第一章 5 角平分线 高效同步练习-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习5角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 第 知识点①角平分线的性质定理 知识点②角平分线的判定定理 章 1.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角 4.学科内融合(3分)如图，两把相同的直尺的 平分线，DE⊥AB于点E,且BC=5cm,BD=3 边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于 cm,则DE等于() 点P,则OP平分∠BOA的依据是() A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm A.在一个角的内部，到角的两边距离相等的 点在这个角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个 D Q 端点的距离相等 第1题图 第2题图 D.以上均不正确 2.(3分)如图，射线OC是∠AOB的平分线，D 是射线OC上一点，DP⊥OA于点P,DP=4,若 点Q是射线OB上一点，OQ=3,则△ODQ的 面积是() 68D A.3 B.4 c.5 D.6 第4题图 第5题图 3.(9分)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C= 5.(3分)如图，∠AOB=80°，点C是∠AOB内一 70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E。且CD= 点E。 CE,则∠DOC的度数是() (1)求∠EDA的度数； A.35° B.40° C.45° D.50° (2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABc0 6.(9分)如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, 若BD=CD,BE=CF,求证：AD平分∠BAC。 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBB八年级数学下册 15 易错点错误理解角平分线的判定定理 7.(3分)如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分 第 ∠BAC,DE⊥AB于点E,给出下列结论： 章 ①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB; ④BE+AC=AB;⑤∠BAC=∠BDE。其中正确的 是 (写序号)。 11.(9分)已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN, 点B,D分别在AN,AM上。 8.(3分)如图，已知∠A0B=60°，0C平分 (1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，请你探 ∠AOB,点P在OC上，PD⊥OA于点D,OP=6 索线段AD,AB,AC之间的数量关系，并 cm,点E是射线OB上的动点，则PE的最小 证明； 值为() (2)如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则(1) A.2cm B.3 cm 中的结论是否仍然成立？若成立，给出证 C.4cm D.5cm 明；若不成立，请说明理由。 第8题图 第9题图 图1 图2 9.(3分)如图，在△ABC中，点M,N 为AC边上的两点，AM=NM,BM⊥ AC,ND⊥BC于点D,且NM=ND,若 ∠A=a,则∠C=( 3 A.20 B90-1。 C.120°-a D.2a-90° 10.[教材随堂练习变式](9分)如图：某地有两 所大学和两条相交叉的公路（点M,N表示 大学，AO,B0表示公路)，现计划修建一座物 资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等， 到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P 应该建在什么位置吗？在所给的图形中画 出你的设计方案。（不写作法，但必须保留 作图痕迹)》 16 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBB八年级数学下册 第2课时 三角形的角平分线 知识点三角形角平分线的性质 5.生活情境·货物中转站(3分)如图，直线a、b、c 第 1.（3分)到三角形三条边的距离相等的点是三角 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求 形( )的交点。 它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址 A.三条角平分线 B.三边垂直平分线 有() C.三条中线 D.三条高线 A.一处B.两处 C.三处 D.四处 2.（3分)如图，在△ABC中，∠ABC,∠BCA的平 分线相交于点O,连接A0,则下列结论正确的 是() A.∠1>∠2 第5题图 第6题图 B.∠1=∠2 6.(3分)如图，点P是△ABC内部的一点，点P C.∠1<∠2 到三边AB,AC,BC的距离PD=PE=PF, D.不能确定∠1与∠2的关系 ∠BPC=130°，则∠BAC的度数为() 3.(3分)如图，Rt△ABC中， A.65° B.80° C.100° D.709 ∠ACB=90°，△ABC的两条 7.(9分)如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平 角平分线交于点O,OM⊥A 分线相交于点0。 AB于点M,若OM=4,SAABC=180,则△ABC (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； 的周长是 (2)连接0A,若AB=AC=5,B0=4,A0=2,则 4.（9分)如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分 点O到三角形三条边的距离是 别为40,50,60，其三条角平分线交于点0，求 S△ABO:S△Bc0:S△CA00 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBB八年级数学下册 17 ☆问题解决策略：反思 第 1.(3分)在等腰三角形ABC中，AB=AC,那么下 4.（10分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分 章 列说法中不正确的是() 别在AC和AB上。 A.BC边上的高和中线互相重合 (1)当BD平分∠ABC,CE平分∠ACB时，求 B.AB和AC边上的中线相等 证：BD=CE; C.三角形中顶点为B和顶点为C的角平分线 (2)如果∠ABD=写∠ABC,∠ACE=写∠ACR, 相等 D.AB,BC边上的高相等 那么BD=CE吗？如果∠ABD=1∠ABC, 2.(3分)在△ABC中，AB=AC,下列条件中，不 能使BD=CE的是() ∠ACE=∠ACB呢？由此你能得到一个什么 A.BD,CE分别为AC,AB上的高 结论？ B.BD,CE为△ABC的角平分线 c∠Ann=写LAnc,∠AcE=S∠Acn D.∠ABD=∠BCE 3.(9分)证明命题“等腰三角形两腰上的高线 相等”是真命题。（请根据题意和给定的图形 写出已知、求证、证明过程) 18 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBB八年级数学下册10Cm,∠BAD=120°-30°=90°。∴BD=2AD=20cm。∴.BC= BD+CD=30cmc 5.D 6.B【解析】，DE是线段AB的垂直平分线，GF是线段BC的 垂直平分线，∴.EB=EA,GB=GC。·△BEG周长为16，∴.EB+ GB+GE=16,∴.EA+GC+GE=16,即GA+GE+GE+GE+EC=16,∴. AC+2GE=16。.GE=1,.AC=14。故选B。 7.解：(1)BC上的高AD如图所示； E C (2)在Rt△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10,且AD⊥BC,.S△AMc 2AC·AB= 2AD·BC, 2×6×8= 2AD×10,解得AD= 4.8。 高效同步练习5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.A2.D 3.解：(1).∠B=50°，∠C=70°，∴.∠BAC=60°。.AD是△ABC 的角平分线，∴.∠BAD= )∠BAC=30°。DE⊥AB,.∠DEA =90°，∴.∠EDA=90°-∠BAD=60°； (2)过点D作DF⊥AC于点F,.·AD是△ABC的角平分线，DE ⊥AB,∴.DF=DE=3,又.'AB=10,AC=8,∴.SAABC=S△ABD+S△AcD 2×10x3+ 2x8x3=27 4.A5.B 6.证明：.DE⊥AB,DF⊥AC,.∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE 和Rt△CDF中，BD=CD,BE=CF,∴.Rt△BDE≌Rt△CDF (HL,.DE=DF,.AD平分∠BAC。 7.①②④⑤【解析】.∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴ DC=DE,故①正确：在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,DC= DE,.∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴.∠ADC=∠ADE,AC=AE ∴，DA平分∠CDE,故②正确；BE+AC=BE+AE=AB,故④正确： ,∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，.∠BAC=∠BDE,故 ⑤正确：·∠ADE+∠BAD=90°，∠B+∠BDE=90°，而∠BAD≠ ∠B,.∠BDE≠∠ADE,.DE平分∠ADB错误，故③错误。综 上所述，正确的有①②④⑤。 8.B9.D 10.解：仓库P如图所示。 A DG M、 X 花2 R 11.解：(1)AD+AB=AC。证明：.AC平分∠MAN,∠MAN=120° .∠CAD=∠CAB=60°。又：∠ADC=∠ABC=90°，.∠ACD =∠ACB=30°，则AD=AB= 2AC,AD+AB=AC; (2)仍成立。理由如下：过点C分别作AM,AN的垂线，垂足 分别为E,F。.·AC平分∠MAN,CE=CF。.·∠ABC+ ∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，∴.∠CDE=∠ABC。 .·∠CED=∠CFB=90°，.∴.△CED≌△CFB(AAS)。.ED= FB,.∴.AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF,由(1)可证AE+AF= AC,AD+AB=AC。 第2课时三角形的角平分线 1.A 2.B【解析】过点O作OD⊥BC于D,OE⊥AB于E,OF⊥AC于 F,又.∠ABC,∠BCA的平分线相交于点O,OE=OD,OF= OD,.OE=OF。又，OE⊥AB,OF⊥AC,∴.A0平分∠BAC,即 ∠1=∠2。故选B。 3.9 4.解：作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,,三 条角平分线交于点0，∴.OD=OE=OF,∴.S△ABoS△BC0S△c40 AB:BC:CA=4:5:6。 5.D 6.B【解析】.PD=PE=PF,∴.BP,CP是∠ABC,∠ACB的平分 线，∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB。.·∠BPC=130°，. LPBC+∠PCB=50°，·.∠ABC+∠ACB=2LPBC+2LPCB= 2(∠PBC+∠PBC)=100°，∴.∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)= 180°-100°=80°。故选B。 7.(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC 于点F。.:∠ACB,∠ABC的平分线相交于点O,.OD=OF, 同步练习，精炼高效抓考 OE=OF.∴.OD=OE,∴.点O在∠BAC的平分线上。 【解析】延长AO交BC于G。.·AB=AC=5,,点O在 ∠BAC的平分线上，A0⊥BC。AB=AC=5,B0=4,A0=2, ∴.AG=A0+0G=2+0G。.BG2=AB2-AG=0B-0G,∴.52-(2 +0C)”=4-0C。解得0G=,点0到三角形三条边的距 离是了 ☆问题解决策略：反思 1.D2.D 3.解：已知：三角形ABC是等腰三角形，BD⊥AC,CE⊥AB。 求证：BD=CE。 证明：在△ABC中，BD⊥AC,CE⊥AB,AB=AC,.∠ADB= (∠A=∠A ∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中，{∠ADB=∠AEC,.△ABD AB=AC ≌△ACE(AAS),∴.BD=CE。 4.（1)证明：.AB=AC,∴.∠EBC=∠DCB。,BD平分∠ABC,CE 1 平分∠ACB,∴.∠CBD= -∠ABC,∠BCE= 2 ∠ACB,∴.∠BCE 2 I∠EBC=∠DCB =∠CBD。在△BCE和△CBD中，{CB=BC ,.△BCE (∠BCE=∠CBD ≌△CBD(ASA),∴.BD=CE; (2)解：BD=CE;BD=CE。结论：如果∠ABD= -∠ABC, ∠ACE= -∠ACB(x≥1)，那么BD=CE。 追梦第一章章未复习三角形的证明及其应用 1.A2.B3.D4.C 5.B【解析】连接OC,作OF⊥BC于点F。DE=OD+OE=3,在 Rt△CDE中，∠DCE=30°，CE=2DE=6,∠DEF=60°。D 是AC的中点，ED⊥AC,.OA=OC。OA=OB,∴.OB=OC。又 OF⊥BC,∴.CF=FB。在Rt△OFE中，∠OEF=60°，∴ ∠E0F=30°，.EF=2OE=1,CF=CE-EF=5,BC=10,∴ BE=10-6=4。故选B。 6.B【解析】过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,:AD为 △ABC的角平分线，dDM=DN,SaBn三AB·DM,SA43 1 5 2AC DN,SSC=AB :AC=5:8SM=13M= 5 1 3SE是BC中点，.SA4BE=2SAMc=2S,S,=SABE 3。 S4m26。=26。故选B0 7.∠B≥90°8. 5 2 9.36【解析】作OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为E,F,连接OA, 又.·OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,.OD=OE= F=3,:△ABC的周长是24，.S△MBc=S△oBc+S△0ac+S△ouB= 2 XODXBC+- X0EXAC+2XOFXAB=- X0DX(BC+AC+AB) 2×3×24=36。 10.5或11 11.证明：：CE⊥AB,BF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°，在△BDE I∠BED=∠CFD 和△CDF中，{∠BDE=∠CDF,.△BDE≌△CDF(AAS),. BD=CD DE=DF。∴.D点在∠BAC的平分线上。 12.(1)证明：.△B0C≌△ADC,∴.OC=DC。.·∠OCD=60°，∴. △OCD是等边三角形； (2)解：△AOD是直角三角形.理由如下：.△OCD是等边三 角形，.∠ODC=60°。.'△B0C≌△ADC,a=150°，∴.∠ADC =∠B0C=a=150°，∴.∠AD0=LADC-∠ODC=90°，.△A0D 是直角三角形； (3)解：.△OCD是等边三角形，∴.∠COD=∠ODC=60°。 ∠A0B=110°，∠ADC=∠B0C=a,.∠A0D=360°-∠A0B- ∠B0C-∠C0D=360°-110°-ax-60°=190°-a,∠AD0=∠ADC -∠0DC=a-60°，.∴.∠0AD=180°-∠A0D-∠AD0=180°- (190°-a)-(a-60°)=50°。①当∠A0D=∠AD0时，190°-x ZBB八年级数学下册 71