3.3 函数的应用(一)&3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

094 3.3函数的应用（一） 3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等 在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 1.通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模 (重点) 素养 2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解 2.借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养. 决实际问题.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点 常见的函数模型 1.一次函数模型 形如y=x+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型.应用一次函数的性质及图像解 题时，应注意： ①一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负）两种情况； ②一次函数的图像是一条直线。 思考：一次、二次函数 2.二次函数模型 模型的定义域都是全 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的数 体实数，在实际应用 学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有 问题中，定义域一定 时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题.●[思考] 是全体实数吗？ 3.分段函数模型 提示：不一定.在实际 应用问题中，函数的 这个模型的实质是一次函数、反比例函数（形如y=车，6≠0）、二次函数中两种及 自变量x往往具有实 以上的综合 际意义，如x表示长度 4.对勾函数模型 时，x≥0：x表示件数 时，x≥0，且x∈Z等. 这个模型的实质是一次函数与反比例函数（形如y=k,k≠0）模型的综合，解决此 在解答时，必须要考虑 类问题的最值可用均值不等式求解 这些实际意义 ●对应练习 1.某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额 (单位：元)是f(n)=k(n)(n-500)(n为年销售额，单位：元)，而k(n)= ,0.3,500≤n≤1000. 0.4,1000<n<2000,若一员工获得400元的奖励，则该员工一年的销售额为() l0.5,n≥2000. A.800元 B.1000元 C.1200元 D.1500元 2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图 所示，则下列说法正确的是 % A.甲比乙先出发 甲 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 0 t 3.某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有 近似的函数关系：Q=0.00252-0.175m+4.27,则车速为 km/h时，汽车的 耗油量最少 095 关键能力攻重难 ●题型一一次函数模型的应用 例 1.某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖 不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）里， 有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进 的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能 归纳提升：利用一次 使每月所获得利润最大，每月最多可获利多少元？ 函数模型解决实际问 题的2个注意点 (1)待定系数法是求 一次函数解析式的常 用方法 (2)当一次项系数为 正时，一次函数为增 ●[归纳提升] 函数；当一次项系裁 )对点训练 为负时，一次函裁为 1.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1000 减函数 吨，则每吨800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每 吨 () A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 ●题型二二次函数模型的应用 例之蒸水果就发商销售每箱进价为0元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不 得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱， 价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润ω（元）与销售单价x(元/箱)之间的函数 关系式； 归纳提升：二次函裁 (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 模型主要用来解决实 思路探究：本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函 际问题中的利润最 数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题； 大、用料最省等问 平均每天的销售利润ω（元）与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看 题，是高考考查的重 成是一个二次函数模型的应用题. 点.解题时，建立二次 函裁解析式后，可以 利用配方法、判别式 法、换元法、函数的 单调性等来求函裁的 最值，从而解决实际 [归纳提升] 问题 》对点训练 2.将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，一天可卖出100个.若这种商品的销售单价 每涨1元，日销售量减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元？ 096 ●题型三对勾函数的模型 例3在个月内分批购人每张价值为20元的书桌共36张，每批都购人：张(：是正 整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购 入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保 管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)； (2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明 理由 归纳提升：形如y=x +(a0)的面最模 型，我们称之为“对 勾函数”模型，它是 一个奇函裁，在 （-∞，-a]和 [√a,+∞)上是增函 [归纳提升] 裁，在[-a,0)和 对点训练 (0,√a]上是减函 3.某公司为了变废为宝，节约资源，设立了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经 数，应用此函数模型 测算，该项目月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可以近 求解最值时，要注意 自变量的取值范围及 3 -80x2+5040x,x∈[120,144)， 取得最值的条件. 似地表示为y= 该项目每月处理量为多少吨 -200x+80000,x∈144,500)， 时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？ 归纳提升：1.现实生 活中有很多问题都是 用分段函数表示的， 如出租车计费、个人 所得税等，分段函数 是刻画现实问题的重 要模型. 2.分段函数的每一段 自变量变化所遵循的 ●题型四 分段函数模型的应用 规律不同，因此可以 4.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当 先将其看成几个问 用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、 题，将各段的变化规 律分别我出来，再将 乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨. 其合到一起，要注意 (1)求y关于x的函数； 各段自变量的范围， (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和 特别是鶉点值」 水费 ●[归纳提升] 097 对点训练 4.某市有A,B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元； B俱乐部按月付费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每 小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也 不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动 x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 课堂检测 固双基 1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧 C.x=14,y=10 量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa) D.x=10,y=14 成正比例函数关系.当x=36kPa时，y=108g/m3,则4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计 y与x的函数关系式为 r4x,1≤x<10,x∈N, A.y=3x(x≥0) B.y=3x 算公式为y=2x+10,10≤x<100,x∈N,其中，x代 cy=g(≥0) D. l1.5x,x≥100，x∈N. 表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则 2.某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元（不满 该公司拟录用人数为 () 三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元 A.15 B.40 (不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话用时 C.25 D.130 550秒，应支付电话费 5.图中折线是某电信局规定打 ↑y元 A.1.00元 B.0.90元 长途电话所需要付的电话费y C.1.20元 D.0.80元 (元)与通话时间t(min)之间 6 3.某厂有许多形状为直角梯 ←-8 的函数关系的图像，根据图像 形的铁皮边角料，为了降低 3.6 判断：通话2min,需付电话费 消耗，现要从这些边角料上 元；通话5min,需付 截取矩形铁片（如图所示）· 20 电话费 元：如果t≥ 0 3 5 t/min 当截取的矩形面积最大时， 3,电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系式 矩形两边的长x,y应为 是 ( 24 A.x=15,y=12 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[26] B.x=12,y=15f(-1)=-1+3+1=3>0,f(-2)=-8+6+1=-1<0,4.(2,3)设f(x)=x3-2x-5,f(1)=1-2-5=-6<0,f2) f0)=0-0+1=1>0, =23-4-5=-1<0,f(3)=33-6-5=16>0,fx)零点所在 f(1)=1-3+1=-1<0,f2)=8-6+1=3>0, 的区间为(2,3)，所以方程x3-2x-5=0下一个有根的区间 故f孔x)在(-2，-1)，(0,1)，(1,2)上有零点， 是(2,3) 故方程x3-3x+1=0在区间(-1,0)上没有实数解。 3.3函数的应用（一） 例2：由于f代-2)=-1<0，f(-3)=4>0,故取区间(-3，-2) 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： i : 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 区间 中点的值 中点函数近似值 必备知识探新知 (-3,-2) -2.5 1.25 对应练习 (-2.5,-2) -2.25 0.0625 1.D根据题意，奖励金额f(n)可以看成年销售额n的函数，那 (-2.25,-2) -2.125 -0.4844 么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题. (-2.25,-2.125〉 -2.1875 -0.2148 当n∈(1000,2000)时，f(n)=0.4(n-500)=400→n= 1500e(1000,2000)符合题意.故选D. (-2.25,-2.1875) -2.21875 -0.0771 :2.D从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t=0),跑相同多的 由于1-2.25-(-2.1875)1=0.0625<0.1，所以函数的 路程(so),甲用时(t1)比乙用时(t2)少，即甲比乙的速度快，甲 一个近似负零点可取-2.25. 先到达终点.故选D. 对点训练2：1.4375 根据题意，方程x)=0的根应该在区间3.35Q=0.002502-0.175u+4.27=0.025(元2-70u)+4.27 (1.375,1.5上，则m=375+1.5=1.4375. 2 =0.0025[(v-35)2-352]+4.27=0.0025(m-35)2+ 1.2075.故v=35km/h时，耗油量最少. 例3：由函数零点存在定理以及二次函数图像的特征，得 f-1)>0, 2>0, 关键能力攻重难 f(0)<0, 例1：设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；每月所获利润 2m+1<0, 即 解得一 5 <m< f1)<0, 4m+2<0, 6 21 是y元，则每月售出报纸共(20x+10×250)份：每月退回报 f2)>0, 社报纸共10×(x-250)份. 6m+5>0, 依题意得y=(0.40-0.24)×(20x+10×250)-(0.24- 即实数m的取值范围足(-专，) 0.08)×10(x-250). 对点训练3：(-12,0)根据二次函数及其零点所在区间可画 即y=0.16(20x+2500)-0.16(10x-2500), 出大致图像，如图： 化简得y=1.6x+800(其中250≤x≤400). .此一次函数(y=kx+b,k≠0)的k=1.6>0, ·.y=1.6.x+800是一个单调增函数，再由250≤x≤400知 当x=400时，y取得最大值，此时y=1.6×400+800= 2V3 1440(元). fx)=3x2-5x+a .每天从报社买进400份报纸时所获利润最大，每月最多 f-2)>0, 12+10+a>0, 可获利1440元 f0)<0, a<0. 由图可知 对点训练1：C设y=kx+b(k≠0)，则1000=800k+b,且2000 即 f1)<0, 13-5+a<0 =700k+b,解得k=-10,b=9000,则y=-10x+9000.解 f3)>0, 27-15+a>0, 400=-10x+9000,得x=860. 解得-12<a<0. 例2：(1)根据题意，得y=90-3(x-50),化简，得y=-3x+240 课堂检测固双基 (50≤x≤55，x∈N). 1.B令-x2+8x-16=0,得x=4,故函数y=-x2+8x-16在 (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售 [3,5]上有一个零点.故选B. 量×每箱销售利润. 2.C利用变号零点的性质验证可得当x=2时，y=-2<0,当x 所以0=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50 =3时，y=3>0,故选C. ≤x≤55，xeN). 3.⑤①油条件f(a)fb)<0成立，则在(a,b)内可能不止一个 (3)因为0=-3x+360x-9600=-3(x-60)2+1200. 零点；②在f代a)f(b)>0的情况下，未必无零点；③在(a,b)内 所以当x<60时，o随x的增大而增大 有零点，也未必有f代a)f(b)<0成立；④注意端点问题，可能 又50≤x≤55，xeN,所以当x=55时，o有最大值，最大值 a,b恰好使得f代x)=0. 为1125. 189 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且 [144,0≤≤专， 最大利润为1125元. 4 对点训练2：设销售单价定为x元，则日销售量减少(x-10)×10 所以y= 20.4x-4.8,5 3 个，那么，日销售个数就成了100-(x-10)×10=200- .4 10x个. 24x-9.6,x>3 设获利为y元，则y=(x-8)×(200-10x)=10(-x2+28x- (2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增； 160)=-10(x-14)2+360」 当xe[0,号]时y≤号)<26.4： 当x=14时，ymm=360.所以为了获得最大利润，此商品的销 售单价应定为14元. <26.4: : 当e(号号]时w号) 例3：(1)设题中比例系数为6，若每批购人x张，则共需分36批， 1 当e(,+）时，令24-9.6=26,4， 每批价值为20x元，由题意代)=36.4+k·20x当x=4 解得x=1.5. 所以甲户用水量为5x=5×1.5=7.5(吨)， 时4④)=52，得k=6=1 付费S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元)； 80-5· 乙户用水量为3x=4.5(吨)， 所以fx)=14+4x(0<x≤36，xeN). ; 付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元). 对点训练4：（1)f(x）=6x,12≤x≤30.g(x) (2)能.理由如下：由(1)知，x)=14+4x(0<x≤36，x∈ r90,12≤x≤20， 50+2x,20<x≤30. N), (2)①当12≤x≤20时，6x=90,解得x=15, 所以4+4≥2 44.4x=48,当且仅当4=4，即x= 当12≤x<15时，fx)<g(x); 6时，上式等号成立 当x=15时，f(x)=g(x); 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用 当15<x≤20时，f(x)>g(x). ②当20<x≤30时，f(x)>g(x) 对点训练3：由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为y= 当12≤x<15时，选A俱乐部比较合算： 当x=15时，两家俱乐部一样合算； 「3x2-80x+5040,xe[120,144), 当xe[120,144)时， 当15<x≤30时，选B俱乐部比较合算 -200,x∈[144,500). x课堂检测固双基 1.A由题意设y=kx(k≠0)，将(36,108)代入解析式可得k= 32-80x+5040 3,故y=3x,由题意可知x≥0. 2.By=0.2+0.1×([x]-3)([x]是不小于x的最小整数，x =号x-120)2+240,所以当x=120时，取得最小值240： >3),令x-0放[=10，则y=09 当xe[14,500)时，义= x+80000 1 -200≥3.A 结合题闲，可得六-斗6，得=24-号，矩形铁片的面 3 -200=200, 积s=w=24-号）=号+24，所以当= 24 2x() 当且仅当分-800，即x=400时，取得最小值20. x =15时S最大，此时y-24-号x15=2,放选A 因为200<240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的 4.C令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意；若2x+10= 平均处理成本最低。 60,则x=25,满足题意；若1.5x=60,则x=40<100,不合题 例4：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也 意.故该公司拟录用25人 不超过4吨，y=1.8(5x+3x)=14.4x: :5.3.66y=1.2t(t≥3)由题图知，通话2min,需付电话费 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时， 3.6元，通话5min,需付电话费6元， 即3x≤4，且5x>4时， r3.6=3k+b, y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8. 当t≥3时，设y=t+b(k≠0)，则有 16=5k+b, 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时， 解得-1.2， y=1.2t(t≥3). y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6. b=0. 190