离散型随机变量的分布列和数字特征 导学案-2026届高三数学一轮复习

63级数学课堂导学案 编号63DSX7720260116 编制： 商献英 审核： 陈兰菊 班级： 姓名： 学号： 小组： 离散型随机变量的分布列和数字特征 【学习目标】 1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 2、掌握离散型随机变量的均值和方差的定义及性质，会计算均值和方差； 3、在实际问题中，能利用均值和方差进行决策。 【导】（熟读课本56-70页，填写必备知识） 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有　　　　的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 3.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i=1，2，…，n. (2)p1+p2+…+pn=　　　　. 4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)=　　　　　　　　　　=xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的　　　　　　　. (2)方差 称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=　　　　　　　　为随机变量X的方差，并称为随机变量X的　　　　，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的　　　　　　　　. 5.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX+b)=　　　　　　. (2)D(aX+b)=　　　　　　(a，b为常数). 【思】 题型一　分布列的性质 例1.　(1).已知随机变量X的分布列如表，则E(5X＋4)等于(　　) X 1 2 4 P 0.4 a 0.3 A.1 B.2.2 C.11 D.15 （2）已知随机变量ξ的分布列如表： ξ －2 0 2 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝2)的值是(　　) A. B. C. D. (3）设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P(X≥4)等于(　　) A. B. C. D. 题型二　离散型随机变量的分布列及数字特征 例2. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 例3.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球。 (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)。 例4. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示． 歌曲 A B： C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值． 题型三 数字特征在决策中的应用 例5.根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案： 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施． 工地的领导该如何决策呢？ 例6.　数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四个的概率为0，正确选项共有两个的概率为p(0<p<1). (1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A，B，C，D四个选项中任选一个选项，策略二：在A，B，C，D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的数学期望； (2)若有一个多选题，小明发现A正确，B，C，D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：除选A外再从B，C，D中任选一个，策略二：除选A外再从B，C，D中任选两个，在p=的条件下，判断小明选择哪个策略更好. 当堂检测： 1.(多选)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列说法正确的是(　　) X －2 1 3 P 2a 0.25 a A.a＝0.25 B.E(X)＝1 C.D(X)＝4.5 D.P(0.5<X<3.5)＝0.5 2甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是　　　 学科网（北京）股份有限公司 $