第4章 三角恒等变换（单元自测·基础卷）数学北师大版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第4章 三角恒等变换·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A D C D B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABC BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）因为，，是钝角，所以. 由于角的终边与的终边关于轴对称，所以，. . （2）因为，所以. . 16．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意， 两边同时平方，可得， 因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以 ， 所以； （2）由（1）可知：，可解得. 因为，所以， 所以 . 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由题设， 所以其最小正周期为； （2）由，则，故， 所以在区间上的值域为. 18．（本小题满分17分） 【解】（1），， 由条件可知函数的最小正周期为，得，所以； （2）的图象向右平移个单位长度，得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），则， 当，，则， 所以函数的最小值为，最大值为； 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由图象可知，，所以，则， 所以， 因为即， 因为，则，所以，解得， 因此； （2），， 由题意在的值域为，结合题干图象知， 解得； （3）将图象上所有点纵坐标缩短为原来的（横坐标不变）， 再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象， 则，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以是函数一个周期的区间． 所以若方程在内有两个不同的解， 只需，即即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第4章 三角恒等变换·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，是关于的方程的两个根，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于对称，则（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．关于函数 ，正确的命题是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点 中心对称 C．的最大值为 D．在 上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．若，化简的结果是 . 13．已知的最小正周期为，则 ． 14．已知函数，则当时的最大值为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 16．（本小题满分15分）已知. (1)求和的值； (2)若，求的值. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的值域． 18．（本小题满分17分）已知函数，（）的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最值． 19．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示，    (1)求的解析式； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)将图象上所有点纵坐标缩短为原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围； 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第4章 三角恒等变换·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选B 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得.故选A． 3．已知，是关于的方程的两个根，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由韦达定理得， 故，故选D 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， ，故选C. 5．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】 ，故选D. 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 因为，所以 的值域为 ，故选：B. 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 由，得， 联立解得，， 因为， 所以，故选：A 8．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于对称，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 将函数图象向左平移个单位长度， 得到的函数为， 因为函数的图象关于对称，所以， 解得，又因为，所以，所以C正确，故选C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于，故A符合题意； 对于，故B符合题意； 对于C：，故C不合题意； 对于D：，故D不合题意. 故选：AB 10．已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，因为， 又因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为， 又因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，由A，B可得，所以，故C正确； 对于D，由C可知，故D错误.故选：ABC. 11．关于函数 ，正确的命题是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点 中心对称 C．的最大值为 D．在 上单调递增 【答案】BC 【解析】 . A：的最小正周期为，所以本选项不是正确的命题； B：，所以本选项是正确的命题； C：显然当时， 即当时，函数有最大值，所以本选项是正确的命题； D：当时，，显然在 上单调递减， 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．若，化简的结果是 . 【答案】 【解析】， 因为，所以， 所以. 13．已知的最小正周期为，则 ． 【答案】 【解析】依题意得， 已知最小正周期， 代入周期公式得：，解得. 14．已知函数，则当时的最大值为 ． 【答案】 【解析】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以的最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 【解】（1）因为，，是钝角，所以. 由于角的终边与的终边关于轴对称，所以，. . （2）因为，所以. . 16．（本小题满分15分）已知. (1)求和的值； (2)若，求的值. 【解】（1）由题意， 两边同时平方，可得， 因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以 ， 所以； （2）由（1）可知：，可解得. 因为，所以， 所以 . 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的值域． 【解】（1）由题设， 所以其最小正周期为； （2）由，则，故， 所以在区间上的值域为. 18．（本小题满分17分）已知函数，（）的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最值． 【解】（1），， 由条件可知函数的最小正周期为，得，所以； （2）的图象向右平移个单位长度，得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），则， 当，，则， 所以函数的最小值为，最大值为； 19．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示，    (1)求的解析式； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)将图象上所有点纵坐标缩短为原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围； 【解】（1）由图象可知，，所以，则， 所以， 因为即， 因为，则，所以，解得， 因此； （2），， 由题意在的值域为，结合题干图象知， 解得； （3）将图象上所有点纵坐标缩短为原来的（横坐标不变）， 再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象， 则，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以是函数一个周期的区间． 所以若方程在内有两个不同的解， 只需，即即为所求． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第4章 三角恒等变换·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，是关于的方程的两个根，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于对称，则（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．关于函数 ，正确的命题是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点 中心对称 C．的最大值为 D．在 上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．若，化简的结果是 . 13．已知的最小正周期为，则 ． 14．已知函数，则当时的最大值为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称. (1)求的值； (2)求的值. 16．（本小题满分15分）已知. (1)求和的值； (2)若，求的值. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的值域． 18．（本小题满分17分）已知函数，（）的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最值． 19．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示，    (1)求的解析式； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)将图象上所有点纵坐标缩短为原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围； 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $