专题 三角恒等变换（专项训练）数学北师大版必修第二册

专题 三角恒等变换 目录 A题型建模・专项突破 题型01 两角和差公式求值 题型02 两角和差中用拼凑思想求值 题型03 给值求角 题型04构造齐次或整体思想求值 题型05 二倍角公式求值 题型06 降幂公式 题型07 辅助角公式 题型08 判断三角形形状 题型09 三角恒等变换与解三角形 题型10 三角恒等变换与三角函数 B综合攻坚・能力跃升 题型01 两角和差公式求值 1．（25-26高三上·安徽·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·河北·月考）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知，是关于的方程的两个根，则（   ） A．1 B． C．2 D． 题型02 两角和差中用拼凑思想求值 5．（25-26高一下·四川绵阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山西·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则= 题型03 给值求角 9．（2025高三·全国·专题练习）若满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·北京丰台·期末）已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 11.若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型04构造齐次或整体思想求值 12．（25-26高一上·贵州黔西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·山西晋中·期末）已知，，则（    ） A． B．4 C． D．3 14．（25-26高二下·浙江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·新疆吐鲁番·期末）若，，则的值为 ，的值为 . 题型05 二倍角公式求值 16．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 17．（云南省大理白族自治州2026届高三第二次复习统一检测数学试题）已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型06 降幂公式 20．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 22．（22-23高一下·四川成都·月考）若，则 . 题型07 辅助角公式 23．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·河北衡水·月考）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 26.（25-26高一上·上海松江·期末）方程在上的解为 ． 题型08 判断三角形形状 27．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 28．（25-26高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 29．（25-26高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型09 三角恒等变换与解三角形 30．（25-26高三上·黑龙江·月考）记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 31．（2026·四川绵阳·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为1，求边的值. 32．（25-26高二上·广东梅州·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)设，，求和外接圆的面积． 33.（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，线段上一点满足，求的长． 题型10 三角恒等变换与三角函数 34．（2025·四川泸州·一模）已知函数的图象经过点. (1)求； (2)求函数的单调递减区间. 35．（25-26高三上·陕西商洛·期中）已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)设函数，求的值域. 36．（25-26高三上·天津河北·开学考试）已知函数 (1)求函数的对称轴方程； (2)求函数的最大值及相应的值； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间. 37.（四川省自贡市2026届高三上学期1月期末检测数学检测试题）已知函数. (1)求； (2)求的最小值； (3)求图象的对称中心的坐标. 1.（2024·全国甲卷T8）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（2023·新课标Ⅱ卷T7）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 3.（2023·新课标Ⅰ卷T8）已知，则（    ）． A． B． C． D． 4.（2025·全国二卷T8）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5.（2024全国甲卷T13）函数在上的最大值是 ． 6.（2024·新课标Ⅱ卷T13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 7.（2025·全国二卷T15）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 8.（2021·浙江卷T18）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 三角恒等变换 目录 A题型建模・专项突破 题型01 两角和差公式求值 题型02 两角和差中用拼凑思想求值 题型03 给值求角 题型04构造齐次或整体思想求值 题型05 二倍角公式求值 题型06 降幂公式 题型07 辅助角公式 题型08 判断三角形形状 题型09 三角恒等变换与解三角形 题型10 三角恒等变换与三角函数 B综合攻坚・能力跃升 题型01 两角和差公式求值 1．（25-26高三上·安徽·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，故选A． 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，故C正确．故选C． 3.（25-26高一上·河北·月考）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设， 则.故选：B 4．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知，是关于的方程的两个根，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由韦达定理得， 故.故选：D 题型02 两角和差中用拼凑思想求值 5．（25-26高一下·四川绵阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， 所以.故选：D 6．（25-26高一上·山西·期末）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以， 故选：A 7．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，都是锐角，，， ，， . 故选：D. 8．（25-26高一上·新疆昌吉·期末）已知，都是锐角，则= 【答案】 【解析】因为，都是锐角，所以， 又因为 所以 则 ， 故选：C. 题型03 给值求角 9．（2025高三·全国·专题练习）若满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得或 或， 因为， 所以或或，， 验证可知C正确，ABD错误． 故选：C． 10．（25-26高一下·北京丰台·期末）已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知：，可知异号， 由，令，所以 所以，则. 故选：D 11.若，，并且均为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 又，所以， 因为，，所以， 所以 ， 又因为，所以. 故选：C 题型04构造齐次或整体思想求值 12．（25-26高一上·贵州黔西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 13．（25-26高一上·山西晋中·期末）已知，，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【解析】依题意，，， 联立解得， 所以. 故选：D 14．（25-26高二下·浙江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 两边同乘以，可得， 因为， 可得， 即， 即， 可得，即. 故选：A. 15．（25-26高一上·新疆吐鲁番·期末）若，，则的值为 ，的值为 . 【答案】 7 / 【解析】因为，， 所以； ， ， 题型05 二倍角公式求值 16．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， . 所以. 所以. 故选：D 17．（云南省大理白族自治州2026届高三第二次复习统一检测数学试题）已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以． 故选：B． 18．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，所以， 则，即. 故选：D 19．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B 题型06 降幂公式 20．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 21．（25-26高二上·北京延庆·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 22．（22-23高一下·四川成都·月考）若，则 . 【答案】 【解析】由题意可得：. 题型07 辅助角公式 23．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 因为，所以 的值域为 ， 故选：B. 24．（25-26高三上·河北衡水·月考）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数化简得，其中，， 因为，正弦函数的周期公式为， 所以函数的最小正周期是. 故选：C. 25．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数， 可知，故A正确； 由，可得，故B正确； 由，所以的对称中心是， 而的对称中心是，故C错误； 由，所以的对称轴是， 而的对称轴是，故D正确； 故选：C 26.（25-26高一上·上海松江·期末）方程在上的解为 ． 【答案】 【解析】， 即， 或， 解得或， ，或， 题型08 判断三角形形状 27．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 28．（25-26高二上·河南安阳·期末）若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 29．（25-26高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因, 故，， 则，即， 整理得，，因，故，故是直角三角形. 故选：C. 题型09 三角恒等变换与解三角形 30．（25-26高三上·黑龙江·月考）记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【解】（1）因为， 所以， 即.     因为，所以，，又已知，所以. （2）因为的面积为，所以，解得，     由余弦定理，得，所以，     所以，     所以的周长为. 31．（2026·四川绵阳·二模）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为1，求边的值. 【解】（1）中，，所以 所以 又，所以， 又因为，所以. （2）因为， 由余弦定理， 将，代入解得， 所以. 32．（25-26高二上·广东梅州·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)设，，求和外接圆的面积． 【解】（1）由，则， 又，则，故， 化简得，又，故； （2）， 外接圆半径， 故外接圆面积． 33.（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）在中，角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，线段上一点满足，求的长． 【解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 所以, 在中，， 所以，化简得：， 由于，则，则， 又，所以. （2）由余弦定理， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中，由正弦定理，即，解得. 题型10 三角恒等变换与三角函数 34．（2025·四川泸州·一模）已知函数的图象经过点. (1)求； (2)求函数的单调递减区间. 【解】（1）因为函数的图象经过点， 则，解得. （2）由（1）可知：， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 35．（25-26高三上·陕西商洛·期中）已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)设函数，求的值域. 【解】（1）函数， 令，，得，， 图象的对称轴方程为，. （2）， ， 函数的值域为. 36．（25-26高三上·天津河北·开学考试）已知函数 (1)求函数的对称轴方程； (2)求函数的最大值及相应的值； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间. 【解】（1）因为， 所以， 令，，可得，， 所以函数的对称轴方程为，； （2）由（1）， 故当，，即， 时， 函数取得最大值，最大值为； （3）函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再将函数向右平移个单位，得到的图象， ， 故函数的最小正周期为， 令，，可得，， 所以函数的单调递增区间为. 37.（四川省自贡市2026届高三上学期1月期末检测数学检测试题）已知函数. (1)求； (2)求的最小值； (3)求图象的对称中心的坐标. 【解】（1）因为 ， 所以. （2）. 当时，取得最小值，且最小值为. （3）令， 得， 所以图象的对称中心的坐标为. 1.（2024·全国甲卷T8）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，， 所以，故选B. 2.（2023·新课标Ⅱ卷T7）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，而为锐角， 解得：．故选D． 3.（2023·新课标Ⅰ卷T8）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此， 则， 所以，故选：B 4.（2025·全国二卷T8）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，则，则， 则，故选D. 5.（2024全国甲卷T13）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【解析】，当时，， 当时，即时，. 6.（2024·新课标Ⅱ卷T13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【解析】由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 7.（2025·全国二卷T15）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 8.（2021·浙江卷T18）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【解】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $