精品解析：2025--2026学年九年级数学上学期期末模拟卷2026.1.20

九年级数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线 的对称轴为直线 C. 抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D. 抛物线 的顶点坐标为 3. 物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关，，中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知线段，点C、D都是线段AB的黄金分割点，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 5. 平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 6. 如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，的顶点均在格点上，则∠ABC的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 8. 如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（ ）． A. 四边形一定是平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 当时，四边形为矩形． 9. 如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 10. 如图，已知中，，，以为腰向外作等腰，，连结，则线段的最大值为（　　） A. B. 6 C. D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，都是锐角，且，则的度数为______． 12. 若m，n为方程的两个实数根，则_______． 13. 如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为_____． 14. 已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点． （1）若点的横坐标为2，则的值为____________． （2）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为____________． 三、解答题： 15. 计算：． 16. 如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，求的长． 17. 如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 18. 苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表个原子，通常省略原子）． 已知：个苯的结构式是 ，结构简式为 ，分子式是； 个苯环相连结构式是 ，结构简式为 ，分子式是； 个苯环相连结构式是 ，结构简式为 的分子式是； 根据以上规律，回答下列问题： （1）个苯环相连的分子式是______； （2）个苯环相连的分子式是______； （3）试通过计算说明分子式为是否属于上述类型的芳香族化合物． 19. 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求点D到地平线的距离； （2）求大树的高度．（参考数据：，，） 20. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 21. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）直线经过点A，判断点B是否在直线上，并说明理由； （3）平移抛物线使其顶点仍在直线上，若平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为n，求n的取值范围． 23. 如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F． （1）求的值； （2）如图2，当旋转，且时，求的值； （3）如图3，当时，过点O作，交的延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．根据三视图逐项判定即可． 【详解】解：由题意知，该几何体分上下两层，上层为圆柱，下层为长方体，故选项A，B，D均不符合题意，则该几何体如下；     故选：C． 2. 下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线 的对称轴为直线 C. 抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D. 抛物线 的顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和题目中函数的解析式，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】A. 当时，抛物线的开口向下，A选项错误； B.抛物线 的对称轴为直线，B选项错误； C.抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小，C选项正确； D.抛物线 的顶点坐标为，D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟记二次函数的性质． 3. 物理某一实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关，，中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与画树状图求概率，画树状图得出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率为． 故选：A． 4. 已知线段，点C、D都是线段AB的黄金分割点，则CD的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，黄金分割点将一条线段分为两部分，使得较长线段与全线段的比值为． 根据黄金比值，求出的长，根据即可解答． 【详解】解：∵C、D是上的两个黄金分割点，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 6. 如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，的顶点均在格点上，则∠ABC的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理计算得出，可得出，由勾股定理得，从而可得出． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得， ∴ 又 ∴点E为BC的中点， ∴， ∴ ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理，利用勾股定理求出AE的长度是解题的关键． 7. 反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵，，三点在双曲线上， ∴当时，，则：，故A选项正确； 当且时，，当且时，，故B选项错误； 当时，，则：，故C选项错误； 当且时，则：；当且时，则：，故D选项错误； 故选A． 8. 如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（ ）． A. 四边形一定是平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 当时，四边形为矩形． 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意证出四边形是平行四边形，再分别证明当时，当时，当时，四边形的形状即可． 【详解】连接， 分别为四边形各边的中点， ， 且， ， 且， 故四边形为平行四边形，故A正确； 当时， 故平行四边形不是矩形，B错误； 当时，则，故四边形为菱形，C正确； 当时， ， ， 故四边形为矩形，D正确； 故选：B． 【点睛】该题主要考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，以及三角形中位线定理，解题的关键是掌握各种四边形的性质和判定方法． 9. 如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点、关于对称轴对称判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线，， ∴， ∴，关于对称轴对称， ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④ 故选：A 10. 如图，已知中，，，以为腰向外作等腰，，连结，则线段的最大值为（　　） A. B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等及性质，勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，连接，可证得，进而可知，取的中点E，连接、，得到的长度，通过勾股定理算出，进而通过，即可知道答案． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，连接，则，， ∵以为腰向外作等腰，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 取的中点E，连接、，则， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最大值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在中，，都是锐角，且，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查偶次幂与绝对值的非负性及特殊三角函数值，熟练掌握偶次幂与绝对值的非负性及特殊三角函数值是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为． 12. 若m，n为方程的两个实数根，则_______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系． 利用一元二次方程的解得到，即，根据根与系数的关系得到，进而可求的值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， 即， ∵m和n是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：2026． 13. 如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质得到和利用特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设点的坐标为，则， ∴，， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、特殊的锐角三角函数值，能够求得是解题的关键． 14. 已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点． （1）若点的横坐标为2，则的值为____________． （2）若点，点均在轴的上方，则的取值范围为____________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）直接将代入两个函数解析式，再将它们联立求解即可； （2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再分类讨论，当时，点，点均在轴的上方，当时，点，点均在轴的上方，分别求解即可． 【详解】（1）由题意得，当时，， 解得， 故答案为：； （2）当时，， 解得或， 当时，若点，点均在轴的上方， 当时，则， 解得， ∴； 当时，若点，点均在轴的上方， 当时，则， 解得， ∴； 综上，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点，与一次函数图象的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 三、解答题： 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂． 先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 16. 如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理． 连接，先利用垂径定理得，再利用勾股定理计算出，所以，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：连接， ∵，且是直径， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 在中，． 17. 如图，点O为菱形的对角线，的交点，过点C作于点E，连接，若，．求菱形的面积. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质． 根据菱形对角线互相平分可知，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，得到，根据，可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 18. 苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表个原子，通常省略原子）． 已知：个苯的结构式是 ，结构简式为 ，分子式是； 个苯环相连结构式是 ，结构简式为 ，分子式是； 个苯环相连结构式是 ，结构简式为 的分子式是； 根据以上规律，回答下列问题： （1）个苯环相连的分子式是______； （2）个苯环相连的分子式是______； （3）试通过计算说明分子式为是否属于上述类型的芳香族化合物． 【答案】（1） （2） （3）分子式为属于芳香族化合物 【解析】 【分析】（1）根据题意，找出个苯，个苯环，个苯环中原子，原子的数量关系即可求解； （2）根据（1）中原子，原子的数量关系即可确定个苯环的分子式； （3）根据（2）中的分子式即可求解． 【小问1详解】 解：个苯的结构式中有一个六边形（个原子，个原子）， 个苯环的结构式中有一个六边形（个原子，个原子）加上一个五边形（个原子，个原子）， 个苯环的结构式中有一个六边形（个原子，个原子）加上一个五边形（个原子，个原子），再加上一个五边形（个原子，个原子）， ∴原子的个数是， 原子的个数是， ∴个苯环结构中原子的个数是， 原子的个数是， ∴个苯环相连的分子式是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可知，原子的个数是， 原子的个数是， ∴个苯环相连的分子式是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：分子式为， ∴，解得，；，解得，；即当时，苯环分子式为， ∴分子式为属于芳香族化合物． 【点睛】本题主要考查数字、图形的规律探究，理解表示的含义，掌握有理数的规律运算是解题的关键． 19. 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求点D到地平线的距离； （2）求大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1）点到地平线的距离为4米 （2）大树的高度是20米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米然后利用仰角，俯角及正切即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，则， 由题意知：米，斜面的坡比为， ， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， ， ，即米， 点到地平线的距离为4米； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点，设米， 由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， 在中，， ， ，经检验：是原方程的解， （米）， 答：大树的高度是20米． 20. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵点，， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 21. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】（1），； （2） 补全条形统计图如图， （3）人； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率的求法，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）根据对课程感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数，然后通过对课程感兴趣的学生人数除以总人数再乘以即可求出的值； （）由（）总人数减去人数，即可得到抽取部分学生对课程感兴趣的学生人数，然后补全条形统计图即可； （）用乘以对课程感兴趣的学生所占百分比即可求解； （）由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 此次被调查的学生总人数为（人）， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 抽取部分学生对课程感兴趣的学生有（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校对感兴趣的学生有人； 【小问4详解】 情况：列表格， 甲 乙 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴； 情况：画树状图， 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）直线经过点A，判断点B是否在直线上，并说明理由； （3）平移抛物线使其顶点仍在直线上，若平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为n，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）点不在直线上. 理由：直线经过点， ，解得， 所以直线解析式为. 把代入，得， 点不在直线上； （3） 【解析】 【分析】对于（1），将两个点的坐标代入关系式，再求出解即可； 对于（2），将点A的坐标代入求出直线关系式，再将点B的横坐标代入说明即可； 对于（3），由题意将顶点坐标代入顶点式，再将平移后的坐标代入，并讨论即可． 【小问1详解】 抛物线经过点，， ∴， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 平移抛物线，其顶点仍在直线上， 设平移后的抛物线的解析式为， ． 设平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标为，则． 的取值范围为. 23. 如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F． （1）求的值； （2）如图2，当旋转，且时，求的值； （3）如图3，当时，过点O作，交的延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）变化， 【解析】 【分析】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意得到，，证明，，； （2）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论； （3）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， 又∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，垂足分别为． 由（1）得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的值有变化． 过点作，垂足分别为． 同理， ∴， ∵， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $