山西晋城市高平市第一中学校等校2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

秘密 启用前 高三数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自已的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合M={xx一3≤0},N={xx>1},则M∩N= A.[-1,+∞) B.(0,3) C.(1,3] D.(-1,+∞) 2.已知复数之满足x十z=8一4i,则之= A.4-3i B.4+3i C.3+4i D.3-4i 3.已知袋中有2个白球、1个红球,3个球除颜色外其余均相同,有放回地随机摸球3次, 恰有1次摸到红球的概率是 A号 c最 2 D. 4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,O为CD的中点, AOB为等边三角形,G为 OAB 的中心,则GC GB= A号 B号 c- 5.在长方体ABCD-A1B,C1D1中,AB=BC=2,CC1=4,则长方体外接球的表面积为 A.12 B.16 C.24 D.32 数学试题第1页(共4页) 6.已知椭圆之 +=1(a>b>0)的左、右顶点A1,A:和左、右焦点F1,F2分别是双曲线 22 3y2 =1(m>0,n>0)的左、右焦点和左、右顶点,P是两曲线在第一象限的公共点, 5 椭圆和双曲线的离心率分别为e1e2e1十ee=2,kpR,和pR,分别为直线PF,和PF。 的斜率,则 1 1一 kPF2 A B4② 3 c 7.若实数x,y满足y=lg(3x+7),对于以下各式:①x>y>1;②y>x>1;③x<y<1; ④y<x<1,其中不可能成立的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 8.在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,4S ABc=c2tanB,∠A的平分线交 BC于点D,c2=a BD,则cosC= B号 c.-1 D.1+5 2 4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.一组样本数据:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,则这组数据的 A.中位数是3 B.第80百分位数是4 C.平均数是3.5 D.方差是11 10.已知4个正数a,b,c,d成等比数列(公比q≠1),则 A.adbo B.d-6>c-a C.a2+d2>2bc D.若a≤1,bc=4,则a十d的最小值为5 1.已知x∈(0,,且sin2x=c0s(答十z),则sinx的取值可能在以下哪个区间 A(0,) c(, D.(1) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 1 12.函数f(x) 2二2的图象的对称中心为 数学试题第2页(共4页) cosx_的最大值为 13.函数y=2-sinx 14.过点1,b)可向曲线y-1血作三条切线,则实数6的取值范围为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知在数列{am}中,a1=2,当n≥2时,am=3am-1十2. (1)证明:{an+1}为等比数列; (2)若bn=(am十1)log3(am十1),求数列{bn}的前n项和Tm 16.(15分) 如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,∠AB1B=∠ACB=90 ,CC1=A1C1=B1C1=2, AC=4,AA1=BB1 (1)证明:CC1⊥平面ABC; (2)求二面角A-A,B-C1的正弦值. 17.(15分) 现有12,3号三名运动员投篮,命中率分别为分,号,号,每次投鉴命中与香相互独立,1 号先投,接下来按以下规则,若n号投进,则下次由n+1号投,若n号投不进,则下次 由n+2号投,4号就是指1号,5号就是指2号,6号就是指3号,7号就是指1号,依 次类推。 (1)求第3次由3号投篮的概率; (2)每进1球记1分,不进球记0分,三人得分累计3分或投篮总次数达到5次后结 束,设投篮总次数为X,求X的数学期望 数学试题第3页(共4页) 18.(17分) 抛物线y2=2x(p>0)上一点M(1,m)到焦点F的距离为2. (1)求抛物线的方程. (2)过(6,0)的直线交此抛物线于A,B(A,B不与原点O重合)两点, OAB的外接 圆圆心为Q. (1)证明:∠AOB为锐角; ( )求直线OQ的斜率的最大值. 19.(17分) 已知函数f(x)=(4x+2)1nx-(x2+4红-5),函数g(x)=2Cx二D-工+m,m为 In x 实数. (1)证明:f(x)≤0. (2)若-1<m<0. (i)证明:g(x)有两个零点x1,x2,且若x1<x2,则x1<1<x2; ( )证明:x1+x2>3十m. 数学试题第4页(共4页) 高三数学 评分细则 12.(1,-) 又CC,⊥AC,AC∩BC=C,所以CC,⊥平面 ABC. (7分) 1a号 (2)以C为原点,CA,C店,CC分别为x轴、y 轴、之轴的正方向,建立空间直角坐标系C-xy之, 15.解:(1)证明:当n≥2时,am十1=3(aw-1十1), (2分) 故{am+1}是以a,十1=3为首项,3为公比的等 比数列. (5分) 则C1(0,0,2),A(4,0,0),B(0,4,0),A1(2,0, (2)由(1)知am+1=3 3”-1=3”, (6分) 2),AB=(-4,4,0),AA1=(-2,0,2),A1C1= 所以bn=n 3”,故Tn=1 3+2 32+…+n (-2,0,0),A1B=(-2,4,-2). (8分) 3”, (8分) 设平面AA1B的法向量为m=(x,y,之), 故3T.=1 32+2 33+…+n 3"+1, (10分) 3 (1-3") m AB=0, -4x+4y=0, 故 -2T.= 1-3 nX3"+1 则有 故 m AA1=0,-2x+2x=0, (1-21) 3"+1-3 2 (12分) 令x=1,则m=(1,1,1), (10分) 故T,=C21-1) 3++3 设平面A,BC,的法向量为n=(a,b,c), (13分) 4 n AC1=0,,1-2a=0, 则有 故 16.解:(1)证明:易求得AB=4√2,取AB的中点M, n A1B=0,-2a+4b-2c=0, 连接B,M,∠AB,B=90 ,故B,M=2V2,又 令b=1,则n=(0,1,2). (12分) AM∥A,B,且AM=A,B,,故四边形AMB,A, m n 3=√15 是平行四边形,故AA,=B,M=BB,=2√2, 则cos<m,n>=Tm1m5X5=5 (1分) (14分) 同理,取BC的中点N,连接CB,B,N,故由 故二面角A-A,B-C,的正弦值为, CN∥C,B,且CN=C,B,得四边形CNB,C,是 -(- 平行四边形, (2分) √10 (15分) B,N=CC,=2=BC,故CB,1B,B,又AB,1 17.解:(1)“第3次由3号投篮”,即第1次由1号投 B,B,CB,∩AB,=B1,且CB1,AB,C平面 进,第2次由2号投进,概率为分 号行 B,AC,所以B,B⊥平面BAC, 又ACC平面B,AC,所以AC⊥B,B,又AC⊥ (5分) BC,BC∩BB,=B,BC,BB,C平面CC1B,B,所 (2)X的所有可能取值为3,4,5. 以AC⊥平面CC1B,B, (4分) P(X=3)=号x1x21 2X2 3=6, (8分) 又CC,C平面CC,B,B,所以CC1⊥AC, 当X=4时,有一次未投进,分以下三种情况: 因为B,N=BN=2,BB,=22,所以B,N⊥ ,12111 BC,所以CC1⊥BC, 第一次未投进,概率为2 3 2 2=121 数学评分细则(第1页,共3页) 1、1、1、11 第二次未投进,概率为2 2 2 乞=6 当t≠0时,AB的中点为H(212+6,21),故由 koH kB=一1,得 yo-2t 1.1..1.11 第三次未投进,概率为2 2 3 2=24: x。-(212+6) =一1,得 1 y0=31, (15分) (11分) 3 1 1 13 故k==31≤3L ≤ 故P(X=4)=2+6+246' (12分) =2+5≤2+5- 141+T 5 P(X=5)=1-6-i6-48: 1331 (14分) 3 -3√1 2√10 20 ,当且仅当1= 2时,等号成立. 放BCX)=3 日+4x音+5 器-2 4848 .(15分) 综上所述,km的最大值为3y四 20 (17分) 18.解:(1)M1,m)到准线的距离为1+号-2,放 19.证明:(1)f'(x)=4lnx+4r+2 -(2x+4)= p=2, x (2分) 所以抛物线的方程为y2=4x. (4分) 4nx+2-2x, (1分) (2)(i)证明:设直线AB:x=ty十6,代入抛物线 方程,得y2=4(ty+6),故y2-4ty一24=0, 令1(x)=了().则/(x)=兰-号-2= (5分) 设A(x1y1),B(x2y2), 2(x-1)≤0,故'(x)为减函数,在(0,1)上, 则y1y2=-24,则OA 0B=x1x2+y1y2= f'(x)>f'(1)=0, (y1y2)2 在(1,+∞)上,f'(x)<f'(1)=0, (3分) 16 +y1y2=-24)-24=12>0,(7分) 16 故f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调 又A,B,O不共线,故∠AOB为锐角. (9分) 递减, (i)设Q(x),0A的中点为N(2,之),即 故f(x)≤f(1)=0. (5分) (2)(1)要证g(x)有两个零点,即证2x-1) (答学》易知=(-营》0 In x x十m=0有两个解, Nd=x,(x。-)+n(,-学)=0,(10分) 即证2x二1)-1nx=0(x≠1)有两个解, x-m 将x=要代入化简,得管+(2-x,y,一4,=0 令h(x)=2二D-1n,则h'(x)= x-m (), -(x-2x+m),对x2-2x+m2=0, =4- 同理,普+(2-,y:-4=0() x(x-m)2 4m2>0,则x2一2x十m2=0有不同的两个解t1, ()-().得z=2+日i++, t2,则t1+t2=2,t1t2=m2∈(0,1),不妨令0< (12分) <1<42,则h'(x)=二(-)(x-42) ,(8分) x(x-m)2 由y2-4y-24=0, 在(0,t)上,h'(x)<0,在(t1,t2)上,h'(x)>0, 得y1+y2=4t,y1y2=-24, 在(t2,+∞)上,h'(x)<0,其中,在(t1,l2)上, 故y所+y1y2+y2=(y1+y2)2-y1y2= h(x)单调递增,又h(1)=0,故h(t1)<0, 16t2+24, h(t2)>0,在(0,t1)上,当x- 0时,h(x)- +∞, 故xo=2+212+3=212+5, (13分) 又h(t,)<0,故h(x)在(0,t1)上存在唯一零 当t=0时,易知Q(5,0),ko0=0: (14分) 点x1; 数学评分细则(第2页,共3页) 在(t2,十∞)上,当x 十∞时,h(x) 一∞,又 x1+5m+4>0(*). (14分) h(t2)>0,故h(x)在(t2,十∞)上存在唯一零 f(x2)=(4.x2+2)lnx2-(x2+5)(x2-1)<0, 点x2 即-1、4x2+2 n。>x,+5,由g(x2)=0,得n= 综上所述,g(x)有两个零点x1x2,且若x1<x2, 则x1<1<x2 (11分) ,-m,故分(x:-m)>号, 1 +5,即x (i)f(x1)=(4x1+2)lnx1-(x1+5)(x1-1)< (3+m)x2-5m-4>0(*￥), 0 经号曲=6 ()十(**),得 合,-m).放宁红-m)<号, 4x1+2 x-x-(3+m)(x2-x1)>0, 所以x1十x2>3+m. (17分) 即x7-(3+m).x1-5m-4<0,即-x号+(3+m) 数学评分细则(第3页,共3页) 高三数学 参考答案 1.C【解析】M=(-∞,3],N=(1,+∞), 故M∩N=(1,3] (品)]令f(x)=g[()广+(0)],显然 故选C. 了x)为减函数.若x>1,则y-x<g品+)= 2.C【解析】设之=a十bi,a,b∈R,则√a2+b+ 0,故y<x,则②不可能成立;若x<1,则y一x> a-bi=8-4i,故 ∫√a+b+a=8,解得 =3枚 0,故y>x,则④不可能成立;当x=2时,y=lg58∈ -b=-4, =4, (1,2),则x>y>1,①可能成立;当x=0时,y= x=3+4i. lg2∈(0,1),则x<y<1,③可能成立 故选C 故选B. 3.B【解折】恰有1次锁到红球的概率是C 兮 8.D【解析】由4S Ac=c2tanB,得2 acsin B=c2X osB,故2 acsB=c,故2 2sin Acos B=sinC= sin B (侵)= sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,sin(A- 故选B. 4.A【解析】由AB=2=OA,得AD=√3,以A为 B)=0,得A=B.由c2=a BD,即S=BD,易知 原点,AB,AD分别为x轴、y轴正方向,建立平面 ABD∽ CBA,故∠B=2∠C=72 ,∠C=36 , 直角坐标系,则G(1,号),B(2,0.C(25). 设BD=x,AB=y,则AD=CD=y,由y2= -(1,-)元-(1,25). 2+0,得侣)-兰-1-0放兰-15,而 放d.c成=1号-号 ￥-n2C-2osC,故cosC=1+5 x sin C 41 故选D. 故选A. 5.C【解析】设其外接球的半径为R,则(2R)2= 9.AB 【解析】易知中位数是3十3=3,A正确: 2 AB2+BC2+CC?=4+4+16=24,解得R2=6. 10X0.8=8,故第80百分位数是4牛4=4,B正确; 故此长方体外接球的表面积为S=4 R2=24 . 2 故选C. 1 平均数是0 (1+2 2+3 3+4 4)=3,C 6.B【解析】由题意,得e1= e=品由e+ 错误; 号,得e1-分e:=2,且公=r2=a2-m2-3m, 1 方差是0 (2+2 1+3 0+4 1)=1,D 设Pcxo)由+=一8 错误。 3mm3m,得9x号= 故选AB. 8y,所以=22 10.BCD【解析】由等比数列性质,知ad=bc,A yo .易得F,(-m,0),P2(m,0), 错误; 一十 1=6+m+-m-2=2x2 (d-b)-(c-a)=(ag3-ag)-(ag2-a)= yo yo yo 3 a(q-1)2(g+1)>0,B正确; 42 a2+d2>2ad=2bc,C正确; 3 故选B. c=ag=4,a+d=a1+g)=a(1+)= 7.B【解析1y-x=g3+7r)-g10=g[(得)广+ a+4,因为0<a≤1,故a+4在(0,1]上单调递 a a 数学答案(第1页.共4页) 减a十合5,即当a=1时a+d取得最小值5, y≠0y=2可变形为)inx十o0sx=2y,即 q=4≠1,符合题意,D正确. 了中sim(x+p)=2(其中tam9=), 故选BCD. 1.BCD【解析】sin2x=cos(答+x)=sin(号 故121长T1,放-有≤y<0或0<y< x),故2x=号-x+2kx,k∈Z或2x+背-x= 综上所述,画数的最大值为号 x+6∈Z.即x-号+华k∈z或x-受+ 【解析】设切点为(xo,ya),由y= 2k ,k∈Z. 当x=号+2,k∈z时k=0或1x=号或行, 上得y-1兰,切线方程为y- 因为是<<看 1一n(x-,由点(1,b)在切线上,得6- x 所以m亏>如意-m(层-引=,2 n=一h(1一),整理,得 4 1-2x,1n0+6+1-三- za 。话=0,令f(x) 且sin号<si =1 62, =2hE+6+兰-京,则了) x x 所以子(片》: x-1)2Imx-3》,在(0,1)上,f(x)>0, 因为sing .2 f(x)∈(-∞,b);在(1,e)上,f'(x)<0, 听以sing>sin不s1 n6=2 e(完-是+6,b小:在(,+)上: 了)≥0f:)e(安一号+6,0),由愿意知 所以sn号∈(合》即n子∈(合,》: b≥0, 当x=受+2kx,k∈Z时k=0,x- 3,sin 3 使一导+解0<所以6的 誓e(2. 故选BCD. 取值图为6,是 12.(1,-)【解析】由2-2≠0,得x≠1,故函数 15.解:(1)证明:当n≥2时,am+1=3(am-1+1), (2分) f(x)的定义域为(-∞,1)U(1,+∞),又f(2- 故{am+1}是以a1十1=3为首项,3为公比的等 比数列. (5分) (2)由(1)知am十1=3 3”-1=3", (6分) -即f2-x)+fx)=-号放函数fx)的 所以bn=n 3”,故Tn=1 3+2 32+…十n 3”, (8分) 图象的对称中心为(1,一) 故3Tm=1 32+2 33+…十n 3"*1,(10分) 1 【解析】当cosx=0时,y=0:当cosx≠0时, 故2T,= 3 (1-3") 1-3 一nX3+1= 数学答案(第2页,共4页) (1-21) 3"+1-3 令b=1,则n=(0,1,2) (12分) 2 (12分) m n 故T.=2m-1) 31+3 (13分) 则cos<m,n>=Tmm3 5 5, 4 (14分) 16.解:(1)证明:易求得AB=4√2,取AB的中点M, 连接B,M,∠AB,B=90 ,故B,M=2√2,又 故二面角A-A,B-C的正弦值为 AM∥A,B,且AM=A,B1,故四边形AMB1A1 √1 是平行四边形,故AA1=B,M=BB,=2W2, 5 (15分) (1分) 17.解:(1)“第3次由3号投篮”,即第1次由1号投 同理,取BC的中点N,连接CB,B,N,故由 CN∥C,B,且CN=C,B1,得四边形CNB,C,是 进,第2次由2号投进,概率为分 号宁 平行四边形, (2分) (5分) (2)X的所有可能取值为3,4,5. B,N=CC,=2=号BC,故CB11B,B,又AB11 (8分) B,B,CB,∩AB1=B1,且CB1,AB,C平面 B,AC,所以B,B⊥平面B,AC, 当X=4时,有一次未投进,分以下三种情况: 又ACC平面B,AC,所以AC⊥B,B,又AC⊥ 第一-次未投进,概率为宁 号 宁 日-己 BC,BC∩BB,=B,BC,BB,C平面CC1B1B,所 以AC⊥平面CC,B,B, (4分) 第二次未投送,概率为 名 分 宁品 又CC,C平面CC,B,B,所以CC1⊥AC, 111,11 因为B1N=BN=2,BB,=2√E,所以B1N⊥ 第三次未投进,概率为2 2 3 2=24, BC,所以CC1⊥BC, (11分) 又CC1⊥AC,AC∩BC=C,所以CC,⊥平面 1,1,13 故P(X=4)=2+6+24-161 (12分) ABC. (7分) (2)以C为原点,CA,C店,CC,分别为x轴、y P(X=5)=1-6i6-48 13_31 (14分) 轴、之轴的正方向,建立空间直角坐标系C-xy之, 放E0X)=3x日+4x亮+5x器- 1 4848 ,(15分) 18.解:(1)M(1,m)到准线的距离为1+ 2 =2,故 p=2, (2分) 所以抛物线的方程为y2=4x. (4分) (2)(i)证明:设直线AB:x=ty十6,代入抛物线 则C1(0,0,2),A(4,0,0),B(0,4,0),A1(2,0, 方程,得y2=4(ty十6),故y2-4ty-24=0, 2),AB=(-4,4,0),AA=(-2,0,2),A1C= (5分) (-2,0,0),A1B=(-2,4,-2) (8分) 设A(x1y1),B(x2y2), 设平面AA,B的法向量为m=(x,y,之), 则y1y2=-24,则OA OB=x1x2+y1y2= m AB=0,1-4x+4y=0, 则有 故 70+=24 (y1y2)2 m AA,=0,-2x+2x=0, 16 -24=12>0,(7分) 令x=1,则m=(1,1,1), (10分) 又A,B,O不共线,故∠AOB为锐角. (9分) 设平面A1BC1的法向量为n=(a,b,c), (i)设Q(x),0A的中点为N(?,岁),即 fn A1C1=0,1-2a=0, 则有 故 n AB=0,-2a+4b-2c=0, (宫登),易知=(。-若-艺》,0i 数学答案(第3页,共4页) N0=x(x。-曾)+(,-岁)=0,(10分) x十m=0有两个解, 即证2x-1 将,=代入化简,得苦+(2-,-4,=0 x-m -1nx=0(x≠1)有两个解, (￥), 令(x)=2-n,则'() x-m 同理普+(2-:一4,=0( -(x2-2x+m2) x(x-m)2 ,对x2-2.x+m2=0, =4一 ()-()得。=2+日i++》. 4m2>0,则x2-2x+m2=0有不同的两个解t1, t2,则t1+t2=2,112=m2∈(0,1),不妨令0< (12分) 由y2-4ty-24=0, 4<1<1,则h'(x)=-(x-41)(x-42 ,(8分) x(x-m)2 得y1+y2=4t,y1y2=一24, 在(0,t)上,h'(x)<0,在(t1,t2)上,h'(x)>0, 故y?+y1y2+y?=(y1+y2)2-y1y2= 在(t2,十∞)上,h'(x)<0,其中,在(t1,l2)上, 16t2+24, h(x)单调递增,又h(1)=0,故h(t1)<0, 故xo=2+212+3=212+5, (13分) h(t2)>0,在(0,t1)上,当x 0时,h(x)- +∞, 当t=0时,易知Q(5,0),k00=0; (14分) 又h(t1)<0,故h(x)在(0,t1)上存在唯一零 当t≠0时,AB的中点为H(2t2+6,2t),故由 点x1; qm km=-1,得一。-2L 在(t2,十∞)上,当x 十∞时,h(x)-∞,又 x。-(22+6) 士=-1.得 h(t2)>0,故h(.x)在(t2,+o∞)上存在唯一零 y0=31, (15分) 点x2 故ko== 3 ≤ 综上所述,g(x)有两个零点x1,x2,且若x1<x2, 2牛5态+ 2川+ 5 则x1<1<x2 (11分) (i)f(x1)=(4x1+2)lnx1-(x1+5)(x1-1)< 2√1而=20,当且仅当1=0, 3=30」 2时,等号成立 0,即1<4x,+2 nx<x+5,由g(x)=0,得二1- In zI 综上所述,km的最大值为3 (17分) 1 1 20 (x1一m),故2(x1-m)< 4.x1+2 x1+5 19.证明:1)'(x)=4nx+4红+2-(2x十4)= 即x号-(3+m)x1-5m-4<0,即-x+(3+m) x1+5m十4>0(*). (14分) 4nx+2-2x, (1分) f(x2)=(4.x2+2)lnx2-(x2+5)(x2-1)<0, 令1x)=/(x.则1)-兰-是-2- 即-1、4x2+2 nx>+5,由g(x)=0,得二1- In x2 _2(x-1)≤0,故'(x)为减函数,在(0,1)上, 1 2x2一m),故之(x2一m)之x2+5,即x日 '(x)>f'(1)=0, (3+m)x2-5m-4>0(**), 在(1,+∞)上,f'(x)<f'(1)=0, (3分) ()十(**),得 故∫(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调 x-x-(3十m)(x2-x1>0, 递减, 所以x1+x2>3+m. (17分) 故∫(x)≤f(1)=0. (5分) (2)(1)要证g(x)有两个零点,即证2x-1D- In x 数学答案(第4页,共4页)