第一章 4 线段的垂直平分线 高效同步练习-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年八年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

R△ACE巾，∠ACB=30AE=24C=2×62=31(em),同 理可得，BF=31cm。又.AB=12cm,∴.31+12+31=74(cm),即 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm。 9.A 10.C【解析】连接BE,,△ABC为等边三角形，∴.∠ABC=60°。 :E为AC的中点，.LABE=∠CBE=30°。EF⊥AB,EF= 1,∴.∠D=90°-∠ABC=30°，∴.BE=2EF=2,∠D=∠CBE,∴ ED=BE=2,.DF=ED+EF=2+1=3。故选C。 11.6【解析】由题意，得EF=2。.△ABC是等边三角形， ∠B=∠C=60°。又.：DE∥AB,DF∥AC,∴.∠DEF=∠B=60° ∠DFE=∠C=60°，∴.△DEF是等边三角形，∴.剪下的△DEF 的周长是2×3=6。 12.C 13.)【解析过点P作PF∥BC交AC于点F。△ABC是等 边三角形，.∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形，.AP= PF=AF。又：PE⊥AC,AE=EF。AP=CQ,.PF=CQ。 .·∠PDF=∠QDC,∴.△PFD≌△QCD(AAS)。∴.FD=CD。 AE=EF,..EF+FD=AE+CD,.AE+CD=DE=AC.AC 1 =1,∴.DE= 20 14解：FD1BC,LC=30,∠CFD=60,DF=2FC。由折 叠的性质可知，∠AFE=∠DFE=(180-∠CFD)÷2=60°，AF= DF。.∠B=90°，∠C=30°，∴.∠A=60°，∴.△AEF是等边三 角形，.EF=AF=FD= 2 FC,..EF=1 3AC。AC=6,.EF =2。 15.(1)证明：.AB=AC,∠ABC=60°，.△ABC为等边三角形， AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。，AE=CD, △AEB≌△CDA(SAS): (2)解：.△AEB≌△CDA,.∠ABE=∠CAD。.·∠BAD+ ∠CAD=60°，.∠BAD+∠ABE=60°，∴.∠BPD=∠ABE+ ∠BAD=60°； (3)解：：BQ⊥AD,∠BPD=60°，∴.∠PBQ=90°-∠BPD=30°， .BP=2PQ=12。PE=2,.BE=BP+PE=12+2=14。 高效同步练习3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.A 3.C【解析】.AB=13,AD=12,BD=5,∴.AD2+BD2=AB2,. ∠ADB=90°，.∠ADC=180°-∠ADB=90°，在Rt△ADC中，由 勾股定理得：DC=√AC2-AD2=√152-12=9。故选C。 4.√25.A6.等角对等边7.D 8.B【解析】过点A作AC⊥ON于点C,则AC=8,又.·OA=17, 0C=√A02-AC=15,点B可能在C的左侧或右侧，在 Rt△ABC中，AB=10,AC=8,.CB1=CB2=6,.0B1=15-6=9, 0B,=15+6=21,综上所述，0B=9或21，所以正确的答案是 甲、丙答案合在一起才完整。故选B。 9.(1)解：.·CD⊥AB,∴.∠DCB+∠B=90°。∠ACB=90°， ∠CAB+∠B=90°，∴.∠CAB=∠DCB=50°。：AE平分∠CAB, ∴.∠CAE= 2LCAB=25°，.∠CEF=90°-LC4E=65°： (2)证明：：AE平分∠CAB,.∠BAE=∠CAE。·.∠ACB 90°，CD⊥AB,∴.∠CAE+∠CEF=90°，∠BAE+∠AFD=90°，∴. ∠CEF=∠AFD。.∠CFE=∠AFD,.∠CEF=∠CFE 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.C3.74.等腰 5.B【解析】，：在△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB交BC 于点E,又'AE=AE,∴.Rt△CAE≌Rt△DAE(HL),∴.∠CAE= ∠DAE=7∠CAB。'∠B+LCAB=90°，∠B=28°，.∠CAB= 90°-28°=62°，∴.∠AEC=90°-31°=59°。故选B。 6.2 7.(1)证明：.·∠B=∠DCE=90°，在Rt△ABC和Rt△ECD中，AC =DE,BC=CD,∴.Rt△ABC≌Rt△ECD(HL); (2)解：AC⊥DE。理由如下：.：△ABC≌△ECD,.∠BCA= ∠CDE。:∠DCE=90°，即∠BCA+∠ACD=90°，.∠CDE+ 70 同步练习，精炼高效抓考 ∠ACD=90°，∴.∠DFC=180°-（∠CDE+∠ACD)=90°，即AC ⊥DE。 高效同步练习4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.B2.D 3.解：∠ABC=2∠C,.设∠C=a,则∠ABC=2α。，∠A=60°， .∴.∠ABC+∠C=120°，即2a+=120°，=40°，.∠C=40°。： DE垂直平分BC,.BD=CD,.∠DBC=∠DCB=40°，∴.∠ADB =∠DBC+∠DCB=8O°。 4.A 5.AB 6.证明：(1).AB=AC,AD=AE,∴.BD=CE,∠DBC=∠ECB。又 .BC=CB,∴.△DBC≌△ECB(SAS),∴.∠EBC=∠DCB。 (2)连接AF。,·∠FBC=∠FCB,.FB=FC,.点F在线段BC 的垂直平分线上。：AB=AC,:点A在线段BC的垂直平分线 上，.过点A,F的直线垂直平分线段BC。 7.解：如图所示，点C即为所求。 8.65°或25°【解析】设AB的垂直平分线与AB相交于点D,与 AC相交于点E.①DE与线段AC相交时，·DE是AB的垂直平 分线，∠AED=40°，∴.∠A=90°-∠AED=50°。.：AB=AC,. ∠ABC= 2(180°-∠A)=65;②DE与CA的延长线相交时，： DE是AB的垂直平分线，∠AED=40°，.∠EAD=90°-∠AED =50°，.∠BAC=180°-∠EAD=130°。AB=AC,.∠ABC= (180°-∠BAC)=25°，综上所述，等腰△ABC的底角∠B的 1 度数为65°或25°。 9.A【解析】连接PC,EF是BC的垂直平分线，.BP=PC, PA+BP=AP+PC,∴.当，点A,P,C在一条直线上时，PA+BP有最 小值，最小值=AC=4。故选A。 【变式】10 10.解：(1)不在。理由：连接CD。.·∠B=25°，∠ACB=90°， ∠A=90°-∠B=65°。.AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC= 180°-65 -=57.5°。.∠BCD=90°-57.5°=32.5°≠25°，∴ CD≠BD。∴.点D不在线段BC的垂直平分线上； (2)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=13。. AD=AC=5,∴.BD=13-5=8。∴.BE=BD=8。∴.CE=BC-BE =12-8=4。 11.（1)证明：如图1，连接PA,PB,交直线1于点M,连接AM,.: 直线l是线段AB的垂直平分线，·.AM=BM,PB=PM+MB= PM+AM,.·PM+AM>PA,∴.PA<PB; (2)解：AD+CD≥BC,理由如下：如图2，连接BD,·直线l是 线段AB的垂直平分线，∴.AD=BD,当D不在线段BC上时， .:BD+CD>BC,.AD+CD>BC,当D在线段BC上时，AD+CD =BC,∴.AD+CD≥BC P.M 图1 图2 第2课时三角形三边的垂直平分线与尺规作图 1.C2.18cm 3.解：如图，△ABC即为所求 E木A L a BF CT 4.解：（1)如图，DE即为所求； B (2)30cm【解析】，AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠C=∠B= (180°-∠BAC)÷2=30°。.：DE是AC的垂直平分线，DE= 5cm,∴.AD=CD。∴.∠DAC=∠C=30°。∴.AD=CD=2DE= ZBB八年级数学下册 10Cm,∠BAD=120°-30°=90°。∴BD=2AD=20cm。∴.BC= BD+CD=30cmc 5.D 6.B【解析】，DE是线段AB的垂直平分线，GF是线段BC的 垂直平分线，∴.EB=EA,GB=GC。·△BEG周长为16，∴.EB+ GB+GE=16,∴.EA+GC+GE=16,即GA+GE+GE+GE+EC=16,∴. AC+2GE=16。.GE=1,.AC=14。故选B。 7.解：(1)BC上的高AD如图所示； E C (2)在Rt△ABC中，AB=8,AC=6,BC=10,且AD⊥BC,.S△AMc 2AC·AB= 2AD·BC, 2×6×8= 2AD×10,解得AD= 4.8。 高效同步练习5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.A2.D 3.解：(1).∠B=50°，∠C=70°，∴.∠BAC=60°。.AD是△ABC 的角平分线，∴.∠BAD= )∠BAC=30°。DE⊥AB,.∠DEA =90°，∴.∠EDA=90°-∠BAD=60°； (2)过点D作DF⊥AC于点F,.·AD是△ABC的角平分线，DE ⊥AB,∴.DF=DE=3,又.'AB=10,AC=8,∴.SAABC=S△ABD+S△AcD 2×10x3+ 2x8x3=27 4.A5.B 6.证明：.DE⊥AB,DF⊥AC,.∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE 和Rt△CDF中，BD=CD,BE=CF,∴.Rt△BDE≌Rt△CDF (HL,.DE=DF,.AD平分∠BAC。 7.①②④⑤【解析】.∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴ DC=DE,故①正确：在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,DC= DE,.∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴.∠ADC=∠ADE,AC=AE ∴，DA平分∠CDE,故②正确；BE+AC=BE+AE=AB,故④正确： ,∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，.∠BAC=∠BDE,故 ⑤正确：·∠ADE+∠BAD=90°，∠B+∠BDE=90°，而∠BAD≠ ∠B,.∠BDE≠∠ADE,.DE平分∠ADB错误，故③错误。综 上所述，正确的有①②④⑤。 8.B9.D 10.解：仓库P如图所示。 A DG M、 X 花2 R 11.解：(1)AD+AB=AC。证明：.AC平分∠MAN,∠MAN=120° .∠CAD=∠CAB=60°。又：∠ADC=∠ABC=90°，.∠ACD =∠ACB=30°，则AD=AB= 2AC,AD+AB=AC; (2)仍成立。理由如下：过点C分别作AM,AN的垂线，垂足 分别为E,F。.·AC平分∠MAN,CE=CF。.·∠ABC+ ∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，∴.∠CDE=∠ABC。 .·∠CED=∠CFB=90°，.∴.△CED≌△CFB(AAS)。.ED= FB,.∴.AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF,由(1)可证AE+AF= AC,AD+AB=AC。 第2课时三角形的角平分线 1.A 2.B【解析】过点O作OD⊥BC于D,OE⊥AB于E,OF⊥AC于 F,又.∠ABC,∠BCA的平分线相交于点O,OE=OD,OF= OD,.OE=OF。又，OE⊥AB,OF⊥AC,∴.A0平分∠BAC,即 ∠1=∠2。故选B。 3.9 4.解：作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,,三 条角平分线交于点0，∴.OD=OE=OF,∴.S△ABoS△BC0S△c40 AB:BC:CA=4:5:6。 5.D 6.B【解析】.PD=PE=PF,∴.BP,CP是∠ABC,∠ACB的平分 线，∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB。.·∠BPC=130°，. LPBC+∠PCB=50°，·.∠ABC+∠ACB=2LPBC+2LPCB= 2(∠PBC+∠PBC)=100°，∴.∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)= 180°-100°=80°。故选B。 7.(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,OF⊥BC 于点F。.:∠ACB,∠ABC的平分线相交于点O,.OD=OF, 同步练习，精炼高效抓考 OE=OF.∴.OD=OE,∴.点O在∠BAC的平分线上。 【解析】延长AO交BC于G。.·AB=AC=5,,点O在 ∠BAC的平分线上，A0⊥BC。AB=AC=5,B0=4,A0=2, ∴.AG=A0+0G=2+0G。.BG2=AB2-AG=0B-0G,∴.52-(2 +0C)”=4-0C。解得0G=,点0到三角形三条边的距 离是了 ☆问题解决策略：反思 1.D2.D 3.解：已知：三角形ABC是等腰三角形，BD⊥AC,CE⊥AB。 求证：BD=CE。 证明：在△ABC中，BD⊥AC,CE⊥AB,AB=AC,.∠ADB= (∠A=∠A ∠AEC=90°，在△ABD和△ACE中，{∠ADB=∠AEC,.△ABD AB=AC ≌△ACE(AAS),∴.BD=CE。 4.（1)证明：.AB=AC,∴.∠EBC=∠DCB。,BD平分∠ABC,CE 1 平分∠ACB,∴.∠CBD= -∠ABC,∠BCE= 2 ∠ACB,∴.∠BCE 2 I∠EBC=∠DCB =∠CBD。在△BCE和△CBD中，{CB=BC ,.△BCE (∠BCE=∠CBD ≌△CBD(ASA),∴.BD=CE; (2)解：BD=CE;BD=CE。结论：如果∠ABD= -∠ABC, ∠ACE= -∠ACB(x≥1)，那么BD=CE。 追梦第一章章未复习三角形的证明及其应用 1.A2.B3.D4.C 5.B【解析】连接OC,作OF⊥BC于点F。DE=OD+OE=3,在 Rt△CDE中，∠DCE=30°，CE=2DE=6,∠DEF=60°。D 是AC的中点，ED⊥AC,.OA=OC。OA=OB,∴.OB=OC。又 OF⊥BC,∴.CF=FB。在Rt△OFE中，∠OEF=60°，∴ ∠E0F=30°，.EF=2OE=1,CF=CE-EF=5,BC=10,∴ BE=10-6=4。故选B。 6.B【解析】过D作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,:AD为 △ABC的角平分线，dDM=DN,SaBn三AB·DM,SA43 1 5 2AC DN,SSC=AB :AC=5:8SM=13M= 5 1 3SE是BC中点，.SA4BE=2SAMc=2S,S,=SABE 3。 S4m26。=26。故选B0 7.∠B≥90°8. 5 2 9.36【解析】作OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为E,F,连接OA, 又.·OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,.OD=OE= F=3,:△ABC的周长是24，.S△MBc=S△oBc+S△0ac+S△ouB= 2 XODXBC+- X0EXAC+2XOFXAB=- X0DX(BC+AC+AB) 2×3×24=36。 10.5或11 11.证明：：CE⊥AB,BF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°，在△BDE I∠BED=∠CFD 和△CDF中，{∠BDE=∠CDF,.△BDE≌△CDF(AAS),. BD=CD DE=DF。∴.D点在∠BAC的平分线上。 12.(1)证明：.△B0C≌△ADC,∴.OC=DC。.·∠OCD=60°，∴. △OCD是等边三角形； (2)解：△AOD是直角三角形.理由如下：.△OCD是等边三 角形，.∠ODC=60°。.'△B0C≌△ADC,a=150°，∴.∠ADC =∠B0C=a=150°，∴.∠AD0=LADC-∠ODC=90°，.△A0D 是直角三角形； (3)解：.△OCD是等边三角形，∴.∠COD=∠ODC=60°。 ∠A0B=110°，∠ADC=∠B0C=a,.∠A0D=360°-∠A0B- ∠B0C-∠C0D=360°-110°-ax-60°=190°-a,∠AD0=∠ADC -∠0DC=a-60°，.∴.∠0AD=180°-∠A0D-∠AD0=180°- (190°-a)-(a-60°)=50°。①当∠A0D=∠AD0时，190°-x ZBB八年级数学下册 71高效同步练习4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 第 知识点①线段垂直平分线的性质定理 5.（3分)如图，在△ABC中，点D在BC上，且 章 1.(3分)直线CD是线段AB的垂直平分线，P BC=CD+AD,则点D在线段 的垂直 为直线CD上的一点。已知PA=5,则PB的 平分线上。 长度为() 6.(9分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, A.6 B.5 C.4 D.3 点D,E分别在边AB,AC上，且AD=AE,连接 2.（3分)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE BE,CD,交于点F。 垂直平分AB,交BC于点E,垂足为D,BE= (1)求证：∠EBC=∠DCB; 6cm,∠B=15°，则AC等于() (2)求证：过点A,F的直线垂直平分线段BC。 A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 3.(9分)如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC= 2LC,BC边的垂直平分线交AC边于点D,交 BC边于点E,连接BD,求∠ADB的度数。 知识点②线段垂直平分线的判定定理 知识点③线段垂直平分线的应用 4.(3分)如图，AC=AD,BC=BD,则下列判断正确 7.(9分)如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由 的是() A向B行驶，M,N分别是位于公路AB两侧的 A.AB垂直平分CD 村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M,N B.CD垂直平分AB 的距离相等？（用圆规和直尺作图，不写作 C.AB与CD互相垂直平分 法，只保留作图痕迹) D.CD平分∠ACB D 第4题图 第5题图 12 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBB八年级数学下册 易错点运用线段垂直平分线的性质时，考虑问11.（10分)【问题发现】我们知道“线段垂直平 题不全面 分线上点到线段两端的距离相等”，那么不 8.数学思想·分类讨论(3分)已知等腰三角形 在线段垂直平分线上的点到线段两端的距 第 ABC中，AB=AC,若AB的垂直平分线与边AC 离大小如何判断呢？ 章 所在直线相交，所得锐角为40°，则等腰△ABC 【自主研究】 的底角∠B的度数为 (1)如图1，直线l是线段AB的垂直平分线， 9.数学思想·转化思想(3分)如图，在△ABC中， 点P在直线l的左侧，经测量，PA<PB,请证 AB=3,AC=4,EF垂直平分BC,点P为直线EF 明这个结论； 上的任一点，则AP+BP的最小值是( 【迁移研究】 (2)如图2，直线1是线段AB的垂直平分线， A.4 B.5 C.6 D.7 点C在直线1外，且与点A在直线l的同侧， 点D是直线I上的任意一点，连接AD,BC, CD,试判断BC和AD+CD之间的大小关系， 并说明理由。 第9题图 变式题图 变式(3分)如图，△ABC的面积为16，AB= B AC,BC=4,AC的垂直平分线EF分别交AB, 图1 图2 AC边于点E,F,若点D为BC边的中点，点P 为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值 为 10.(11分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点 A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点 D:以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段 BC于点E. (1)当∠B=25时，点D在线段BC的垂直平 分线上吗？请说明理由； (2)若AC=5,BC=12,求CE的长， 25分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBB八年级数学下册 13 第2课时三角形三边的垂直平分线与尺规作图 第 知识点①三角形三边的垂直平分线的性质及 章 应用 1.生活情境·足球(3分)如图，在足球场内，A, B,C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏， 易错点)忽略平面内三点的位置关系而致错 现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个 5.（3分)到平面上三点A,B,C距离相等的点 运动员的距离相等，则足球应放置在() 有() A.只有一个 B.有两个 C.有三个或三个以上 D.有一个或没有 6.(3分)如图，在△ABC中，DE是线段AB的垂 A.AC,BC两边高线的交点处 直平分线，分别与AB,AC边交于点D,E两 B.AC,BC两边中线的交点处 点，FG是线段BC的垂直平分线，分别与BC, C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 AC交于点F,G两点，连接BE,BG。若△BEG D.∠A,∠B两内角平分线的交点处 的周长为16，GE=1,则AC的长为() 2.(3分)已知点O为△ABC三边垂直平分线的 A.13 交点，点O到顶点A的距离为6cm,则OA+ B.14 OB+OC= C.15 知识点②几何作图 D.16 3.(8分)如图，已知线段a,求作等腰三角形 7.（10分)如图，在Rt△ABC中，AB=8,AC=6, ABC,使其底边BC长为a,底边上的高长为 BC=10 2a。（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (1)尺规作图：作BC上的高AD; (2)求AD的长。 B 4.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC =120°。 (1)作线段AC的垂直平分线，分别交BC,AC 于点D,E(尺规作图保留作图痕迹，不写 作法)； (2)连接AD,若DE=5cm,则BC的长 为 14 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBB八年级数学下册