精品解析：河南省郑州市第二高级中学2026届高三上学期数学自我评价一试题

数学学科自我评价一 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算性质直接化简，即可判断结果. 【详解】由，得， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 若，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意，再由代入即可求解． 详解：由题意， 则，故选A． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3. 已知非零向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直数量积为0，再应用模长公式及数量积运算律计算求解. 【详解】由得：， 则，又， 所以， 故选：C. 4. 若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义导出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】由为偶函数，得，即，， 由为奇函数，得，即， 因此，即，则， 所以. 故选：A 5. 已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球表面积. 【详解】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 6. 已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布对称性可得，进而得到，再利用换元法结合二次函数最值即可求解． 【详解】因为，易知单调递增， 由正态分布的对称性可知， 所以， 由，得， 所以, 即的最小值为， 故选：B． 7. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定当时的零点个数，再利用正弦函数的性质对于的情况进行分析，建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】当时，由题意得单调递增， 令，解得，此时具有唯一零点， 又因为有个根，所以当时，有个零点， 因为，所以， 所以有，解得，即. 故选：B． 8. 已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断圆心位置，求得半径，判断点即双曲线的左右两焦点，利用双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，求得，即可求的面积. 【详解】设双曲线的半焦距为，由题意，圆的圆心在坐标原点，半径， 点即双曲线的左右两焦点，故有①， 且因为圆的直径，可得，则有②， 将①式两边取平方，， 解得，故的面积为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 B. 数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数是14 C. 已知随机变量，若最大，则的取值集合是 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，2，3，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据残差、百分位数、二项分布、样本方差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，样本点的残差为，故A正确； 对于B，因为， 所以分位数是，故B错误； 对于C，若最大，则， 解得，所以的取值集合是，，故C错误； 对于D，若且，2，3，，则，2，3，， 所以，故D正确． 故选：AD 10. 设数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 的前项和为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用求出的通项公式，可以判断A，B选项，再根据求出的通项公式，利用分组求和法求出的前项和，可判断选项C，写出数列的通项公式，利用公式法求出前项和，可判断选项D. 【详解】，当时，，得. 当时，，即. 是以为首项，公比为2的等比数列，，A选项正确，B选项错误. ， 记，数列的前项和 ，C选项正确. 因为，是以1为首项，公比为4的等比数列， ，D选项错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心为，由得到方程，求出半径的最大值. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故. 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为，故平面，A正确； B选项，取的中点，连接， 因为M，N，P分别是棱，，的中点， 所以，又， 所以，所以平面截正方体所得的截面为正六边形， 其中边长为，故面积为，B正确； C选项，Q为平面上的动点，直线与直线的夹角为， 又平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆， 即为点Q的轨迹， 其中，由对称性可知，， 故半径， 故点Q的轨迹长度为，C错误； D选项，因为M，N，P分别是棱，，的中点， 所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称， 不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值， 该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切， 由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为， ，故，即，解得， 故球的半径的最大值为，D正确. 故选：ABD 【点睛】立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设两曲线上的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导函数为，的导函数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，且切线为， 可得，解得， 所以. 故答案为： 13. 定义：表示三个数中最大的数. 将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果，记三个孩子分得的苹果数分别为，从所有可能的分配方案中随机选择一种，记，则的数学期望________________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用隔板法求出将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果的所有方法数，再确定的可能取值，利用古典概型概率公式求出取各值的概率，再由期望公式求结论. 【详解】因为三个孩子分得的苹果数分别为，所以，又每个孩子至少分得一个苹果， 个苹果分成份，且每份至少有一个苹果，相当于用个隔板插入个空，故有种分法， 因为各孩子分得的苹果数分别为，，所以的取值有， 因为的情况有共种情况， 所以； 的情况有共种情况， 故； 的情况有共6种情况， 故； 的情况有共3种情况， 故， 综上，. 故答案为： 14. 如果点在运动过程中，总满足等式，则点到直线距离的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合直线与双曲线的性质，结合平行线间的距离公式进行求解即可 【详解】因为点在运动过程中，总满足等式， 所以点到点的距离与到点的距离之差为定值， 而且， 所以点是以点和点为焦点的双曲线的下支， 设双曲线的标准方程为， 所以， 所以双曲线的标准方程为， 设与直线平行且与双曲线相切的直线方程为， 则有， 所以有， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 所以点到直线距离的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角B； （2）若是锐角三角形，，为AC边中点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角可求； （2）根据三角形形状先求解出角的范围，再由正弦定理以及两角和的正弦公式表示出并求出其范围，将平方可计算出的范围，则结果可知. 【小问1详解】 ，， 由正弦定理可得， ，， ，则，， 则，所以． 【小问2详解】 由（1）知， ∵为锐角三角形，则，， ，则， 由正弦定理可得， ， 为边中点，， ， ，即． 16. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，列出方程，求解即可； （2）由错位相减法求和即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得，， ， 由成等比数列得，， 整理得，解得或， 因为是单调递增的等差数列，所以，即， 所以． 【小问2详解】 由题可知，，由（1）得，， 所以， 则， ， 两式相减得，， 整理得． 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】 取中点，连接，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； 【小问2详解】 平面平面，平面平面平面， 平面， 取中点，连接，则平面， ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别相交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为，设直线与线段交于点.求证：三点共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率定义和点到直线的距离公式列方程，求出的值，即得双曲线标准方程； （2）依题意设直线的方程为，与双曲线的方程联立，写出韦达定理，求出直线的方程，得到点，进而求出和，化简计算推出即可. 【小问1详解】 由离心率，可得， 从而双曲线的渐近线方程为， 因右顶点到的距离，解得，则， 所以双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由题意 ，设直线的方程为，联立得：， 因直线与的左、右两支相交，则，解得：或， 设，则， 因，则直线，令得， 即得，则， 由 ， 又有公共点，故三点共线. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义、结合直线的点斜式方程、导数的运算法则进行求解即可； （2）（ⅰ）根据极值点的定义，结合函数零点存在原理、对勾函数的单调性进行求解即可； （ⅱ）利用导数判断函数的单调性，结合任意性的定义、函数的最大值进行求解即可. 【小问1详解】 ，，， ∴曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 （ⅰ），显然单调递减， ∵，， ∴存在，使得，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴为的极大值点，， ∵函数在区间上单调递增，∴， ∴； （ⅱ），易知单调递增， 令，即，即， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且， 由于函数为增函数，∴， 对于任意正实数，，都有 ， ∵，∴，， ∴， ∴对于任意正实数，，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科自我评价一 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若，则 A. B. C. D. 3. 已知非零向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则＝（ ） A. B. 0 C. D. 5. 已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 B. 数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数是14 C. 已知随机变量，若最大，则的取值集合是 D. ，，，和，，，的方差分别为和，若且，2，3，，则 10. 设数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 的前项和为 D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ） A. 平面 B. 平面截正方体所得的截面面积为 C. 点Q的轨迹长度为 D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______. 13. 定义：表示三个数中最大的数. 将个苹果分配给个孩子，每个孩子至少分得一个苹果，记三个孩子分得的苹果数分别为，从所有可能的分配方案中随机选择一种，记，则的数学期望________________. 14. 如果点在运动过程中，总满足等式，则点到直线距离的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角B； （2）若是锐角三角形，，为AC边中点，求的取值范围． 16. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和． 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别相交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为，设直线与线段交于点.求证：三点共线. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数， （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）证明：对于任意正实数，，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $