精品解析：广东省深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学2026届高三上学期港澳班第一次联考数学试题

广东省深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学2026届高三上学期港澳班第一次联考数学试题 考试科目：数学 考试时长：120分钟 命题学校：中山纪念中学 审题学校：松山湖未来学校 注意事项： 1、答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效. 2、选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦干净. 3、解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出题框. 一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 4. 如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则实数、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）． 11. 的展开式中常数项是______.（用数字作答） 12. 已知函数，则______． 13. 设，若，则______. 14. 若点，则两点间距离的最小值为__________. 15. 如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________． 三、解答题（本题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若的面积为，求AB上的高CD． 17. 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 18. 已知函数 （1）求出函数在上的最值 （2）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳中学、顺德一中、松山湖未来学校、中山纪念中学2026届高三上学期港澳班第一次联考数学试题 考试科目：数学 考试时长：120分钟 命题学校：中山纪念中学 审题学校：松山湖未来学校 注意事项： 1、答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效. 2、选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦干净. 3、解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出题框. 一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，再根据集合的交集定义得出答案. 【详解】，故， 故选：C. 2. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则可得答案. 【详解】由复数 满足 为虚数单位)， 可得 ， 所以 . 故选： D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，则 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以 则； 故选B 4. 如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直斜率关系和中点由点斜式求解即可. 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 5. 已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 6. 若，，则实数、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 7. 某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为，由圆台的体积公式求解． 【详解】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为， 因为表面积为，下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm， 所以，解得， 设水桶的高为，如图所示： ， 所以水桶的容积为. 故选：B 8. 已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，则轴为该函数图像的一条对称轴； 由函数为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心. 由函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位， 可得到函数的图象，则是函数的一个对称中心. 所以直线是函数图象的对称轴，是函数图象的对称中心， 因为是函数图象的对称中心，所以，则， 将代入中得到，解得， 所以. 故选：D. 9. 高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可. 【详解】1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种； 2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况： 当插入前2个空有种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种； 当插入后2个空有种，再把甲插入有种； 所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种， 而六位同学任意安排的方法数为种， 所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为. 故选：B 10. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设，则， 由，解得或， ∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即， 即， 则，所以，则， 即，所以 ∴． 故选：C. 【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）． 11. 的展开式中常数项是______.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】求出展开式通项公式，令，解得，从而求出常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 则，故展开式中常数项为15. 故答案为：15 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求导，当时，代入求得，则，再求即可． 【详解】， 则， 当时，，解得， 所以， ， 故答案为：． 13. 设，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助两角差的正切函数公式化简并计算可得，然后利用正切函数定义即可得解. 【详解】， 整理得， 因为，所以，所以， 则. 故答案为：. 14. 若点，则两点间距离的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得点在直线上，点在曲线上，在曲线上找到与直线平行的切线，则该切线与直线的距离即为的最小值. 【详解】点在直线上，点在曲线上， 即求的最小值等价于求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值， 过上的点作的切线，可得， 令，可得，故该切线为， 则直线与的距离即为的最小值， 此时，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于观察出点在直线上，点在曲线上，则可借助求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值得到的最小值. 15. 如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【详解】取中点，连接，则， 所以， ，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 故答案为： 三、解答题（本题共4小题，每题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若的面积为，求AB上的高CD． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系解得，再使用正弦定理即可求解； （2）根据面积求解，再利用余弦定理求得，再次使用面积即可求解. 【小问1详解】 根据,，可知： 因为，即， 所以，即; 【小问2详解】 ，解得， 则，解得， 则，代入，解得 17. 已知数列满足，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）记，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） 由，得， 又，，所以， 所以，， 即是以1为首项，3为公比的等比数列； （2） （3） 由（2）得， 所以， 所以， 显然是递增数列，所以. 因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）利用结合等比数列的定义即可得证； （2）利用累加法即可求得的通项公式. （3）利用裂项相消法即可求解，根据其单调性即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 当时， . 当时，也成立，所以的通项公式为； 【小问3详解】 略 18. 已知函数 （1）求出函数在上的最值 （2）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性，结合区间端点函数值比较大小即可求解最值； （2）把不等式化为，由的单调性结合端点函数值分析求解即可； 【小问1详解】 因为，，所以， 令，令， 因为函数，在上单调递减， 所以在上单调递减，又， 所以方程得解为， ，的变化情况如下表所示． x e + + 0 单调递增 单调递减 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 当时，有极大值，也是的最大值. 又因为，， 所以，所以为的最小值. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为的最大值，， 所以，时，最大，所以不等式， 即存在唯一的整数解只能为1， 所以，所以 所以a的取值范围为. 19. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2），或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可 （3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为该椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率为零时，此时方程为，此时， 显然此时，不符合题意， 故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， 由 ， 所以直线的方程为，或； 【小问3详解】 由（2）可知：，所以 因此的坐标为， 设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ， 所以的坐标为， 因为的斜率乘积为， 所以，因此的坐标为， 显然边与横轴平行， 因此， 即 即时，取等号，即当时取等号， 所以面积的最大值. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出的坐标，再根据直线斜率的关系，把两个点的坐标统一一个变量，最后利用基本不等式进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $