2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

2025-2026学年上学期期末考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．满足的集合的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．15 2．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．下列函数中最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 4．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 5．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．的值为（    ） A． B． C． D． 7．设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的其中一条对称轴为 C．函数在上的值域为 D．函数的图象向右平移单位长度后可以得到函数的图像 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数有3个零点 B．若函数有四个零点，则 C．若关于的方程有四个不等实根，则 D．若关于的方程有8个不等实根，则 11．已知函数（），则下列说法正确的是（   ） A．当时，函数在上的最大值为 B．当时，函数的最小正周期为 C．当，时，函数的值域为 D．对任意的正整数，函数的图象都关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的定义域是 ． 13．，用表示，，中的最小者，记为，例如中的最小值为，则函数的最大值为 . 14．如图，要在一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为 ，此时 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．    (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 16．（15分）已知均定义在上的奇函数与偶函数满足． (1)求与的解析式； (2)用定义法证明：在上单调递增； (3)证明：存在实数，使得，并解不等式：． 17．（15分）已知函数，求： （1）的最小正周期及最大值； （2）若且，求的值； （3）若，在有两个不等的实数根，求的取值范围. 18．（17分）已知函数， (1)若，且为偶函数，求； (2)若函数的图象与直线有公共点，求a的取值范围； (3)若函数，是否存在m，使为负数，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由. 19．（17分）定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.例如，函数就是中心对称函数，其对称中心为. (1)已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值； (2)已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，求其对称中心； (3)若连续函数具有以下性质：①定义域为，②在区间[0，4]上单调递减，③，都有.函数，求使不等式成立的实数的取值范围. 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期末考试 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B B D D A BCD ACD 题号 11 答案 ACD 12． 13．4 14． / 15．(1)； (2)，. 【详解】（1）设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以图中阴影部分的面积为．·············6分 （2）因为， 的横坐标为， 所以的纵坐标为，则， 所以，.·············13分 16．(1)，(2)证明见详解(3)证明见详解， 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， 由①，将替换为得，，即②， 联立①②，相加得，； 相减得，； 的解析式为，的解析式为.············4分 （2）由（1）知，设， 则 ， ，，，，， ，即，在上单调递增.············8分 （3）由（1）知，， ， ，即存在实数满足条件； 将，代入不等式得，， ，，即， 两边同时乘以得，即， ，，， 不等式的解集为.············15分 17．（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）；（3）. 【详解】（1）， 所以，函数的最小正周期为，最大值为；············4分 （2），则， ，可得，，解得； ···········8分 （3）当时，，令，则. 由可得，即，即， 所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示： 由上图可知，当时，即当时， 直线与曲线在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是.············15分 18．(1)5(2)(3)存在， 【详解】（1）因为函数是偶函数，. 所以， 解得：，经验证符合题意.············4分 （2）原题意等价于方程有解，即方程有解，令， 又，x=0时等号成立 故函数的值域是，故实数a的取值范围为； ············9分 （3）由题意可得， 令，， 当且仅当时取等号. 所以，故， 存在，使为负数.············17分 19．(1)，(2)(3) 【详解】（1）由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故. 令，则有， 又因为当时，，故， 所以.············4分 （2）由，得，所以的定义域为. 因为对于， 有， 所以函数的对称中心为.············8分 （3）因为，都有，所以函数的图象关于点中心对称. 又因为在区间[0，4]上单调递减，所以在区间上单调递减. 由得，， 因为， 所以， 化简得， 所以. 因为函数的定义域为，所以函数的定义域为. 又因为函数且在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 所以，解得. 所以实数的取值范围为.············17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $