精品解析：广东省深圳科学高中2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题

深圳科学高中2025-2026学年第一学期期末考试试题 科目：高一数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 注意事项： 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题且，命题且，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若的定义域为，则的取值范围是 C. 若，则的单调递增区间为 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 关于直线对称 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 13. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数___________． 14. 已知，则的最大值为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 16. 已知函数， （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 17. 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）． （１）求的函数关系式； （２）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）当取何值时，方程在上有实数解． 19. 对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． （1）判断集合是否具有“性质”，并说明理由； （2）证明：五元正整数集合不具有“性质”； （3）证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳科学高中2025-2026学年第一学期期末考试试题 科目：高一数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 注意事项： 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解集合，再求两集合的交集可得. 【详解】， ， 则. 故选:B. 2. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 3. 已知命题且，命题且，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质可得必要性，利用举反例可得不充分性，即可作出判断. 【详解】由且，可推出：且，故是的必要条件， 但且，不一定能推出且， 比如：，满足且，但不满足且， 故是的不充分条件， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正切函数的二倍角公式可得，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得. 【详解】，， 又，可得， 即，且、，故. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】， 所以， 所以， ， 所以. 故选：D 6. 已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 7. 勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得点为圆心的扇形的面积和的面积，进而求得勒洛三角形面积. 【详解】如图所示，，以点为圆心的扇形的面积为， 且的面积为， 所以勒洛三角形面积为. 故选：A. 8. 定义在上的函数满足，，，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，，利用赋值法求得，再结合时，求得，再根据即可求出答案. 【详解】因为，， 令，由得，所以， 又因为， 令，由可得， 同理可得，，， ，， 令，由得， 令，由得， 同理可得，，， 因为当时，， 而， 所以，， 所以 令，由得， 故. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，诱导公式即可证明正确；对于，若,显然,可得错误；对于,利用诱导公式,三角形内角和定理可得正确． 【详解】对于正确; 对于,正确; 对于显然,故错误; 对于,由为锐角,可得:,可得: ,正确. 故选:. 【点睛】本题考查诱导公式在解三角形中的应用,难度较易. 10. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为偶函数 B. 若的定义域为，则的取值范围是 C. 若，则的单调递增区间为 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】若，确定函数的定义域，根据奇偶性的定义判断A即可；根据对数复合函数的定义域列不等式结合一元二次不等式的解求解的取值范围即可判断B；根据对数复合函数的单调性，先确定函数的定义域再分别确定内层函数与外层函数的单调性得的单调增区间即可判断C；根据单调区间结合复合函数单调性求解的取值范围即可判断D. 【详解】当时，，定义域是，满足，是偶函数，故A正确； 若的定义域为，则的解集为，则，解得，故B正确； 若，则，由得或， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 且函数为增函数，则的单调递增区间是，故C错误； 若在上单调递减，由于的对称轴是，因此有，即， 且时，，因此有，即，D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 关于直线对称 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】A项特值可得；B项由定义证明；C项证明成立即可；D项由对称性分析当时，是否成立即可. 【详解】A项，， ， 得，所以不是偶函数，故选项A错误； B项，， 所以是以为周期的周期函数，故选项B正确； C项， ， 所以关于直线对称，故选项C正确； D项，由关于直线对称， 只需看当时，是否成立. 当时，，，， ，所以，即； 又因为， 所以， 所以，即， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【解析】 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 13. 已知幂函数的图像不经过原点，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及其性质求解. 【详解】由幂函数的定义及其性质可得，解得， 故答案为：. 14. 已知，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合和，再根据交集运算求出结果. （2）根据 得到，然后分和两种情况讨论. 【小问1详解】 或. . 或. 【小问2详解】 . 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 已知函数， （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式对进行化简，根据复合函数的单调性结合正弦函数的图象即可求出答案； （2）利用换元法令，根据的范围求出的范围，结合正弦函数图象求出的范围，即可求出在上的值域，即可求出答案； （3）求出变换后的函数解析式，将函数的零点转化为方程的解，求出的值，再结合，即可求出在上的零点，求和即可得到答案. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 令，因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为，，所以， 所以当时，取得最大值， 即，则， 则在区间上的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 函数的图象向左平移个单位得， 纵坐标伸长为原来的2倍得， 所以， 令，即， 所以或， 即或， 又，所以只能取，所以或或或， 即函数在上的零点为， 所以函数在上所有零点之和为. 17. 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）． （１）求的函数关系式； （２）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) 当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元. 【解析】 【详解】（1） （2）当时 ， 当时， 当且仅当时，即时等号成立 答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元. 点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，在解题的过程中，注意认真审题，找出等量关系式，求得函数解析式，之后应用函数的解析式求得函数的最值. 18. 已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）当取何值时，方程在上有实数解． 【答案】（1） （2）在上为减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合奇函数的性质求解即可； （2）结合函数单调性的定义进行证明； （3）求得在区间上的值域，结合图象求解即可. 【小问1详解】 依题意，是定义在实数集上的奇函数，所以， 当时，， 则， 所以. 【小问2详解】 在上为减函数，证明如下： 当时，， 任取， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上为减函数. 【小问3详解】 由（2）可知在上为减函数， 则时，， 而是定义在实数集上的奇函数，图象关于原点对称， 所以时，， 又，有最小正周期2， 且，则， 画出函数的大致图象： 方程在上有实数解， 则函数与在上有交点， 则或或，解得或或， 所以. 19. 对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． （1）判断集合是否具有“性质”，并说明理由； （2）证明：五元正整数集合不具有“性质”； （3）证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 【答案】（1）不具备“性质”，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）若去掉一个数时，可得集合，得到剩余所有元素之和为，不能分成相等的两个数，所以不具备“性质” （2）若去掉元素，得到或，若去掉元素，得到或，分别联立方程组，推出矛盾，即可得证； （3）设集合中所有元素之和为，得到为偶数，且的奇偶性必相同，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合题设中“性质”定义，进行推理，即可求解. 【小问1详解】 集合， 若去掉任意一个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”， 对于集合， 若去掉一个数时，可得集合， 可得，其中为奇数，不能分成相等的两个数， 所以不具备“性质” 【小问2详解】 证明：由五元正整数集合， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 所以当时，集合一定不具备“性质” 【小问3详解】 证明：由集合， 设集合中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 所以的奇偶性必相同， ①若为奇数，则为奇数，所以必为奇数； ②若为偶数，此时取，可得仍满足题设中的条件，集合也具备“性质”， 若仍为奇数，由①知，集合具备“性质”，此时为奇数； 若仍为偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数，且具备“性质”的集合， 综上可得，集合中的元素个数为奇数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $