第5章 复数（单元自测·提升卷）数学北师大版必修第二册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第5章复数能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 6 P B D C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BCD CD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2+2i,(答案不唯一，只需a=±2，b=±2即可) 13.0 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 【解】(1)由31=1-ai,22=3-4i,得z1+22=4-(4+a)i, 而由己知+是实数， 于是4+a=0,解得a=-4, 所以z122=(1+4i(3-4i)=19+8i; (2)依题意， _1-ai_1-ail3+41_3+4a+4-3aji 是纯虚数， z23-4i（3-4i)3+41) 25 因此4如≠0解得a=头 3+4a=0 4’ 所以5=1+子，- 3 4 16.(本小题满分15分) 【解】(1)原方程可化为x2-xtan0-2-(x+1)i=0,方程有实数根，设为x, x2-xtan0-2=0 x=-1 x+1=0 tan=1 1/3 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 又0是锐角，故0=交 4 (2)假设方程有纯虚数根，可设根为bi,b≠0，beR, 则x2-(tan0+i)x-(2+i)=0化为-b2-(tan0+i)bi-2+i)=0, 即-b2-ibtan0-2+b-i=0,可得-b2+b-2=0, 因为△=12-4×-1×-2)<0，所以方程-b2+b-2=0无实根 故假设不成立，所以方程无纯虚数根： 17.(本小题满分15分) 【解】(1)因为z1=4-3i,22=-5-4i, 则z22=(4-3i(-5-41=-20-16i+15i+12i2=-32-i, 又Z4,-3,Z2-5,-4, 所以0Z=(4,-3),0Z,=(-5,-4, 所以0z·0Z,=4×(-5)+(-3)×-4)=-8: (2)因为z1=a+bi,z2=c+ia,b,c,d∈R), 所以z2,=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i, 可得zz=(ac-bd2+(ad+bc)2； 因为0Z=(a,b),0Z,=(c,d), 所以0Z0Z,=ac+bd,oZ.0z=(ac+bd2, 因此l2-oZ·0Z=(ac-bd)2+ad+bc)2-(ac+bd月 =(ad+bc)2-4abcd=(ad-bc2≥0， 所以0Z0Z≤， 当且仅当ad=bc时取等号，此时向量0Z,0Z,满足OZ∥0Z, 18.(本小题满分17分) 【解】(1)=Vx-2+(x+22=V2x2+8≥22，当且仅当x=0时，复数z的模最小，为22： (2)当复数z的模最小时，Z(-2,2) 2/3 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又点Z位于函数y=-mx+n的图象上，所以2m+n=2 又mn>0,则m>0,n>0, 所u日m贤， 当且仅当n2=2m2时等号成立 又2m+n=2,所以m=2-√2，n=2V2-2 所以，+的最小值为+5，此时m=2-5,n=25-2 m n 19.(本小题满分17分) 【解】(1)设z=a+bi(a,beR),z=a-bi(a,beR .z.7=a2+b2=2=,z+7=2aER :z≠i,z=1,zz=1,z+z=2aeR且2a≠0， (2)设子=c+deR),则=c+: :=3,2=5, 3=hl=c+le5edc2+=3@ 3-z=c+di2-z=(c-1刂+=5c-12+d2=7, c-+d-@ 0d=35 联立①②，解得c=- 10 =-3+3 -1 2210-10 (3)=1,z=cos0+isin0(0ER), 则22-z+1=2-z+z=z(z+z-=l2+z-1=2c0s0-, -1≤c0s0≤1，-3≤2c0s0-1≤1， 2-z+1=3,2-2+1n=0 3/3 2025-2026学年高一数学单元自测 第5章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（   ） A．1 B． C．0 D．5 【答案】A 【解析】 所以.故选：A 2．设为虚数单位，则的虚部为（   ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】C 【解析】根据虚数单位的定义，，则， 将代入得：， 根据复数的定义，得出的虚部为.故选：C. 3．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 ，所以z在复平面内对应的点为，所以，解得．故选：B 4．已知复数满足（为虚数单位），则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则.故选：D 5．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意得，则 ， 则该复数对应的点位于第三象限，故C正确.故选：C 6．已知为虚数单位，复数与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，其在复平面内对应的点为，则复数在复平面内对应的点为，所以. 故选：C. 7．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由复数的几何意义可知对应点，即. 对应点，即. 若与共线，则，解得.故选：A. 8．若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为纯虚数，所以，则， 所以，其共轭复数为.故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，则下列结论正确的是（     ） A．的虚部为 B． C． D．为纯虚数 【答案】BCD 【解析】由题意可得，， 对于A，的虚部为，故错误； 对于B，，故正确； 对于C，，故正确； 对于D，，为纯虚数，故正确. 故选：BCD. 10．已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】对A：设，，则，但复数，不能比较大小，故不成立，所以A错误； 对B：取，，则，，但，所以不成立，所以B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：设，，. . 由，当时，有，代入得： . 结合，所以， 所以，所以； 当时，或. 若，则，所以，所以，可得； 若，则，因为，，所以，可得. 综上可知，D正确. 故选：CD 11．已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【答案】ABD 【解析】A，设，， ， ， 所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根， 根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知复数的模为，且为纯虚数，请写出一个满足条件的复数： ． 【答案】，（答案不唯一，只需即可）. 【解析】设，则， ， 又为纯虚数，故，， 联立可得，故，不妨令. 13．已知复数，则复数 . 【答案】0 【解析】， . 14．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 . 【答案】3 【解析】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）设复数． (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，求. 【解】（1）由，得， 而由已知是实数， 于是，解得， 所以； （2）依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以，. 16．（本小题满分15分）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【解】（1）原方程可化为，方程有实数根，设为， ∴. 又θ是锐角，故． （2）假设方程有纯虚数根，可设根为，，， 则化为， 即，可得， 因为，所以方程无实根. 故假设不成立，所以方程无纯虚数根． 17．（本小题满分15分）在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位. (1)，，计算与； (2)设，，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号. 【解】（1）因为，， 则， 又，， 所以，， 所以； （2）因为， 所以， 可得； 因为， 所以，， 因此 ， 所以， 当且仅当时取等号，此时向量满足. 18．（本小题满分17分）已知为实数，复数. （1）当为何值时，复数的模最小？ （2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时、的值. 【解】（1），当且仅当时，复数的模最小，为； （2）当复数的模最小时，. 又点位于函数的图象上，所以. 又，则，， 所以， 当且仅当时等号成立. 又，所以，. 所以，的最小值为，此时，. 19．（本小题满分17分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【解】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第5章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（   ） A．1 B． C．0 D．5 2．设为虚数单位，则的虚部为（   ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 3．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知复数满足（为虚数单位），则 （   ） A． B． C． D． 5．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知为虚数单位，复数与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 7．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 8．若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，则下列结论正确的是（     ） A．的虚部为 B． C． D．为纯虚数 10．已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知复数的模为，且为纯虚数，请写出一个满足条件的复数： ． 13．已知复数，则复数 . 14．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）设复数． (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，求. 16．（本小题满分15分）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 17．（本小题满分15分）在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位. (1)，，计算与； (2)设，，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号. 18．（本小题满分17分）已知为实数，复数. （1）当为何值时，复数的模最小？ （2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时、的值. 19．（本小题满分17分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第5章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（   ） A．1 B． C．0 D．5 2．设为虚数单位，则的虚部为（   ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 3．已知在复平面内对应的点的横坐标为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知复数满足（为虚数单位），则 （   ） A． B． C． D． 5．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知为虚数单位，复数与复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 7．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 8．若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知复数，则下列结论正确的是（     ） A．的虚部为 B． C． D．为纯虚数 10．已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知复数的模为，且为纯虚数，请写出一个满足条件的复数： ． 13．已知复数，则复数 . 14．已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）设复数． (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，求. 16．（本小题满分15分）设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 17．（本小题满分15分）在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位. (1)，，计算与； (2)设，，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号. 18．（本小题满分17分）已知为实数，复数. （1）当为何值时，复数的模最小？ （2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时、的值. 19．（本小题满分17分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $