随机事件与概率学案-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了随机事件与概率专题，涵盖样本空间、事件关系、古典概型、概率性质及频率与概率等核心考点，按概念内涵、逻辑关系到计算应用的层次构建知识网络，通过【导】中问题链引导学生自主回顾课本，完成知识梳理与框架搭建。 亮点在于诊断性自测与分层题型设计，开篇设置判断正误等诊断题，【思】中按随机事件关系、古典概型计算等命题点分类训练，培养数学思维与数学语言表达能力。【议】环节引导讨论方法总结，【当堂检测】融入高考真题，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可依学情精准指导，支持个性化复习与因材施教。

随机事件与概率（学案） 【学习目标】 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.理解事件间的关系与运算. 3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 【导】（熟读课本必修二，思考完成以下问题） 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示. 全体样本点的集合称为试验E的　　　　　　　　，常用Ω表示. ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形：　　　　　　　　　、　　　　　　　　. 2.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 相等关系 B⊇A且A⊇B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B=∅ 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 3.古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有　　　　　. (2)等可能性：每个样本点发生的可能性　　　　. 4.古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=　　　　　=. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 5.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=　　　　　　；  性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=　　　　　　；  性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=　　　　　　　　. 6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　) (2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(　　) (3)从-3，-2，-1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(　　) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件.(　　) 2.甲、乙等五人站成一排，其中为互斥事件的是(　　) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙站排尾” C.“甲站排头”与“乙不站排头” D.“甲不站排头”与“乙不站排头” 【思】（独立完成下列问题） 题型一　随机事件的关系 命题点1　随机事件关系的判断 例1　(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”，G=“点数大于2”，H=“点数小于2”，R=“点数为3”.则下列结论正确的是(　　) A.E，F为对立事件 B.G，H为互斥不对立事件 C.E，G不是互斥事件 D.G，R是互斥事件 (2)从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则下列选项中事件A与事件B互斥却不互为对立的是(　　) A.事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球 B.事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球 C.事件A：3个球中至多有2个红球；事件B：3个球中至少有2个白球 D.事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球 命题点2　利用互斥、对立事件求概率 例2　(1)(多选)下列说法正确的有(　　) A.若事件A⊆B，则P(A)≤P(B) B.若A，B为对立事件，则P(A)+P(B)=1 C.若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B) D.P(A∪B)<P(A)+P(B) (2)若事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，则P()=　　　　. 命题点3　利用频率估计概率 例3　(多选)下列命题正确的是(　　) A.随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 B.抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是 C.有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品 D.抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51 题型二　古典概型 例4　（1）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． （2）（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． （3）（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． （4）（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【议】1.核对答案，讨论前面问题中的疑惑； 2.通过例2，例3总结如何求事件的概率； 3.通过例4，讨论古典概型中基本事件个数的列举方法. 【展】考点一例1；例2；例3；例4； 【当堂检测】 1.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 2. 从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为________ 3.（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $