2.3轴对称和平移的坐标表示（共3课时） 轴对称的坐标表示 教学设计 2025-2026学年湘教版 八年级数学下册

2.3轴对称和平移的坐标表示 第1课时 轴对称的坐标表示 课题 2.3轴对称和平移的坐标表示 第1课时 轴对称的坐标表示 课型 讲授课 课时 1 总课时 教材分析 本节课是湘教版八年级下册平面直角坐标系的核心延伸课时，承接简单图形的坐标表示和轴对称图形性质，核心是探究轴对称图形及两点关于坐标轴对称的坐标规律。教材结合实例推导规律，培养数形结合能力，为后续平移的坐标表示及图形变换综合应用奠定基础，兼具逻辑性和应用性。 学情分析 八年级学生已掌握轴对称图形性质、平面直角坐标系及简单图形坐标表示，具备初步观察和推理能力。但对轴对称与坐标结合的规律理解较难，易混淆x轴、y轴对称的坐标特征，应用不熟练，需通过实例探究、动手验证突破难点。 核心素养 （教学） 目标 1. 数学抽象：理解两点关于x轴、y轴对称的坐标规律，抽象出轴对称与坐标的内在关联，掌握轴对称图形的坐标表示方法。 2. 逻辑推理：通过观察、猜想、验证，推导轴对称的坐标规律，提升归纳、推理及规范表达能力。 3. 直观想象：结合图形感知轴对称与坐标的对应关系，能根据坐标画轴对称图形，培养几何直观素养。 4. 数学应用：运用坐标规律解决轴对称图形的相关问题，体会数形结合思想，增强数学应用意识。 教学重点 两点关于x轴、y轴对称的坐标规律，能运用规律表示轴对称图形的坐标、绘制轴对称图形。 教学难点 推导轴对称的坐标规律，区分x轴、y轴对称的坐标差异，灵活运用规律解决综合问题。 教法学法 教法：采用启发探究式、实例演示法，结合多媒体辅助，引导学生动手操作、探究规律、突破难点。学法：自主探究、合作交流，通过观察、验证、归纳，主动掌握坐标规律并灵活应用。 教学准备 多媒体课件（规律推导、例题），学生自备草稿纸、铅笔、直尺，用于绘制坐标系、验证坐标规律。 预习《学法大视野》本课时课前预习部分 教学过程设计 复备栏 一、情境引入：(课件展示) 如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A'OB'，若点 A的坐标是(m，n)，则点 A'的坐标是(-n，m). 思考：若想画出△AOB关于x轴的对称图形要怎样做呢？ 二、新知探究，合作交流：(以自学研讨或小组学习方式进行) [探究一：点的轴对称的坐标表示] 1.阅读教材 P67思考，完成下列内容： 若有两点A、B关于x轴对称，则它们的坐标之间有什么关系？若是关于 y轴对称呢？ 答：若两点 A、B关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数. 2.【合作探究】 【例1】已知 P(2，-3)关于x轴对称的点 P₁，P₁关于y轴对称的点P₂，则 P₂的坐标是(D) A.(2，-3) B.(-2，-3) C.(2，3) D.(-2，3) 归纳：一般地，在平面直角坐标系中，点(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b),，关于y轴对称的点的坐标为 ( . 3.完成教材练习 第1题. [探究二：表示关于坐标轴轴对称图形的点的坐标] 1.阅读教材P₆₇做一做，完成下列内容： (1)图形关于x轴或y轴作轴对称变换后，点的坐标也同样关于x轴或y轴作 轴对称 变换. (2)教材“做一做”中，在作 的轴对称图形时，是如何操作的? 答：先作出三角形的各顶点关于对称轴的对称点，然后将得到的三个对称点依次连接起来. 2.【合作探究】 阅读教材 例1，想一想：如果要在平面直角坐标系中画一个轴对称图形，怎样画才较简便? 解：(1)先确定图形在坐标系中的点的坐标，然后找出它们关于坐标轴的对称点；(2)顺次连接对应点的坐标画图. 3.完成教材 练习第2题. [探究三：轴对称坐标表示的应用] 【例2】已知点A(m-1,3)与点B(2,n+1)关于x轴对称,那么点 C(m+n,m-n)关于y轴对称的D 点坐标是什么? 解：由题意，得(-4)=7.∴C(-1,7).∴D(1,7). 【例3】A，B，C，D各点的坐标如图所示，作出 关于y轴对称的图形，并求出 的面积. 解：如图， 就是所求作的图形.∵A(0,6),B(0,3),C(-7,0),D(-2, 完成教材 练习第3题. [集中展示与交流] 1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”. 2.教师肯定、点拨或矫正学生自学成果. 三、评价与反思：(引导学生自己总结) 今天学习了什么?学到了什么?还有什么疑惑?有什么感受? 在学生回答的基础上，教师点评并板书：(1)点的轴对称的坐标表示.(2)表示关于坐标轴轴对称图形的点的坐标.(3)轴对称坐标表示的应用. 【课堂练习】 命题角度 1 求关于坐标轴对称的点的坐标 1.已知点 P关于x轴的对称点的坐标是(-5，6)，那么点 P的坐标是 (B) A.(5，6) B.(-5，-6) C.(5，-6) D.(6，-5) 2.蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形，如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，A为(-5，3)，则其关于y轴对称的点 B的坐标为(A) A.(5，3) B.(5，-3) C.(-5，-3) D.(3，5) 命题角度 2 轴对称作图 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(4，0)，B(-1，4)，C(-3，1). (1)在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称； (2)写出点 A'，B'，C'的坐标. 解：(1)如图. (2)点A'的坐标为(4，0)，点B'的坐标为(-1，-4)，点C'的坐标为(-3，-1) 命题角度 3 关于点坐标对称变化的含参数问题 4.已知点A(m，4)与点 B(3，n)关于x轴对称，那么 (C) A. m=3,n=4 B. m=-3,n=4 C. m=3,n=-4 D. m=-3,n=-4 5.已知点A(m，2024)与点 B(2025，n)关于 y轴对称，则m+n的值为(A) A.-1 B. 1 C. 4049 D.-2025 【板书设计】 2.3 轴对称和平移的坐标表示（第1课时） 一、复习回顾 1. 轴对称图形性质 2. 简单图形的坐标表示 二、核心规律（关于坐标轴对称） 1. x轴：横坐标不变，纵坐标互为相反数（x,y）→（x,-y） 2. y轴：纵坐标不变，横坐标互为相反数（x,y）→（-x,y） 【布置作业】 (1)完成教材 习题第1题. (2)完成本课时对应课后练习.学生完成《学法大视野》本课时训练，要求学生认真完成，巩固所学知识。 教 学 反 思 2.3轴对称和平移的坐标表示 第2课时 简单平移的坐标表示 课题 2.3轴对称和平移的坐标表示 第2课时 简单平移的坐标表示 课型 讲授课 课时 1 总课时 教材分析 本节课是湘教版八年级下册平面直角坐标系的延伸课时，承接上一课时轴对称的坐标表示及简单图形坐标知识，核心是探究平面内点和平移的坐标变化规律。教材结合实例推导规律，培养数形结合能力，为后续图形变换综合应用奠定基础，是连接坐标与图形运动的关键纽带，兼具基础性和应用性。 学情分析 八年级学生已掌握图形平移的性质、平面直角坐标系及轴对称的坐标表示，具备初步观察和推理能力。但对平移方向与坐标变化的关联理解较难，易混淆左右、上下平移的坐标特征，应用不熟练，需通过实例探究、动手验证突破难点。 核心素养 （教学） 目标 1. 数学抽象：理解平面内点和平移的坐标变化规律，抽象出平移与坐标的内在关联，掌握简单图形平移的坐标表示方法。 2. 逻辑推理：通过观察、猜想、验证，推导简单平移的坐标规律，提升归纳、推理及规范表达能力。 3. 直观想象：结合图形感知平移与坐标的对应关系，能根据坐标画平移后的图形，培养几何直观素养。 4. 数学应用：运用坐标规律解决图形平移的相关问题，体会数形结合思想，增强数学应用意识和严谨思维。 教学重点 平面内点左右、上下平移的坐标变化规律，能运用规律表示简单图形平移后的坐标、绘制平移后的图形。 教学难点 推导平移的坐标规律，区分左右、上下平移对应的坐标变化差异，灵活运用规律解决综合问题。 教法学法 教法：采用启发探究式、实例演示法，结合多媒体辅助，引导学生动手操作、探究规律、突破难点。学法：自主探究、合作交流，通过观察、验证、归纳，主动掌握平移坐标规律并灵活应用。 教学准备 多媒体课件（规律推导、例题），学生自备草稿纸、铅笔、直尺，用于绘制坐标系、验证平移规律。 预习《学法大视野》本课时课前预习部分 教学过程设计 复备栏 一、情境引入：(课件展示) 如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： (1)分别写出A，B两点的坐标； 解:A(-1,0),B(-2,-2); (2)作出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁; 解：如图； (3)把△ABC 向上平移 2 个单位,得到△A₂B₂C₂,则点 A₂,B₂,C₂的坐标与点 A,B,C的坐标有怎样的关系? 解:点 A₂,B₂,C₂的横坐标与点A,B,C相同,纵坐标分别加2. 二、新知探究，合作交流：(以自学研讨或小组学习方式进行) [探究一：用坐标表示点的一次平移] 1.阅读教材P₆₉做一做，完成下列问题： 点 N(-1,3)可以是由点 M(-1,-1)(A) A.向上平移4 个单位所得到的 B.向左平移4个单位所得到的 C.向下平移4个单位所得到的 D.向右平移4 个单位所得到的 2.【合作探究】 【例1】将点 P(m+2,2m+4)向右平移1个单位到点 Q，且点 Q在y轴上，那么点 Q的坐标是(B) A.(-2,0) B.(0,-2) C.(1,0) D.(0,1) 归纳：一般地，在平面直角坐标系中，将点 P(a，b)向右或向左平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k, b )或(a-k, b );将点 P(a,b)向上或向下平移k个单位长度,其像的坐标为( a ,b+k)或( a ,b-k). 3.完成教材 练习第1题. [探究二：用坐标表示图形的一次平移] 1.阅读教材 思考，完成下列内容： 如图， 向右平移4 个单位后得到 则点A'的坐标是 (1,2) ,点C'的坐标为 (3,3) . 2.【合作探究】 阅读教材 例2，完成下列内容： 在平面直角坐标系中的位置如图所示.将 向右平移6个单位得到 请画出 并写出点 的坐标. 解：如图，点( 的坐标是(1,1). 3.完成教材 练习第2题. [探究三：平移的综合应用] 1.【例2】已知: 的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(2,1),如将 B点向右平移3个单位后再向上平移2个单位到达. 点，若设 的面积为 的面积为S₂，则 的大小关系为 (B) D.不能确定 点拨：弄清平移的实质. 2.【合作探究】 【例3】将图中的△ABC沿y轴正方向平移3个单位，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化. 解：将△ABC沿y轴正方向平移3个单位，则横坐标不变,纵坐标加3,由点A(0,-1),B(1,2),C(2,1)的坐标可知其像的坐标分别为A′(0,2),B′(1,5),C'(2,4),依次连接点 A',B',C',即△A'B'C'就是所画图形. 3.完成教材P₇₂练习第3题. [集中展示与交流] 1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”. 2.教师肯定、点拨或矫正学生自学成果. 三、评价与反思：(引导学生自己总结) 今天学习了什么?学到了什么?还有什么疑惑?有什么感受? 在学生回答的基础上，教师点评并板书： (1)用坐标表示点的一次平移. (2)用坐标表示图形的一次平移. (3)平移的综合应用. 【课堂练习】 命题角度 1 平面直角坐标系中点的平移 1.已知点A 的坐标为(2，1)，将点A 向下平移4个单位长度，得到的点 A'的坐标是 (D) A.(6,1) B.(-2,1) C.(2,5) D.(2,-3) 2.将点 P(x-2,x+4)向右平移3个单位长度后,落在y轴上，则x的值为 −1 . 命题角度 2 平面直角坐标系中图形的平移 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限,点A 的坐标是(4,3),把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A₁B₁C₁，则点 B₁的坐标是(C) A.(-2,3) B.(3,-1) C.(-3,1) D.(-5,2) 命题角度 3 平移作图 4.在边长为1 的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在格点上. (1)B点关于y 轴的对称点的坐标为(-3,2) . (2)将△AOB 向左平移 3 个单位长度得到△A₁O₁B₁,请画出△A₁O₁B₁,写出点 A₁ 的坐标； (3)△AOB的面积为 3.5 . 解:(2)△A₁O₁B₁如图所示,点A₁的坐标(-2,3). 【板书设计】 第2课时 简单平移的坐标表示 一、复习回顾 1. 图形平移的性质 2. 轴对称的坐标表示 二、核心规律（简单平移） 1. 左右平移：横坐标变，纵坐标不变（左减右加） 2. 上下平移：纵坐标变，横坐标不变（上加下减） 【布置作业】 （1）(1)完成教材P74习题第2题. （3）完成本课时对应课后练习.学生完成《学法大视野》本课时训练，要求学生认真完成，巩固所学知识。 教 学 反 思 2.3轴对称和平移的坐标表示 第3课时 综合平移的坐标表示 课题 2.3轴对称和平移的坐标表示 第3课时 综合平移的坐标表示 课型 讲授课 课时 1 总课时 教材分析 本节课是湘教版八年级下册平面直角坐标系的综合应用课时，承接上一课时简单平移的坐标表示，核心是探究平面内点和图形的综合平移（多次、组合平移）坐标变化规律。教材通过综合实例巩固规律，培养数形结合和综合应用能力，完善图形变换的坐标表示知识体系，为后续图形变换综合解题奠定基础。 学情分析 八年级学生已掌握简单平移的坐标规律、平面直角坐标系相关知识，具备一定观察和推理能力。但对综合平移的坐标变化推导不熟练，易混淆多次平移的坐标运算顺序，综合应用能力较弱，需通过分层演练、合作探究突破难点。 核心素养 （教学） 目标 1. 数学抽象：理解平面内点和图形综合平移的坐标变化规律，抽象出综合平移与坐标运算的内在关联，掌握综合平移的坐标表示方法。 2. 逻辑推理：通过观察、猜想、验证，推导综合平移的坐标规律，提升归纳、推理及规范表达能力。 3. 直观想象：结合图形感知综合平移的过程与坐标变化的对应关系，能根据坐标画综合平移后的图形，培养几何直观素养。 4. 数学应用：运用综合平移坐标规律解决实际问题，体会数形结合思想，增强综合应用意识和严谨思维。 教学重点 平面内点和图形综合平移（多次左右、上下组合平移）的坐标变化规律，能运用规律解决综合平移相关问题、绘制平移后的图形。 教学难点 推导综合平移的坐标规律，掌握多次平移的坐标运算顺序，灵活运用规律解决复杂综合问题。 教法学法 教法：采用启发探究式、分层演练法，结合多媒体辅助，引导学生探究综合规律、突破应用难点。学法：自主探究、合作交流，通过分层练习、归纳总结，主动掌握综合平移坐标规律并灵活应用。 教学准备 多媒体课件（综合规律推导、分层例题），学生自备草稿纸、铅笔、直尺，用于演算和绘制图形。 预习《学法大视野》本课时课前预习部分 教学过程设计 复备栏 一、情境引入：(课件展示) 动画展示笑脸平移： 把一个图形 整体 沿着一定的 方向 ，移动一定的 距离 ，这样的图形运动称之为平移.平移后得到的新图形与原图形 形状 和 大小 一样. 二、新知探究，合作交流：(以自学研讨或小组学习方式进行) [探究一：用坐标表示点的二次平移] 1.已知点 P(-3,-2),将点 P先向右平移6个单位，再向上平移5个单位得到 P'的坐标为(D) A.(6,5) B.(-9,-7) C.(-9,3) D.(3,3) 归纳：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点( x+a ,y)[或( x-a ,y)];将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x， y+b )[或(x,y-b)]. 2.思考：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向左平移m个单位，向上平移n个单位，可以得到对应点坐标是什么? 学生讨论回答:(x-m,y+n). 3.应用:【例1】将点 A(5,-1)先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到点 B，则点 B的坐标为 (C) A.(7,-3) B.(3,1) C.(7,1) D.(3,-3) [探究二：图形在平面直角坐标系中的二次平移] 1.阅读教材P₇₂~73|内容，平面直角坐标系中平移后的图形与原图形形状、大小有什么关系? 答：形状和大小相同. 归纳：一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移 b 个单位长度. 2.应用：【例2】如图，请写出平行四边形ABCD各顶点的坐标，将此图形先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到对应图形EFGH(点A、B、C、D的对应点分别为点E、F、G、H)，写出EFGH各顶点的坐标，这个四边形是平行四边形吗? 解：点A(-2,1),点B(1,1),点C(3,-1),点D(0,-1);点E(-3,3),点 F(0,3),点G(2,1),点H(-1,1);；这个四边形是平行四边形. 【例3】如图，在平面直角坐标系中，P(a，b)是 的边AC 上一点， 经平移后点 P 的对应点为 (1)请画出上述平移后的 ,并写出点A,C, 的坐标； (2)求出以A,C, 为顶点的四边形的面积. 解： 如图所示， (2)如图，连接 故S四边形. 3.完成教材 练习题. [集中展示与交流] 1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”. 2.教师肯定、点拨或矫正学生自学成果. 【课堂练习】 命题角度 1二次平移中点的坐标变化 1.在平面直角坐标系xOy中，线段AB 的两个端点的坐标分别为A(-1,-1),B(1,2),平移线段AB,得到线段A'B',已知点 A'的坐标为(3,—2),则点 B'的坐标为 (B) A.(4,1) B.(5,1) C.(6,1) D.(5,2) 2.已知矩形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，将矩形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合后，再沿y轴向下平移到使点D 与坐标原点重合,此时点 B 的坐标是 (﹣5,﹣3) . 命题角度 2 与平移有关的网格作图题 3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A(-2,-2),B(3,1),C(0,2). (1)△ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移2 个单位长度后得到△A₁B₁C₁，写出点A₁,B₁,C₁的坐标; (2)△ABC的面积为 7 . 解:(1)如图,△A₁B₁C₁ 即为所求,A₁(0,1),B₁(5,4),C₁(2,5). 三、评价与反思：(引导学生自己总结) 1.今天学习了什么?学到了什么?还有什么疑惑?有什么感受? 在学生回答的基础上，教师点评并板书： (1)用坐标表示点的二次平移. (2)图形在平面直角坐标系中的二次平移. 【板书设计】 2.3 轴对称和平移的坐标表示（第3课时） 一、复习回顾（简单平移规律） 1. 左右平移：左减右加（横坐标变，纵坐标不变）2. 上下平移：上加下减（纵坐标变，横坐标不变） 二、核心规律（综合平移） 多次组合平移：分步运算，最终坐标=初始坐标+各次平移变化量 【布置作业】 (1)完成教材P₇₅习题第3、4、5题. (2)完成本课时对应课后练习.学生完成《学法大视野》本课时训练，要求学生认真完成，巩固所学知识。 教 学 反 思 学科网（北京）股份有限公司 $