第5章 复数（单元自测·基础卷）数学北师大版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第5章 复数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C B C B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．（答案不唯一） 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）； （2），故，解得， （3），故， 解得或1，或2. 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由是关于的方程的一个根， 所以，即有， 化简得，则； （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. （2）由（1）知，又， 则， 所以. （3）设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以的最大值为. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）因为，由于为纯虚数， 得，所以； （2）由于，得： 所以； （3）由得：， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第5章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 3．复数等于（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若复数满足，则（　　） A． B． C． D． 6．复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上所对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（   ） A． B．2 C． D．1 8．已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知，其中，为虚数单位，且复数和均为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 10．若复数，，则（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 11．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．为虚数单位，则 . 13．设复数，若且，则满足条件的 ．（写一个即可） 14．若复数满足，则的最小值是 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 16．（本小题满分15分）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 17．（本小题满分15分）已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 18．（本小题满分17分）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 19．（本小题满分17分）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”. (1)若为纯虚数，求的值； (2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：； (3)已知，求. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第5章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 3．复数等于（    ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若复数满足，则（　　） A． B． C． D． 6．复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上所对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（   ） A． B．2 C． D．1 8．已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知，其中，为虚数单位，且复数和均为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 10．若复数，，则（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 11．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．为虚数单位，则 . 13．设复数，若且，则满足条件的 ．（写一个即可） 14．若复数满足，则的最小值是 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 16．（本小题满分15分）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 17．（本小题满分15分）已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 18．（本小题满分17分）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 19．（本小题满分17分）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”. (1)若为纯虚数，求的值； (2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：； (3)已知，求. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第5章 复数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意得，所以的虚部为.故选：C 2．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是.故选：A. 3．复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：，故选C. 4．若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】，则， ，在复平面内所对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 5．若复数满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 故.故选：C. 6．复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上所对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，， 所以在复平面上所对应点的坐标为故选：B 7．若，，复数所对应的点在实轴上，则实数等于（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】，，， 又所对应的点在实轴上，，．故选：C 8．已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件.故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知，其中，为虚数单位，且复数和均为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设，则，由题意可得，且，得. 又，则，解得. 于是，所以. 故选：AD. 10．若复数，，则（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C．为纯虚数 D． 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以的实部为1，故A正确； 对于BC，，所以的虚部为2，为纯虚数，故B错误，C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：AC. 11．设，均为复数，下列命题中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A：设，，其中，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：设，，其中，，，， 则， ， 所以，故B正确； 对于C：若，则， 同理可得，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件， 但，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．为虚数单位，则 . 【答案】 【解析】. 13．设复数，若且，则满足条件的 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】复数，取，满足且，符合题意． 14．若复数满足，则的最小值是 . 【答案】1 【解析】设复数对应的点为， 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图.   表示点到原点的距离， 则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径. 由于圆心到原点的距离为，则的最小值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 【解】（1）； （2），故，解得， （3），故， 解得或1，或2. 16．（本小题满分15分）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【解】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 17．（本小题满分15分）已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 【解】（1）由是关于的方程的一个根， 所以，即有， 化简得，则； （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 18．（本小题满分17分）已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若复数满足，求的最大值. 【解】（1）因为复数是纯虚数， 则，解得，所以的值为. （2）由（1）知，又， 则， 所以. （3）设，由（1）知， 又，即，所以，即， 所以对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 又，其表示点到点的距离， 又，所以的最大值为. 19．（本小题满分17分）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”. (1)若为纯虚数，求的值； (2)请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：； (3)已知，求. 【解】（1）因为，由于为纯虚数， 得，所以； （2）由于，得： 所以； （3）由得：， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $