云南大理白族自治州大理市2025-2026学年上学期高二期末教学质量监测数学试卷

大理市2025~2026学年上学期高二年级教学质量监测考试 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 个 8 答案 D C 0 A B c B D 【解析】 1.由x2-x-6<0=(x+2)(x-3)<0→-2<x<3,所以B={x|-2<x<3}.因为x∈Z,所 以A∩B={-1,0,1,2},故选D 2.2=(-2+i)=-1-2i,则z的虚部是-2，故选C. 3.对于A:f)=c0sx为偶函数，但在(0，+0)上不是增函数，错误：对于B:fW)=x+ 为奇函数，错误；对于C:f(x)=x2+1为偶函数，根据图象可知其在(0，+0)上为增函数， 正确；对于D:f(x)=e-e是奇函数，错误，故选C. 4.由三角函数的定义可知：ma-5.)0<0,化简得：y=-1,故y=-1,故 21+y2 选A. 5.如图1，由想可知RRz,又因为∠PRR-子∠RPR 3 教阻卡容阴店又因为P限I+明卡 g2a,故 e=S-5,故选B. 图1 6,令m=1,则有a=440,故数列a)是以)为首项，号为公比的等比数列，而 S=}g=1+①=8，故选C. 9 S 1-g 7.设三棱柱的外接球的球心为O,三棱柱上、下底面的中心为M,M,则MM'=2.由对称 性可知O为Mr的中点，且O到上、下底面的距离dM-1,即d=-1设M,到 高二数学参考答案·第1页（共9页） 所在面顶点的距离，由正弦定理得，4B =27,所以r=1 =1,由勾股定理得 sin∠ACB 2sin30° 该球的半径R=V心+r户=V反，所以外接球的体积r=4R_8V巨 π，故选B. 3 3 8.由A=AB可知：直线1过抛物线的焦点F,且直线1的斜率必存在，设其为k,由于抛 3 物线C:产的焦点坐标为存0小，故直线1的方程为：yx》 联立： -+1x+ 2 16 再 y2=x, 1 出丽-额可特：=即：与 2 xX2= 4，联立 16 3 解得： x+2x,= 2 故 2 所以直线1的斜率k=±2√2，从而得到直线1的倾斜角的正弦 P 值为2② 故选D. 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ACD BC BCD 【解析】 9.对于A,若A,B互斥，则P(AB)=0,A正确；对于B,若BSA,则P(AB)=P(B)=0.4, B错误；对于C,若P(AB)=0.2,则P(AB)=P(A)P(B),所以A,B独立，C正确；对于D, 若P(AUB)=0.8,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-P(AB)=0.8,所以 P(AB)=0.3.又因为P(APB)=0.5×0.6=0.3,所以P(AB)=P(A)P(B),故事件A,B独立， 从而A,B也独立，D正确，故选ACD 高二数学参考答案·第2页（共9页） 10.对于A,由题图可知DE与OC为异面直线，所以DE与OC不平行，故A错误；对于B, DE=DA+4B+BE=104+0B-04+(OC-OB)=-104+108+OC=-1a++ 2 2 2 2 ,放B正确：对于c,由于a6=6=a=2,所以1D丽-a-万- =a2-4)=2,即1DV2又D丽.0B=-1a+五+.i=2,所以直线Dz与直 4 222 线OB所成角的余弦值为c0sD呕，OB)=D丽.O丽-5，即直线DB与直线OB所成角 DE.OB 2 的大小为45°，故C正确；对于D,连接AE与OE,由正四面体的性质可知∠OEA为直 线O8与面18C所成角，由于co∠081=0o2-故D特误，教选BC， 2EA.EO 11.对于A,由于4=1，则必进入循环圈1→4一→2→l,所以a=a3(∈N),故A错；对 于B,由A选项可知S226=675×7+1=4726,故B正确；对于C,当m=48时，即根据 上述运算法得出：48→24→12→6→3→10→5→16→8→4→2→1，故当m=48时，使得 4=1需要11步雹程，故C正确；对于D,若4=8，根据上述运算法进行逆推，若4=8， 则4=16,4=32或4=5；当4=32时，4，=64,4=128或4=21；若4=5时， 42=10,4=20或4=3，故a=8时，m所有可能的取值集合为M={3,20,21,128}, 故D正确，故选BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 2 13 14 答案 √2 5 【解析】 12.因为ā1b,则a.b=0,则x+1-2x=0,解得x=1,则b=1,-1),则1b=√2，故答 案为：√2 高二数学参考答案·第3页（共9页） 13.圆C:x2+y2-4x-1=0的标准方程为：(x-2)2+y2=5,其圆心C(2,0)到直线 x+y-6=0的距离为2W5>√5，故直线与圆相离.连接CP,在Rt△PBC中， sin∠APB-BC-V5 则当PC的长度最小时，sim,最大，此时乙APB最大而P0 2 PC PC 的最小值即为圆心C到直线x+y-6=0的距离，即|PCm=2W2,此时切线长PB=√3， 由于Rt△PBC≌Rt△2AC,故四边形APBC的面积S2Se=2X)XV5x3=15,故 答案为15 14.设点P(x。,y),点M(x,),则{ ,=2y且或+号=4，所以+2=4，化简得 xp=x +广=1，故动点M的轨迹为椭圆，而点A(5.0,B30)即为椭圆的焦点，所以 x2 IM4+刊B4，故t1=11+1） (M+B)= 2+MBL+IMA） 1 IMAIMB 4 MAI MB 4 MAIMBI ≥是×4=1（当且仅当|MHMB=2时“=”成立），故MAMB 的最小值为1，故答 4 案为：1. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由题意可得(0.01+0.02+a+0.04)×10=1,解得a=0.03. …(3分) 因为前三组频率之和为：0.1+0.2+0.3-0.6，第四组频率为0.4， 所以第75百分位数为：5+075-0.6 ×10=58.75 0.4 …（6分) (2)由在[25,35)及[35,45)的人群中按分层抽样抽取6人，因为两组频率之比为1：2， 所以在[25,35)内抽取了2人，记这2人为A,B,在[35,45)内抽取了4人， …（7分) 高二数学参考答案·第4页（共9页） 记这4人为a,b,c,d,从中选2人有(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,),(B,a, (B,b),(B,c),(B,d,(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共15种选法， …(10分) 其中这2人来自不同组的选法有(A,,(A,b),(A,c),(A,d),(B,,(B,b),(B,c), (B,d),共8种取法， (12分) 所以这两人来自不同组的概率为 …（13分) 16.(本小题满分15分) (1)解：由题意可知： a+d=9, 5a+10d=65, 解得： 4=5, 香年■等香带■原香年带事票等第用带香年用等年年年年手用而事等香第年原香年带 1d=4, (3分) 所以a4.=4+(n-1)d=4n+1. …（5分) 1 11 1 (2)证明：由(1)知，b.= aa+1(4n+10(4n+5) 4(4n+14n+5 (8分) 防以2=A+4+A=传引信)- ………(11分） 化网：工-) …(13分) 由于neN, 111 54n+55,故可得：Z<20 …(15分） 17.(本小题满分15分) 解：(1)因为f(x)=V3cos2x+sinxcosx= 3 3 (3分) 所以f(x)的最大值为1+ …(4分） 2 高二数学参考答案·第5页（共9页） 令2x+亚=亚+2kπ(k∈Z),解得x=亚+km,k∈Z, 32 12 所以取得最大值时自变量x构成的集合为： ……（6分) (2)因为f A 4到5，可：4到9 因为A∈(0，，A+匹∈匹，4 ,可得：A+33 ,π2π 333 解得：A=亚 …(9分） 3 由题可知∠BAD=∠CAD=元，设DC=x则BD=2x,AB=C,AC=b, 6 AD DC AD BD 即3 3 2x 由正弦定理得： sinC sin∠CAD'sinB sin∠BAD sinc1’sinB1 解得nC-5-2O …(11分) sin Bb 又S△ABC=S△4BD+SAACD 则上c·bsinA=1c·ADsin∠BAD+AD.bsin∠DAC, 2 2 化简得bc=b+c② …………（13分) 由02解得b=3,c=3, △1BC的面积为s=besin A=x3x3x5_95 …(15分) Γ221 28 18.(本小题满分17分) (1)证明：如图2，取AD的中点O,连接OP,OB, 在菱形ABCD中，由AD=BD,可得△BAD为等边三 角形，所以BO⊥AD 因为平面PADL平面ABCD,平面PAD∩平面 ABCD=AD, 图2 高二数学参考答案·第6页（共9页） 且OBC平面ABCD,所以OB⊥平面PAD.…(4分) 又因为E为BC的中点，可得BE∥AD,且BE=OD, 所以四边形OBED是平行四边形，所以DE∥OB,所以DE⊥平面PAD 因为PAC平面PAD,所以DE⊥PA …(8分) (2)解：因为PA=PD,可得PO⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 且POC平面PAD,所以PO⊥平面ABCD. 以O为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,”,z轴建立空间直角坐标系， …(10分） 如图所示，则D(-10,0),E(-1,√3,0)，P(0,0,1),C(-2,√3,0)，A1,0,0), B(0,√3,0)， 可得PA=1,0,-1),PB=(0,V3,-1),DE=(0,V3,0),PC=(-2,V3,-1) 因为00=Op+P0=0P+tPC=(0,0,)+t(-2,V3,-1)=(-2t,V3t,1-t), 所以Q(-2t,V3t,1-t),所以D0=1-2t,V3t,1-t) 设平面QDE的一个法向量为元=(x,y,z), 则i.D亟=5y=0 i.D2=(1-2t)x+V3y+(1-t)z=0, 令：1，则=0， 所以i=t-1,0,1-2) ………(13分) 同理求得平面PAB的一个法向量为m=(V3,1,√3)， …(15分） l·n 所以，1cos(2 √3t V105 Imllnt-1)2+1-2t)2 35 L},所以当O是PC的三等分点（靠近点P)时，使得平面PAB与平面 所成角的余弦值为105 …（17分) 35 高二数学参考答案·第7页（共9页） 19.(本小题满分17分) g=5, /a23 (1)解：由题意知： a 11 且c2=a2+b2,求解可得： 41 1, b2=3, a x v 所以双曲线T的标准方程为： 33 =1 ……(4分) 4 (2)解：当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为：x=1, 此时，？点的坐标分别为1,1)，卫1，-1)， 1 则△ORB的面积为S08-2X1×2=1,满足题意， 故此时直线1的方程为：x=1: …(5分) 当直线l的斜率存在时，设其为k,则直线1的方程为：y=k(x-)+1, 由(1)可知双曲线T的渐进线方程为y=±2x,而直线1与双曲线T交右支于点，P,, [y=k(x-1)+1, 则直线I的斜率应满足：k<-2或k>2,联立直线1与双曲线T的方程： 4x2-y2=3, 消去y得：(4-k2)x2+(2k2-2)x-k2+2k-4=0(4-k2≠0). △=(2k2-2)2+4(4-k2)k2-2k+4)=4(k-4)2>0, 设点(x)心2y2),则有： 2k2-2k {x+x,=kK-4 2-2k+4 xx2=- 2-4, 而点0到直线1的距离为：d=1-1 Vk2+1 ………(7分) PB=1+k2V低+x,)2-4x,=1+k 2k2-2k 4.K-2水+4=2N+.-4 k2-4 k2-4 k2-4 因此：521×二4-1，化简得： k2-5k+4=1, k2-4Vk2+1 k2-4 即：|k2-5k+4=k2-4，其中：k<-2或k>2,且k≠4. …(8分) 高二数学参考答案·第8页（共9页） 当发-5水+4=-4时，解得-号不满足题意，合去： 5 当k2-5k+4=-k2+4时，解得k=0（舍去)或k= 此时直线1的方程为：5x-2y-3=0, 综上可得直线1的方程为：x=1或5x-2y-3=0. …(10分) (3)证明：由题意有 「4x2-y2=3, 4x1-y1=3, 作差得：4x-x)=-1, 即有：4(xn-xn+)x+x+)=(yn-yn+)y。+ya+). (12分) 又x1+xn=y。-yn+1≠0，所以4(xn-xa+i)=y。+ya+1, 3 所以H+y=41+4, 解得： +1-n=-X+1-X 3 5 y=- 2n+2 …(15分) 5 由= 2x4+1-y1= 2xn+1- 9 3 +1 2 2 n+1一2 2 d 2%a-yn 5 -=3,且4=2x-4=1, 3 所以数列{a}是首项4=1，q=3的等比数列，故a.=4q=3. …（17分) 高二数学参考答案·第9页（共9页）大理市2025~2026学年上学期高二年级教学质量监测考试 数学试卷 (全卷四个大题，共19个小题，共6页；满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号等在 答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合A={x|x∈Z},B={x|x2-x-6<0},则A∩B= A{x|-3<x<2} B.{x|-2<x<3} C.{-2,-1,0,1,2,3} D.{-1,0,1,2} 2.已知复数z=(-2+)i(其中i为虚数单位)，则z的虚部是 A.2i B.-2i C.-2 D.2 3.下列函数是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增的是 A.f（x)=cosx B.f(x)=+1 C.f(x)=x2+1 D.f(x)=e*-e 4.已知角a的终边过点M(-1,y),且ina=- 2,则y A.-1 B.1 C.-1或1 D.② 2 高二数学·第1页（共6页） 5. 设椭圆C: t2 会I(a>b>0的左石焦点分别为E乃，P是C上的点，PP ∠RPF,=号，则椭圆C的离心率为 √5 A. 4 B. c司 D.③ 2 6、设数列10的前n项和为8，且对任意的正整数m,,都有a=a,若a, 2 9 7 A.9 B.8 D. 8 7.在三棱柱ABC-A,B,C1中，已知AA1⊥底面ABC,侧棱AA,=2,AB=1,∠ACB=30°， 且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 42 8√ 37 3 C.l62 3π D.322 3 T 8.已知抛物线C:)=x的焦点为F,直线1与C交于A,B两点，且A=店，则直线1 倾斜角的正弦值为 A.3 D.22 3 4 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.4,下列说法正确的有 A.若A,B互斥，则P(AB)=O B.若BCA,则P(AB)=0.5 C.若P(AB)=0.2,则A,B独立 D.若P(AUB)=0.8,则A,B独立 高二数学·第2页（共6页) 10.如图1，四面体OABC的所有棱长都是2，D,E分别是边OA,BC的中点，连接DE, 设0A=d,0i=6,0元=c,则 A.DE∥OC B店=方++ C.直线DE与直线OB所成角的大小为45 D、直线0B与平面ABC所成角的余弦值为5 图1 11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反 复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进人循环圈1→4→2→1.这就是数学史 上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6,根据上述运算法 则得出6→3→10→5→16+8→4→+2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹 当a.为偶数时 程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下：a+1= ,且a1=m 3an+1,当an为奇数时 (m为正整数)，设数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的有 A若a1=1,则an=an*4(n∈N) B.若a1=1,则S206=4726 C.若m=48,使得an=1需要11步雹程 D.若a5=8,则m所有可能的取值集合为{3,20,21,128} 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知平面向量a=(x,1),=(1,1-2x),若d1,则16|= 13.过直线x+y-6=0上的动点P作圆C:x2+y2-4x-1=0的两条切线，切点分别为A,B, 当∠APB最大时，四边形APBC的面积为 14.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足，线段PD的中点 1 为M,设A(-5,0),B(,5,O),当点P在圆上运动时，MA+MB的最小值为 高二数学·第3页（共6页) 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) “绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深人人心，现已形 成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进 展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点.现从 参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组 [25,35),第2组[35,45)，第3组[45,55)，第4组[55,65]，如图2所示. (1)求a的值，并估计这组数据的第75百分位数； (2)现从年龄在[25,35)及[35,45)的人群中按分层抽样抽取6人，再从中选2人 作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自不同组的概率， ↑频率 组距 0.04 0.02 0.01 02535455565年龄 图2 16.（本小题满分15分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=9,S,=65. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设6n= 1一， anan+l 数列6，}的前n项和为7，求证：T<分 高二数学·第4页（共6页) 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx.. (1)求f(x)的最大值以及取得最大值时自变量x构成的集合； (2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=5，D点在线段 BC上，且AD平分∠BAC,若BD=2CD,且AD=√5，求△ABC的面积. 18.（本小题满分17分) 如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AD=BD,平面PAD ⊥平面ABCD,PA=PD=√万，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上，且|PQ|=t|PCI, t∈[0,1]. (1)求证：DE⊥PA; (2)是否存在一点Q,使得平面PAB与平面QDE所成角的余弦值为3S？若存在， 求出Q点的位置；若不存在，请说明理由. D 图3 高二数学·第5页（共6页） 19.（本小题满分17分) 已知双曲线若-三=1(a0,60)的高心率为5，且过点A1,) (1)求双曲线T的标准方程； (2)过点P,的直线1与双曲线T的右支交于另一点P2,当△OP,P2(0为坐标原点) 的面积为1时，求直线1的方程； (3)若对Hn∈N°，点Pn(xn,yn)都在双曲线T上，且xn+xn+1=yn-yn1≠0，设 an=2xnyn·证明：数列{an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式 高二数学·第6页（共6页)