精品解析：福建省厦门市同安实验中学2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题

厦门市同安实验中学2025-2026学年第一学期 高二年级期末检测 数学学科试题 试题总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：张理想、邢伟 审核人：徐惠真 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率公式即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：A. 2. 已知正项等比数列满足，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据等比中项的定义可得结果. 【详解】因为正项等比数列中，且， 根据等比数列的性质得，即或（舍去）. 故选：B. 3. 已知抛物线的焦点为，上一点到直线的距离为2027，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】确定抛物线的焦点坐标与准线方程，结合抛物线的定义与已知距离即可得的值. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为直线， 若抛物线上一点到直线的距离为2027，则它到直线的距离为3， 由抛物线定义可得. 故选：C. 4. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】结合图形，易得 又因为点M，N分别为，的中点， 故，，， 所以. 故选：A. 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长（单位：尺）依次成等差数列，小寒的日影长为13.5尺，雨水的日影长为10.5尺，则立夏的日影长为（ ） A. 6.5尺 B. 3.5尺 C. 4.5尺 D. 5.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出等差数列的公差，然后利用等差数列的通项公式求出立夏的日影长. 【详解】根据题意，将冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影长 记作. 由题意知，，那么该等差数列的公差为. 所以立夏的日影长为尺. 故选：D. 6. 若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与圆有公共点，说明圆心到直线的距离小于等于圆的半径，然后列出不等式求解. 【详解】因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即，即，解得. 故选：C 7. 如图，在正方体中，，分别是棱的中点，下列说法错误的是（　　） A. 平面 B. 与所成角为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A选项；连接，由，知或其补角即为所求线线角，再根据是等边三角形，即可判断B选项；建立空间直角坐标系分别求出与，即可判断C选项；利用等体积法求点到面的距离即可判断D选项. 【详解】 对于A，由正方体知，， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，则，所以或其补角即为与所成角， 由正方体知，，所以为正三角形， 所以，所以与所成角为，故B正确； 对于C，由正方体知，两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，所以，， 所以，所以，即与不垂直，故C错误； 对于D，的面积为， 所以三棱锥的体积为； 的面积为，设点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为； 因为，所以，解得， 即点到平面的距离为，故D正确. 故选：C. 8. 椭圆的右焦点为，，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，结合椭圆的焦半径范围建立齐次式计算即可. 【详解】由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即， 因为， 设点，则，则， 所以 ， 所以，即， 整理可得，可得，故， 又因为，故， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：D． 二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，在部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. 10. 在四棱台中，底面，正方形的边长为4，，，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 当点在侧面内（含边界）运动时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可判断A，利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直，即可判断B，利用空间向量法来求异面直线所成角的余弦值，即可判断C，利用空间向量法来求数量积，即可判断D． 【详解】 如图，由正方形的边长为4，，，可得： ，故A正确； 由底面，底面，则， 因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 即是平面的一个法向量，故B正确； 如图建立空间直角坐标系，由正方形的边长为4，，，可得： ， 则 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 当点在侧面内（含边界）运动时，可设，则 所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（ ） A. 点到渐近线的距离为3 B. 若，则最小值是 C. 当时，的面积为 D. 若为坐标原点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质结合双曲线的定义得到点为的左顶点确定，再由渐近线方程得到，进而得到双曲线方程即可判断A；对于B，由得，再由三点共线求解即可；对于C，由内切圆半径为、内切圆关系得到，利用三角形面积公式求解即可；对于D，由向量的线性运算和数量积的运算律结合余弦定理求解即可. 【详解】如图， 设的内切圆与，，的切点分别为，，，则，，， 因为点为上位于第二象限内一点，所以，因为，， 所以， 则点即为的左顶点，又，所以，因为，所以，所以， 所以，，双曲线：， 对于A，，渐近线为，所以点到渐近线的距离为，故A错误； 对于B，，所以，所以， 当，，三点共线时，的最小值是，，如图， 所以，故B正确； 对于C，，即内切圆半径为，所以， 所以，即为直角三角形，所以， 所以的面积为，故C正确； 对于D选项，，所以， 整理可得， 又， 两式相加可得， 即，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本小题共3题，每小题5分，共15分. 12. 点到双曲线的一条渐近线的距离为______. 【答案】##1.8 【解析】 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故答案为： 13. 直线与曲线相切于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在直线上求出的值，对函数求导，根据切点斜率可求出值，代入点解方程，即得解 【详解】因为直线与曲线相切于点， 将代入可得，解， 因为，所以 由，解得，可得， 因为点在曲线上， 所以，解得． 故答案为： 14. 已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 【答案】7893 【解析】 【分析】先确定的前2025项中的项数，然后计算的前63项的和，然后计算插入的2的个数和总和，从而求得结果. 【详解】由于在和之间插入个形成一个新数列， 所以新数列中包含至的总项数由个项和个插入的2构成， 总项数为. 计算最大的，使得，当时，， 即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为项，为插入的2. 数列的前63项的和为，的前2016项中插入的2的个数为个， 从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为个，则插入的2的和为. 所以的前2025项的和为. 故答案为：7893. 四、解答题：本小题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）， 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 17. 已知等差数列满足，，，成等比数列；数列满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）数列的前n项和为，证明． 【答案】（1）；； （2）由（1）知：， ． 【解析】 【分析】（1）由等比数列的性质求得等差数列的公差，进而可得通项公式，由，利用累加法可求得通项公式； （2）用裂项相消法求得和后可证得不等式成立． 【详解】（1）由条件易知，即，解得： ， 由，知，当时， ， 当时，也适合上式，故． （2）略 【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列的通项公式，考查累加法求通项公式及等比数列的性质，裂项相消法求和，求数列和常用的方法： （1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； （3）（数列为等差数列）：裂项相消法； （4）等差等比数列：错位相减法. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点在棱上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） 由题平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，是棱的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直证明平面则可证，再结合，从而可求证平面. （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用点到面距离的向量求法即可求解； （3）设，，则，再利用向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值，再结合二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题平面，且， 所以以点为坐标原点，以所在直线为轴，如图所示， ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，，则， 则点到平面的距离. 【小问3详解】 设，，则， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 由（2）可得平面的一个法向量为， 平面与平面所成锐二面角为， 所以， 因为，对于二次函数，其对称轴， 当时，取的最小值， 当或时，取的最大值， 所以，则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围为. 19. 已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心. （1）求椭圆的离心率； （2）如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值； （3）试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 设直线的方程为， 联立，得， 设，，，则，， 因为原点为的重心，所以，， 所以. （3） 因为原点为的重心，所以当直线的斜率不存在时，必有或， 当时，直线的方程为；当时，直线的方程为， 将或者代入椭圆方程，均求得， 又点到直线的距离均为3，因此. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由（2）知，， ，， 因为在椭圆上，代入椭圆方程可得， 化简得， 又 ， 到直线AB的距离为： ， 所以为定值. 综上所述，的面积是为定值. 【解析】 【分析】（1）利用条件直接求出，从而求出椭圆的离心率； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程得，设，，，由结合重心坐标公式可得，，表示出，由韦达定理代入化简即可得出答案； （3）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，利用条件分别求出的面积，从而判断出是否为定值. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，解得， 所以椭圆E的离心率. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026学年第一学期 高二年级期末检测 数学学科试题 试题总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：张理想、邢伟 审核人：徐惠真 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 2. 已知正项等比数列满足，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 3. 已知抛物线的焦点为，上一点到直线的距离为2027，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长（单位：尺）依次成等差数列，小寒的日影长为13.5尺，雨水的日影长为10.5尺，则立夏的日影长为（ ） A. 6.5尺 B. 3.5尺 C. 4.5尺 D. 5.5尺 6. 若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，，分别是棱的中点，下列说法错误的是（　　） A. 平面 B. 与所成角为 C. D. 点到平面的距离为 8. 椭圆的右焦点为，，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，在部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B. 等比数列是递增数列，则的公比 C. 若数列的前项和为，则数列是等差数列 D. 若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 10. 在四棱台中，底面，正方形的边长为4，，，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 当点在侧面内（含边界）运动时， 11. 已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（ ） A. 点到渐近线的距离为3 B. 若，则最小值是 C. 当时，的面积为 D. 若为坐标原点，则 三、填空题：本小题共3题，每小题5分，共15分. 12. 点到双曲线的一条渐近线的距离为______. 13. 直线与曲线相切于点，则_______． 14. 已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为__________. 四、解答题：本小题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 17. 已知等差数列满足，，，成等比数列；数列满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）数列的前n项和为，证明． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点在棱上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 19. 已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心. （1）求椭圆的离心率； （2）如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值； （3）试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $