120 2cm A.60 B.<60 2cm 2cm 2cm 2c110 2cm120 C.<70 D.<60 60C 2cm 2cm 2cm 8.（4分)根据以下尺规作图痕迹，在一个平行四 边形内作出的四边形ABCD中，无法确定是菱 形的是() 9.新考法·开放性试题(5分)如图，四边形AB CD的对角线互相垂直且OB=OD.请你添加 一个适当的条件 使四边形ABCD成 章 为菱形.（只需添加一个即可） 第9题图 第10题图 10.(5分)将一个长为15cm,宽为12cm的矩形 纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到 如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的 连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形AB CD的面积为 52 25分钟同步练习，精炼高效抓 11.(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,交AD于 点E,交BC于点F,连接AF、CE (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AB=3,BC=4,求菱形AECF的周长 12.（10分)如图，在口ABCD中，对角线AC与 BD相交点O,过点O分别作AB和BC的垂 线，垂足分别为H,M (1)如图1，当OH=OM时，求证：四边形AB CD是菱形； (2)如图2，当∠ABC=90°时，若AB=OB,请 写出OH和OM的数量关系，并说明理由. M 图1 图2 考点ZBK八年级数学下册13.A【解析】：四边形ABCD是矩形，.OA=0B=0C=OD=1 BD=6.,∠B0C=120°=∠A0D,∴.∠0AD=∠0DA=30°，当 OP⊥AD时，OP有最小值，OP=2OD=3.故选A. 14.5【解析】.四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,AD=BC,AD∥ BC,LD=90°，.LAEB=∠EBC.:∠ABC的平分线交AD于 点E,∴.∠ABE=∠EBC,∴.∠AEB=∠ABE,∴.AE=AB=CD=4. .AE=4,BC=7,∴.AD=BC=7,∴.DE=AD-AE=7-4=3.在 Rt△CDE中，CD=4,DE=3,由勾股定理得CE=√32+42=5. 15.18 16.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.0C=司 21 AC=BD,.∴.OC=OD,.∠ACD=∠BDC..:∠CDF=∠BDC, ∠DCF=∠ACD,∴.∠CDF=∠DCF,∴.DF=CF; (2)解：由(1)可知，DF=CF..∠CDF=60°，∴.△CDF是等边 三角形，.CD=DF=6..·∠CDF=∠BDC=60°，OC=OD, △0CD是等边三角形，∴.0C=0D=6,BD=20D=12.四边 形ABCD是矩形，.∠BCD=90°，.BC=√BD2-CD2=63, S矩形ABC =BC·CD=36√3. 17.(1)证明：·四边形ABCD是矩形，.CD∥AB,.∠OCF= ∠OAE..·∠COF=∠AOE,OA=OC,.△COF≌△AOE(ASA), ∴.AE=CF. (2)证明：连接OB,.EF⊥AC,∴.△AOE是直角三角形，.：G 为AE的中点，∴.OG=AG=GE,∴.∠BAC=∠AOG=30°，∴.OE= 2AE=GE.:四边形ABCD为矩形，OA=OB,∠AB0= ∠BAC=30°，∴.∠A0B=180°-30°-30°=120°，∴.∠B0E=120 -90°=30°，.∴∠AB0=∠BOE,∴.OE=EB,∴.OG=AG=GE=EB =0E0G=专4B=号C,即DC=30c 第2课时矩形的判定 1.∠B=90°（答案不唯一） 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形3.合理 4.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.·E (AD=BC 是AB的中点，AE=BE.在△ADE和△BCE中，{DE=CE, AE=BE △ADE≌△BCE(SSS),.∠A=∠B..AD∥BC,.∴.∠A+∠B= 180°，∴.∠A=∠B=90°..四边形ABCD为矩形. 5.B 6.对角线相等的平行四边形是矩形7.D 8.解：四边形MENF是矩形.理由如下：四边形ABCD是平行四 边形，∴.AD∥BC,∴.∠ABC+∠BAD=180°.，AF,BE是∠BAD ∠ABC的平分线，∴.∠BAM+∠ABM=90°，∴.∠AMB=∠EMF= 90°.同理可得∠F=∠E=90°，.四边形MENF是矩形. 9.A 10.D【解析】连接AD.·∠BAC=90°，且BA=6,AC=8,.∴.BC= √AB2+AC2=10..·DM⊥AB,DN⊥AC,.四边形AMDN为矩 形，∴.AD=MN,∴.当AD最小时，MN最小.当AD⊥BC时，AD 最小，此时S△BC= 2x6x8= 2×10xAD,.AD=4.8.故选D. 11.（1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,DC=AB. .'FC=AE,∴.DC-FC=AB-AE,即DF=BE,∴.四边形DEBF是 平行四边形.又：DE⊥AB,∴.∠DEB=90°，∴.四边形DEBF是 矩形； (2)解：.AF平分∠DAB,∴.∠DAF=∠BAF..·DC∥AB,. ∠DFA=∠BAF,.∠DFA=∠DAF,∴.AD=DF=10.在Rt△AED 中，由勾股定理，得DE=√AD-AE=8,由(1)得四边形 DEBF是矩形，，BF=DE=8. 12.解：(1)平行四边形对角线相等的平行四边形是矩形 (2)如图所示： 0 已知：AB=CD,AD=BC,AC=BD 求证：四边形ABCD是矩形 76 同步练习，精炼高效抓考点 证明：，·AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形.. AO=C0,B0=DO.又.AC=BD,∴.A0=C0=B0=D0,.∠OAB =∠OBA,∠OBC=∠OCB..∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB= 180°，∴.∠OBA+∠OBC=90°，即∠ABC=90°，∴.四边形ABCD 是矩形. 高效同步练习19.3.2菱形 第1课时菱形的性质 1.B2.A【变式】123.B 4.B【解析】.·菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC =1309,4B/CD,∠BA0=∠BAD,LADC+∠BD-1s0e. ∴.∠BAD=50°，∴.∠BAO= 2×50°=25.0E⊥AB,.∠AE0= 90°，∴.∠A0E=90°-∠BA0=65°.故选B. 5.C 【变式】6cm【解析】菱形周长为24cm,菱形ABCD的对角线 AC,BD相交于O点.∠ABC:∠BAD=2:1,∴.AB=6cm,AC⊥BD, BO=DO=BD.LABC:LBAD=2:1,..LABC=2LBAD. ∠BAD+∠ABC=180°，∴.∠BAD=60°，∴.∠BA0=30°.在Rt △AB0中，∠BA0=30°，AB=6cm,∴.B0= 2 AB=3cm,.BD= 6cm. 6.(1)证明：，四边形ABCD为菱形，.AB∥DC,AB=DC,AC⊥ BD.,BE=AB,∴.DC=BE.,DC∥BE.∴.四边形BDCE为平行 四边形..BD=EC. (2)解：由(1)得四边形BDCE为平行四边形，AC⊥BD,∴.BD∥ EC,∠AOB=90°，∴.∠ABD=∠E=50°，∴.∠BA0=90°-50°= 40°. 7.B8.12 9.C【解析】.菱形ABCD的周长为40cm,∴.边长为10cm,AB= 10cm,AC=16cm,根据菱形的性质，AC⊥BD,A0=8cm,∴.B0= V10-82=6cm,BD=12cm,心Sx8=7×16×12=96(cm).故 选C. 10.C11.D 12.C【解析】作，点M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于P, 此时MP+NP有最小值，为MN..M是AB边上的中点，.PM =PM',M'是AD的中点.又N是BC边上的中点，可得AM∥ BN,AM'=BN,即四边形AM'NB是平行四边形，.M'N=AB, PM+PN=PM'+PN=M'N=AB=1.故选C. 1324 【解析】.四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,BD=2BO=8,AC =2C0..LB0C=909:Swm=24,24C·BD=2A.AC=6, C0=3.在Rt△BOC中，C0=3,B0=4,由勾股定理得BC=5..: S爱m-BC·AH,Ah=2 【变式 【技巧点拨】对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的 一半，再根据等面积法可先求出OA,再求出OC,即可解决问 14.证明：.四边形ABCD为菱形，.AC⊥BD,BC=CD,.∠COD= 90°..DE∥AC,CE∥BD,∴.四边形OCED是平行四边形.又 ∠COD=90°，.四边形OCED是矩形，∴.CD=OE.又.CD= BC,∴.OE=BC. 15.（1)证明：连接AC.,BD,AC是菱形ABCD的对角线，∴.BD垂 直平分AC.点E在BD上，∴.AE=EC. (2)解：点F是线段BC的中点，理由如下：，四边形ABCD是 菱形，AB=CB.又：∠ABC=6O°，.△ABC是等边三角形， ∠BAC=60.:AE=EC,LCEF=60°，.∠EAC=2 LCEF= 30°.又.·∠BAF=∠BAC-∠EAC=30°=∠EAC,∴.AF是等边 三角形ABC的角平分线.∴.BF=CF.∴.点F是线段BC的中 点. ZBK八年级数学下册 第2课时菱形的判定 1.B2.四边都相等的四边形是菱形 3证明：由题意，得AB=AE=DE=CD=BC,∠BME=180°-360° 5 108°，∴.∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，∴. ∠FAE=108°-36°=72°.∴.∠AFE=180°-72°-36°=72°，∴.AE= EF,同理BC=CF,∴.EF=CF=DE=CD,∴.四边形CDEF为菱 形. 4.AD=BC(答案不唯一)5.菱形 6.解：赞成小洁的说法，补充一个条件为OA=OC,证明如下：.OA =OC,OB=OD,∴.四边形ABCD是平行四边形.AC⊥BD,∴.四 边形ABCD是菱形. 7.C 8.C 【解后反思】本题考查作图，菱形的判定和性质等知识，解题的 关键是熟练掌握菱形的判定方法，通过作图痕迹得出信息，进 而作出判断. 90A=0C(答案不唯-）10.)cm 11.（1)证明：.四边形ABCD是矩形，.A0=C0,AD∥BC,. ∠OAE=LOCF.:EF⊥AC,.∠AOE=∠COF=90°，在△AEO I∠OAE=∠OCF 和△CF0中，{A0=C0 ,∴.△AE0≌△CF0(ASA), (∠AOE=∠C0F OE=OF.·AO=C0,.四边形AECF是平行四边形.：EF⊥ AC,.四边形AECF是菱形； (2)解：设AF=x,则BF=4-x.在Rt△ABF中，由勾股定理可 得：AF=AB+BF,即2=32+(4-x)2,解得x=2 8,菱形 MBCF的周长=4x2525 8=2 12.(1)证明：.OH⊥AB于点H,OM⊥BC于点M,且OH=OM, 点O在∠ABC的平分线上，BD平分LABC,.LABD= ∠CBD.:四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,∴∠ADB= ∠CBD,.∠ABD=∠ADB,∴.AB=AD,∴.四边形ABCD是菱形 (2)解：OH=√3OM,理由：.OH⊥AB于点H,OM⊥BC于点 M,.∠OHB=∠OMB=90°.四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=90°，四边形ABCD是矩形，0A=0C=2AC,0B= OD=2BD,且AC=BD,0A=0B.AB=0B,△A0B是等 边三角形，∠AB0=602BH=AM=子4B=号0B:∠0HB= ∠OMB=∠HBM=90°，.四边形HBMO是矩形，.BH=OM,. 0B=2BH=20M,.0H=√OB2-BH=√/(20M)2-0M2=√3 OM. 高效同步练习19.3.3正方形 1.B 2.D【解析】解法一：·四边形ABCD是正方形，.AB=BC, ∠ABC=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC=AC,即 2AB2=4,∴AB2=2,即正方形ABCD的面积是2cm2.解法二：： 四边形ABCD是正方形，AC=2cm,∴.AC⊥BD,AC=BD=2cm, S方形BcD=7 ACxBD=2cm2.故选D. 3.C【解析】在正方形ABCD中，AC平分∠BAD,∴.∠BAE=45. MB=AE,LABE=∠AEB=180-45 =67.5°.又.·∠AEB+ 2 ∠BEC=180°，∴.∠BEC=180°-67.5°=112.5°.故选C. 4.C 5.（1)证明：：四边形ABCD是正方形，.∠D=∠B=90°，AD=AB =BC=CD.又.E,F分别为DC,BC的中点，.DE=BF.在 (AD=AB, △ADE和△ABF中，{∠D=∠B=90°，∴.△ADE≌△ABF DE=BF. (SAS). (2)解：由题意，得∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC=CD=4, 同步练习，精炼高效抓考点 DE=CE=BF=CF=2.·.S△MBr=SE方形BCD-S△MDE-S△ABr-S△BFC=4 X4 2x4x2 1 ×4×2- 21 x2x2=6. 2 6.D7.B 8.证明：菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,.AC⊥BD, OB=OD..OE=OF=OB,∴.OE=OF=OB=OD,∴.四边形BFDE 是平行四边形，BD=EF,∴.四边形BFDE是矩形.又BD⊥EF, .四边形BFDE是正方形 9.C 【变式】135°【解析】.四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD= 90°，AB=AD..'△ABE是等边三角形，∴.∠BAE=∠AEB=60°， AB=AE,∴.∠DAE=30°，AD=AE,∴.∠AED=∠ADE,∴.2∠AED+ 30°=180°，∴.∠AED=75°，∴.∠BED=∠AED+∠AEB=135°. 10.C【解析】：四边形ABCD是正方形，·.∠DBC=LBDC= 45°.，正方形ABCD的边长为6，∴，BC+CD=12.,四边形EF CG是矩形，∴.∠EFB=∠EGD=90°，∴.△BEF与△DEG是等 腰直角三角形，∴.BF=EF,EG=DG,∴.矩形EFCG的周长是： EF+FC+CG+EG=BF+FC+CG+DG=BC+CD=12.故选C. 11.C【解析】连接BN、BM.:四边形ABCD是正方形，.B、D关于 AC对称，：.DN=BN,'.DN+MW=BN+NM≥BM,当B、N、M在一条 直线上时，DW+MN最小.在Rt△BMC中，.'∠BCM=90°，BC=16, CM=CD-DM=12,.BM=√BC2+CM2=20.故选C. 12.（1)证明：：AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平分∠BAC,∠ADC=90° .·.∠BAD=∠CAD= 2∠BAC.:AW是△ABC的外角平分线， LCAN=2∠CM,.∠CMN+LDAC=2∠CAM 2∠BAC 2（LCMM+∠BAC)=90,即LDAN=90.:CE⊥AW,: ∠AEC=90°，∴.∠AEC=∠ADC=∠DAN=90°，∴.四边形ADCE 为矩形. (2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正 方形.证明：AB=AC,∠BAC=90°，.∠ACB=∠B=45°..AD ⊥BC,∠DAC=45°，.∠ACB=∠DAC,.DC=AD.由(1)得 四边形ADCE为矩形，·.四边形ADCE为正方形 13.解：(1)BE=DGBE⊥DG （(2)(1)的结论仍然成立，理由如下：设BE交AD于点O,交 DG于交点N.·四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴.AE =AG,AB=AD,∠BAD=∠EAG=90°，.∠BAE=∠DAG,在 (AB=AD △ABE和△ADG中， ∠BAE=∠DAG,∴.△ABE≌△ADG AE=AG (SAS),.BE=DG,∠ABE=∠ADG..∠ABE+∠AOB=90 ∠AOB=∠DON,∴.∠ADG+∠AOB=∠ADG+∠DON=90°， ∠DWO=90°，∴.BE⊥DG: (3)73【解析】当点E在线段AB上时，BE有最小值，为 AB-AE=5-2=3,当点E在线段BA的延长线上时，BE有最大 值，为AB+AE=5+2=7. 追梦第19章章末复习四边形 1.B2.D3.D4.C 5.B【解析】连接OP.,PM⊥AB,PN⊥BC,∠ABC=90°， ∠PMB=∠PNB=90°，∴.四边形MBNP是矩形，∴.BP=MN= 2B0.:AB=3,AC=5,.BC=V52-32=4.当BP⊥AC时，BP最 小.：S△ABG=2 B:aC=24C·B即，BP=1BBC=24, AC B0=2BP=1.2.故选B, 6.AB=AD(答案不唯一) 7.40cm【解析】E、F、G、H为四边形ABCD各边中点，∴.HE、GF 分别为△ABD,△BCD的中位线，HB=GF=2BD.同理：EF HG分别是△ABC,△ADC的中位线，EF=HG=2AC,.四边形 BFGH的周长=HG+BH+EF+FG=2x(ZAC+2BD)=2x(10+ 10)=40(cm). ZBK八年级数学下册 77