第一章 三角形的证明 章末复习-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

追梦第一章章末复习 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.下列长度的三条线段，首尾相连能组成直角 三角形的是() A.1,2,5 B.5,6,7 C.4,9,14 D.6,12,13 2.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD, 则还需补充条件() A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD C.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确 B E 第2题图 第3题图 3.生活情境·电线杆如图，为了让电线杆垂直于 地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE 上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB 和AC,当点B,E,C在同一直线上且固定点 B,C到杆脚E的距离相等时，电线杆DE就垂 直于BC,工程人员这种操作方法的依据 是() A.等边对等角 B.垂线段最短 C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等 D.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平 分线重合 25分钟同步练习，精炼高效抓 三角形的证明及其应用 4.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设 第 计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观 章 看，景色宛如镶嵌于一个画框之中。如图是 一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形 的每一个内角的度数是() A.105° B.120° C.135° D.150° 5.如图，在△ABC中，∠C=30°，点D是AC的中 点，DE⊥AC交BC于E;点O在DE上，OA= 0B,0D=1,OE=2,则BE的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 6.如图，在△ABC中，AB=5,AC=8,E为BC中 点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积 记为S,△ADE的面积记为3，则之为( ) S DE C 6 3 A.13 B. 3 C.3 0.2 二、填空题（每小题3分，共12分） 7.反证法是数学中经常运用的一类“间接证明 法”.用反证法证明：“已知在△ABC中，AB= AC,求证：∠B<90°。”时，第一步应假 设 考点ZBB八年级数学下册 19 8.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于 点D,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于 剑 第 点F,交AC于点G,连接AD,AF。若BC=6,BD 章 =2,∠DAF=90°，则DF的长为 9.如图，已知O是△ABC的两条角平分线B0,C0 的交点，过点O作OD⊥BC于点D,且OD=3, 若△ABC的周长是24，则△ABC的面积 是 D 第9题图 第10题图 10.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 8,BC=16,D是AC上的一点，CD=3,点P从 B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的 速度向右运动。设点P的运动时间为t秒。 过点D作DE⊥AP于点E,在点P的运动过 程中，当t为 时，能使DE=CD。 三、解答题（共19分） 11.(9分)已知：如图，CE⊥AB,BF⊥AC,CE与 BF相交于D,且BD=CD。求证：D点在 ∠BAC的平分线上。 20 25分钟同步练习，精炼高效抓 12.(10分)如图，点0是等边△ABC内一点，D 是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠B0C= ,△B0C≌△ADC,∠0CD=60°，连接OD。 (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当x=150°时，试判断△A0D的形状，并 说明理由； (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三 角形。 1100 考点ZBB八年级数学下册10Cm,∠BAD=120°-30°=90°。∴BD=2AD=20cm。∴.BC= BD+CD=30cmc 5.D 6.B【解析】，DE是线段AB的垂直平分线，GF是线段BC的 垂直平分线，∴.EB=EA,GB=GC。·△BEG周长为16，∴.EB+ GB+GE=16,∴.EA+GC+GE=16,即GA+GE+GE+GE+EC=16,∴. AC+2GE=16。.GE=1,.AC=14。故选B。 7.解：(1)BC上的高AD如图所示； E C (2)在Rt△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10,且AD⊥BC,.S△AMc 2AC·AB= 2AD·BC, 2×6×8= 2AD×10,解得AD= 4.8。 高效同步练习5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.A2.D 3.解：(1).∠B=50°，∠C=70°，∴.∠BAC=60°。.AD是△ABC 的角平分线，∴.∠BAD= )∠BAC=30°。DE⊥AB,.∠DEA =90°，∴.∠EDA=90°-∠BAD=60°； (2)过点D作DF⊥AC于点F,.·AD是△ABC的角平分线，DE ⊥AB,∴.DF=DE=3,又.'AB=10,AC=8,∴.SAABC=S△ABD+S△AcD 2×10x3+ 2x8x3=27 4.A5.B 6.证明：.DE⊥AB,DF⊥AC,.∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE 和Rt△CDF中，BD=CD,BE=CF,∴.Rt△BDE≌Rt△CDF (HL,.DE=DF,.AD平分∠BAC。 7.①②④⑤【解析】.∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴ DC=DE,故①正确：在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,DC= DE,.∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴.∠ADC=∠ADE,AC=AE ∴，DA平分∠CDE,故②正确；BE+AC=BE+AE=AB,故④正确： ,∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，.∠BAC=∠BDE,故 ⑤正确：·∠ADE+∠BAD=90°，∠B+∠BDE=90°，而∠BAD≠ ∠B,.∠BDE≠∠ADE,.DE平分∠ADB错误，故③错误。综 上所述，正确的有①②④⑤。 8.B9.D 10.解：仓库P如图所示。 A DG M、 X 花2 R 11.解：(1)AD+AB=AC。证明：.AC平分∠MAN,∠MAN=120° .∠CAD=∠CAB=60°。又：∠ADC=∠ABC=90°，.∠ACD =∠ACB=30°，则AD=AB= 2AC,AD+AB=AC; (2)仍成立。理由如下：过点C分别作AM,AN的垂线，垂足 分别为E,F。.·AC平分∠MAN,CE=CF。.·∠ABC+ ∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，∴.∠CDE=∠ABC。 .·∠CED=∠CFB=90°，.∴.△CED≌△CFB(AAS)。.ED= FB,.∴.AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF,由(1)可证AE+AF= AC,AD+AB=AC。 第2课时三角形的角平分线 1.A 2.B【解析】过点O作OD⊥BC于D,OE⊥AB于E,OF⊥AC于 F,又.∠ABC,∠BCA的平分线相交于点O,OE=OD,OF= OD,.OE=OF。又，OE⊥AB,OF⊥AC,∴.A0平分∠BAC,即 ∠1=∠2。故选B。 3.9 4.解：作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,,三 条角平分线交于点0，∴.OD=OE=OF,∴.S△ABoS△BC0S△c40 AB:BC:CA=4:5:6。 5.D 6.B【解析】.PD=PE=PF,∴.BP,CP是∠ABC,∠ACB的平分 线，∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB。.·∠BPC=130°，. LPBC+∠PCB=50°，·.∠ABC+∠ACB=2LPBC+2LPCB= 2(∠PBC+∠PBC)=100°，∴.∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)= 180°-100°=80°。故选B。 7.(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC 于点F。.:∠ACB,∠ABC的平分线相交于点O,.OD=OF, 同步练习，精炼高效抓考 OE=OF.∴.OD=OE,∴.点O在∠BAC的平分线上。 【解析】延长AO交BC于G。.·AB=AC=5,,点O在 ∠BAC的平分线上，A0⊥BC。AB=AC=5,B0=4,A0=2, ∴.AG=A0+0G=2+0G。.BG2=AB2-AG=0B-0G,∴.52-(2 +0C)”=4-0C。解得0G=,点0到三角形三条边的距 离是了 ☆问题解决策略：反思 1.D2.D 3.解：已知：三角形ABC是等腰三角形，BD⊥AC,CE⊥AB。 求证：BD=CE。 证明：在△ABC中，BD⊥AC,CE⊥AB,AB=AC,.∠ADB= (∠A=∠A ∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中，{∠ADB=∠AEC,.△ABD AB=AC ≌△ACE(AAS),∴.BD=CE。 4.（1)证明：.AB=AC,∴.∠EBC=∠DCB。,BD平分∠ABC,CE 1 平分∠ACB,∴.∠CBD= -∠ABC,∠BCE= 2 ∠ACB,∴.∠BCE 2 I∠EBC=∠DCB =∠CBD。在△BCE和△CBD中，{CB=BC ,.△BCE (∠BCE=∠CBD ≌△CBD(ASA),∴.BD=CE; (2)解：BD=CE;BD=CE。结论：如果∠ABD= -∠ABC, ∠ACE= -∠ACB(x≥1)，那么BD=CE。 追梦第一章章未复习三角形的证明及其应用 1.A2.B3.D4.C 5.B【解析】连接OC,作OF⊥BC于点F。DE=OD+OE=3,在 Rt△CDE中，∠DCE=30°，CE=2DE=6,∠DEF=60°。D 是AC的中点，ED⊥AC,.OA=OC。OA=OB,∴.OB=OC。又 OF⊥BC,∴.CF=FB。在Rt△OFE中，∠OEF=60°，∴ ∠E0F=30°，.EF=2OE=1,CF=CE-EF=5,BC=10,∴ BE=10-6=4。故选B。 6.B【解析】过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,:AD为 △ABC的角平分线，dDM=DN,SaBn三AB·DM,SA43 1 5 2AC DN,SSC=AB :AC=5:8SM=13M= 5 1 3SE是BC中点，.SA4BE=2SAMc=2S,S,=SABE 3。 S4m26。=26。故选B0 7.∠B≥90°8. 5 2 9.36【解析】作OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为E,F,连接OA, 又.·OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,.OD=OE= F=3,:△ABC的周长是24，.S△MBc=S△oBc+S△0ac+S△ouB= 2 XODXBC+- X0EXAC+2XOFXAB=- X0DX(BC+AC+AB) 2×3×24=36。 10.5或11 11.证明：：CE⊥AB,BF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°，在△BDE I∠BED=∠CFD 和△CDF中，{∠BDE=∠CDF,.△BDE≌△CDF(AAS),. BD=CD DE=DF。∴.D点在∠BAC的平分线上。 12.(1)证明：.△B0C≌△ADC,∴.OC=DC。.·∠OCD=60°，∴. △OCD是等边三角形； (2)解：△AOD是直角三角形.理由如下：.△OCD是等边三 角形，.∠ODC=60°。.'△B0C≌△ADC,a=150°，∴.∠ADC =∠B0C=a=150°，∴.∠AD0=LADC-∠ODC=90°，.△A0D 是直角三角形； (3)解：.△OCD是等边三角形，∴.∠COD=∠ODC=60°。 ∠A0B=110°，∠ADC=∠B0C=a,.∠A0D=360°-∠A0B- ∠B0C-∠C0D=360°-110°-ax-60°=190°-a,∠AD0=∠ADC -∠0DC=a-60°，.∴.∠0AD=180°-∠A0D-∠AD0=180°- (190°-a)-(a-60°)=50°。①当∠A0D=∠AD0时，190°-x ZBB八年级数学下册 71 =-60°，.=125°：②当∠A0D=∠0AD时，190°-a=50°，. a=140°；③当∠AD0=∠0AD时，-60°=50°，a=110°。综 上所述：当ax=110°或125°或140时，△A0D是等腰三角形。 高效同步练习1不等式及其性质 第1课时不等关系与不等式的解集 1.C2.C 3.D【解析】A.a不是正数可表示为a≤0；B.x不大于4可表示 为x≤4；C.x与2的和是非负数可表示为x+2≥0。故选D。 4.A5.D6.A7.D 8.B 【点拨】不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念，它们反 映了个体与总体的关系，不等式的解集是由不等式的解组成的 一个集合，而不等式的解则是这个集合中的一个元素。 9.D 10.解：（1) -2-101 (2) -2-10123 第2课时不等式的基本性质 1.A2.B3.D 4.>>>5.C6.a<07.A 8.(1)x<5(2)x>-49.B10.A11.a>1【变式】x<-1 12.解：(1)②(2)不等号方向没有改变 (3)因为a>b,所以-3a<-3b,故-3a+1<-3b+1。 高效同步练习2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式及其解法 1. 2变中久酒330是关于的-元一欢 不等式，∴.m-2≠0，|ml-1=1,解得m=-2。 3.C4.D5.A 6A【解析】：m*2<0,4m-3×2<0,则4m<6,m<2。故 选A。 7.解：(1)去分母，得2(x+4)-3(3x-1)>6。去括号，得2x+8-9x +3>6。移项、合并同类项，得-7x>-5。两边都除以-7，得x< 7。该不等式的解集在数轴上的表示如图所示： 5-432寸05i2345 (2)去括号，得6x-4>x+1。移项，得6x-x>4+1。合并同类项， 得5x>5。两边都除以5，得x>1。该不等式的解集在数轴上的 表示如图所示。 5-4-3-2-1012345 8.C 9.0、1、2、3、4【解析】解不等式得x≤4，所以该不等式的非负整 数解为0、1、2、3、4。 10.-3【解析】解关于x的方程36-5x=-9,得x=3张+9。 5。方 程的解是非负教，3张+9≥0。解得≥-3.k的最小值为 5 -3。 11.解：(1)①不等式的基本性质2②五不等号的方向没有 改变 5 (2)x≥ 3 (3)解不等式移项时注意变号：去括号时要注意括号前若是 负号，括号内各项要变号。（答案不唯一 12.B【解析】解不等式2x+5<1,得x<-2,解关于x的不等式4x +1<x-m,得x<- 3,由题意，得m+ m+ ≥-2，解得m≤5，故 3 选B 13.22【解析】当x为奇数，4x+13>100,解得x>21.75,∴.x的最 小值是23，当x为偶数，5x>100,解得x>20,∴.x的最小值是 22,综上所述，输入的正整数x的最小值为22。 14n≤-1【解标】你台少，①-②得+y=3加+6 .x+4y≤3，∴.3m+6≤3，解得m≤-1。 15.解：(1)②③ （2)解不等式x+2m≥0可得x≥-2m,解不等式2x-3<x+m得 72 同步练习，精炼高效抓考 x<m+3,.:关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3<x+m的“云 不等式”，∴.-2m≥m+3,解得m≤-1，故m的取值范围是m≤ 。 (3)①当a+1>0时，即a>-1时，依题意有a-3<1,即a<4,故 -1<a<4;②当a+1<0时，即a<-1时，始终符合题意，故a< -1;综上，a的取值范围为a<-1或-1<a<4。 第2课时一元一次不等式的应用 1.C2.A ǒ 3.B【解析】设最多能买x支，2.2×2+3x≤21，解得x≤5 15。故 最多能买5支。故选B。 4.8.8 5.B【解析】设安排乙种车x辆，根据题意得：4×6+5x≥46，解 得：x≥ 5,又x为正整数，x的最小值为5，乙种车至少 安排5辆。故选B。 6.解：(1)设A品牌腐竹每箱售价为x元，B品牌腐竹每箱售价为 7元由题意得8c+020解得80 y=80。答：A品牌腐 竹每箱售价为100元，B品牌腐竹每箱售价为80元； (2)设购买A品牌腐竹为m箱，则购买B品牌腐竹为(100-m) 箱。由题意得：100m+80(100-m)≤9200，解得：m≤60。答：A 品牌腐竹最多购买60箱。 7.D 8.B【解析】设购买这种饮料x瓶，由题意可得：6×1+6(x-1)× 0.7<6x×0.8,解得x>3,x为正整数，∴.x的最小值为4，即要 使第一种销售方法比第二种销售方法优惠，则至少要购买这 种饮料4瓶。故选B。 9.C 2x=6,解得/x=12 10.解：(1)由题意得{-y2 (y=10 (2)设购买A型设备a台，则购买B型设备(10-a)台。根据 题意，得12a+10(10-a)≤105。解得a≤ 2。:a≥0，a为整 数，.a的值为0,1,2。答：该治污公司有三种购买方案：①①购 买A型设备0台，B型设备10台；②购买A型设备1台，B型 设备9台：③购买A型设备2台，B型设备8台。 (3)由题意得240a+200(10-a)≥2040。解得a≥1。由(2) 5 知a≤- 。a为整数，.a的值为1或2。当a=1时，购买 设备的费用为1×12+9×10=102（万元）；当a=2时，购买设备 的费用为2×12+8×10=104（万元）。.102<104，∴.购买A型 设备1台，B型设备9台最省钱。 高效同步练习3一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数的关系 1.D2.D 3.解：(1)由图象可得，出发时，乙在甲前面12米处： (2)由图象可得，甲的速度为：12÷1.5=8（米/秒），则当甲行驶 64米时，用的时间为：64÷8=8（秒）。由图可知，当在第8秒 时，两人相遇。故当0≤t<8时，甲走在乙的后面；当t=8时，他 们相遇：当>8时，甲走在乙前面。 4.D 5.解：(1)15153145 (2)24 (3)由图象可知x>24且x<45时，乙在甲的前面。 第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用 1.D 2.解：按照方案一需要付费：300×20+80(x-20)=(80x+4400) 元。按照方案二需要付费：300×20×80%+80%×80x=(64x+ 4800)元。当80x+4400<64x+4800,解得x<25,当80x+4400 64x+4800,解得x=25,当80x+4400>64x+4800,解得x>25,∴ 当20<x<25时，选择方案一更合算：当x=25时，选择方案一或 方案二都可以；当x>25时，选择方案二更合算。 3.解：（1)：y1=kx+b过点(0,30)，(10,180)， b=30, 0,+b=180解得5，k=15表示的实际意义是：购头 1b=30。 一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，b=30表示的 实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元。 (2)由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6=25（元）， 则k,=25×0.8=20。 (3)选择方案一所需费用更少。理由如下：由题意可知，y,= 15x+30,y2=20x。当健身8次时，选择方案一所需费用：y=15 ×8+30=150(元)，选择方案二所需费用：y2=20×8=160(元)， ·150<160,.选择方案一所需费用更少。 ZBB八年级数学下册