第4章 三角恒等变换（单元自测·提升卷）数学北师大版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第4章 三角恒等变换·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D B A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．（答案不唯一，满足条件即可） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）， ． （2）为锐角， ， 又， ， ，为锐角， ， ． 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为 ， 所以. （2）. 当时，取得最小值，且最小值为. （3）令， 得， 所以图象的对称中心的坐标为. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由和差化积，诱导公式，辅助角公式可得： . 则； （2）由（1），， 又的面积为，则， 结合及余弦定理，， 则. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）, 令，由（）， 解得（）， 由（）， 解得（）， 所以函数的单调递增区间为（）， 单调递减区间为（）. （2）因为，所以. 由，，都满足，可知， 则，即在恒成立. 当时，恒成立； 当时，设，要使在恒成立， 只需在恒成立，故，解得， 综上所述m的取值范围是. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由题意可得： ， 则的“特征向量”. （2）由题意可得，其中（）. 因为关于x的方程在上有两个不同的实根， 所以关于x的方程在上有两个不同的实根. 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以，即. （3）由题意可得. 设， 则，所以（）. 当，即时，在上单调递增， 则，解得， 因为，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 因为，所以. 综上，a的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第4章 三角恒等变换·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 2．函数的最小正周期和最大值分别为（   ） A．和3 B．和2 C．和3 D．和2 3．已知，，则（   ） A． B． C． D．7 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的大致图象可以是（   ） A．   B．   C．   D．   10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知，则 . 13．已知，且，则的值为 . 14．若是偶函数，则有序实数对可以是 .（写出你认为正确的一组数即可）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求； (2)求的最小值； (3)求图象的对称中心的坐标. 17．（本小题满分15分）已知， (1)求的值； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，求． 18．（本小题满分17分）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若，，都满足，求m的取值范围． 19．（本小题满分17分）定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第4章 三角恒等变换·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 2．函数的最小正周期和最大值分别为（   ） A．和3 B．和2 C．和3 D．和2 3．已知，，则（   ） A． B． C． D．7 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的大致图象可以是（   ） A．   B．   C．   D．   10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知，则 . 13．已知，且，则的值为 . 14．若是偶函数，则有序实数对可以是 .（写出你认为正确的一组数即可）. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求； (2)求的最小值； (3)求图象的对称中心的坐标. 17．（本小题满分15分）已知， (1)求的值； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，求． 18．（本小题满分17分）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若，，都满足，求m的取值范围． 19．（本小题满分17分）定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第4章 三角恒等变换·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】，故选D. 2．函数的最小正周期和最大值分别为（   ） A．和3 B．和2 C．和3 D．和2 【答案】A 【解析】， 则最小正周期，最大值为3.故选：A. 3．已知，，则（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【解析】由，，则，所以， 则.故选：B 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 又由，得，即， ，即．故选：D 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以 故选：B 6．在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解析】在中，内角、满足， 由于中至少有两个锐角，则、中至少有一个锐角， 不妨设为锐角，则，从而，故为锐角， ， 故角为锐角，从而可知为锐角三角形， 故选：A. 7．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由， 得， 即， 解得， 所以“”是“”成立的充分不必要条件， 故选：A 8．已知，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 可得， . 令， 则，当且仅当，即时，等号成立. 而是锐角，则. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的大致图象可以是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【解析】函数，其中，，，取. 又函数的图象是由的图象向左平移个单位得到的，AC符合题意， 故选:AC. 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 11．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 ， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，令，，解得， 所以区间包含单调递增区间和单调递减区间，故B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到：， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 对于D，令，即，得，，即，， 当时，，当时，， 若在区间上恰有一个零点，则， 则实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知，则 . 【答案】/ 【解析】因为， 即，所以. 13．已知，且，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 解得或， 又，所以，所以，可得. 14．若是偶函数，则有序实数对可以是 .（写出你认为正确的一组数即可）. 【答案】（答案不唯一，满足条件即可） 【解析】 ， 注意到是偶函数， 所以当时，是偶函数， 所以有序实数对可以是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【解】（1）， ． （2）为锐角， ， 又， ， ，为锐角， ， ． 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)求； (2)求的最小值； (3)求图象的对称中心的坐标. 【解】（1）因为 ， 所以. （2）. 当时，取得最小值，且最小值为. （3）令， 得， 所以图象的对称中心的坐标为. 17．（本小题满分15分）已知， (1)求的值； (2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，求． 【解】（1）由和差化积，诱导公式，辅助角公式可得： . 则； （2）由（1），， 又的面积为，则， 结合及余弦定理，， 则. 18．（本小题满分17分）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若，，都满足，求m的取值范围． 【解】（1）, 令，由（）， 解得（）， 由（）， 解得（）， 所以函数的单调递增区间为（）， 单调递减区间为（）. （2）因为，所以. 由，，都满足，可知， 则，即在恒成立. 当时，恒成立； 当时，设，要使在恒成立， 只需在恒成立，故，解得， 综上所述m的取值范围是. 19．（本小题满分17分）定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. (1)若，求的“特征向量”的坐标； (2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围； (3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围. 【解】（1）由题意可得： ， 则的“特征向量”. （2）由题意可得，其中（）. 因为关于x的方程在上有两个不同的实根， 所以关于x的方程在上有两个不同的实根. 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以，即. （3）由题意可得. 设， 则，所以（）. 当，即时，在上单调递增， 则，解得， 因为，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 因为，所以. 综上，a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $