随机事件与概率（含条件概率和全概率公式）讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦随机事件与概率核心考点，涵盖古典概型、条件概率、全概率公式等高考重点，按基础知识梳理、经典例题解析、巩固练习提升的逻辑架构编排。通过考点系统梳理、解题方法指导、真题题型训练三个环节，帮助学生构建知识网络，突破古典概型计算、条件概率应用等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料突出数学思维与数学眼光的培养，如古典概型例题中引导学生用组合数分析样本空间，条件概率教学采用“样本空间缩小法”直观理解概念，全概率公式结合旅游决策等现实情境强化应用。设置选择、填空、解答分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握高考题型，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

随机事件与概率（含条件概率、全概率公式） 目录 基础知识 1 经典例题 3 1.随机事件的关系 3 2.频率与概率 4 3.古典概型 4 4.事件的独立性与条件概率 4 5.全概率公式 5 巩固练习 5 基础知识 1.样本点和有限样本空间 ①随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，常用表示.全体样本点的集合称为试验的样本空间，常用表示. ②有限样本空间为有限样本空间. 2.随机事件 ①将样本空间的子集称为随机事件，简称事件. ②用大写字母表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 3.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 相等关系 且 并事件（和事件） 事件A与事件B至少有一个发生 或 交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生 或 互斥（互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 且 4.古典概型 （1）特征：①有限性，样本空间的样本点只有有限个. ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. （2）公式：. 5.概率的性质 ①非负性：； ②规范性：； ③有限可加性：若两两互斥，则； ④逆事件概率：； ⑤可比性：若，则； ⑥加法公式：. 6.频率与概率 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 可以用频率估计概率. 7.相互独立事件 ①概念：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立. ②性质：若事件与相互独立，那么与，与，与也相互独立. 8.条件概率 ①定义：设是任意两个事件，且，则称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率. ②公式： ③乘法公式： 9.条件概率性质：条件概率只是缩小了样本空间. ①； ②设和互为对立事件，则； ③如果与是两个互斥事件，则； ④两个事件与相互独立. 10.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有. 11.贝叶斯公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则. 经典例题 1.随机事件的关系 【例1】（多选题）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（    ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【例2】设随机事件A，满足，，则（    ） A．0.4 B．0.35 C．0.25 D．0.1 【例3】根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为，英语考试不及格的概率为，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为，则他数学和英语两门都不及格的概率为（    ） A． B． C． D． 2.频率与概率 【例1】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 3.古典概型 【例1】一个不透明的袋子里装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出2个球，则这2个球异色的概率是（   ） A． B． C． D． 【例2】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 4.事件的独立性与条件概率 【例1】在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【例3】从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【例4】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 5.全概率公式 【例1】小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【例2】每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为. (1)求，； (2)求的表达式. 巩固练习 1．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知与是相互独立的随机事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机事件互相独立，满足，，则（  ） A． B． C． D． 5．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 6．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 7．某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 8．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 9．已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 10．已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（    ） A．与相互独立且 B．与不相互独立且 C．与相互独立且 D．与不相互独立且 11．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 13．（多选题）已知事件满足，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 14．（多选题）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（　　） A．事件与事件互为对立事件 B．若为互斥事件，则 C．若，则事件与事件相互独立 D．若相互独立，则 15．（多选题）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 16．（多选题）某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远､铅球､跳高分别为事件A､B､C，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选题）下列命题中的真命题有（    ） A．已知随机事件相互独立，则 B．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球 是两个互斥而不对立的事件 C．若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种 D．已知，若，则 18．（多选题）已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若发生时一定发生，则 19．（多选题）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件：至少出现一个奇数点，下列说法正确的是（ ） A． B．与互斥 C． D． 20．（多选题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（多选题）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，事件，事件，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 22．（多选题）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（    ） A． B．当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C．一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D．若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 23．（多选题）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（   ） A． B． C． D． 24．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 25．若，且与相互独立，则 ． 26．某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 . 27．某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为 ；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 . 28．已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 29．甲乙丙丁互相传球，每次传球由持球者等可能地传给另外三人中的一人，现从甲开始传球，则经过六次传球后球恰好首次回到甲手中的概率为 . 30．投掷一个正方体骰子，在掷出奇数点之前，所有偶数点至少掷出一次的概率为 ． 31．如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .    32．若随机事件满足，，，求的值． 33．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 34．甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 35．实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： (1)这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛乙所胜局数的数学期望. (3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 36．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 37．年全国计算机三级考试分上机考试与笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机三级考试“合格”，并颁发计算机三级证书，甲、乙、丙三人在上机考试中“合格”的概率依次为，在笔试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格互不影响. (1)求甲没有获得计算机三级证书的概率； (2)这三人进行上机考试与笔试两项考试后，求恰有两人获得计算机三级证书的概率. 38．小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 39．在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； (3)甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 40．甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． (1)求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 41．甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 随机事件与概率（含条件概率、全概率公式） 目录 基础知识 1 经典例题 3 1.随机事件的关系 3 2.频率与概率 4 3.古典概型 5 4.事件的独立性与条件概率 6 5.全概率公式 8 巩固练习 9 基础知识 1.样本点和有限样本空间 ①随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，常用表示.全体样本点的集合称为试验的样本空间，常用表示. ②有限样本空间为有限样本空间. 2.随机事件 ①将样本空间的子集称为随机事件，简称事件. ②用大写字母表示. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件. 3.两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生 相等关系 且 并事件（和事件） 事件A与事件B至少有一个发生 或 交事件（积事件） 事件A与事件B同时发生 或 互斥（互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 互为对立 事件A与事件B有且仅有一个发生 且 4.古典概型 （1）特征：①有限性，样本空间的样本点只有有限个. ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. （2）公式：. 5.概率的性质 ①非负性：； ②规范性：； ③有限可加性：若两两互斥，则； ④逆事件概率：； ⑤可比性：若，则； ⑥加法公式：. 6.频率与概率 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 可以用频率估计概率. 7.相互独立事件 ①概念：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立. ②性质：若事件与相互独立，那么与，与，与也相互独立. 8.条件概率 ①定义：设是任意两个事件，且，则称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率. ②公式： ③乘法公式： 9.条件概率性质：条件概率只是缩小了样本空间. ①； ②设和互为对立事件，则； ③如果与是两个互斥事件，则； ④两个事件与相互独立. 10.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有. 11.贝叶斯公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则. 经典例题 1.随机事件的关系 【例1】（多选题）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（    ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】设事件“第一次射击中靶”，“第二次射击中靶”，“至少一次中靶” 则事件至少一次中靶包含：， 对于A，至多一次中靶包含，所以与事件不对立； 对于B，两次都中靶包含，所以与事件不对立； 对于C，只有一次中靶包含，所以与事件不对立；     对于D，两次都没有中靶包含，所以与事件对立. 故选：ABC. 【例2】设随机事件A，满足，，则（    ） A．0.4 B．0.35 C．0.25 D．0.1 【答案】D 【分析】注意到，然后由题可得，最后由对立事件概率性质可得答案. 【详解】注意到，，则， 又， 则. 故选：D 【例3】根据以往考试统计，某学生数学考试不及格的概率为，英语考试不及格的概率为，而他数学或英语考试至少有一门不及格的概率为，则他数学和英语两门都不及格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的加法公式计算即可. 【详解】设数学考试不及格为事件，英语考试不及格为事件. 由题意可得 因为， 所以. 故选：B. 2.频率与概率 【例1】在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立重复实验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 3.古典概型 【例1】一个不透明的袋子里装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出2个球，则这2个球异色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列组合计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，结合古典概型的概率公式可求概率. 【详解】设为“从袋子中随机摸出2个球，这2个球异色”， 则从5个球中任取2个球，不同的取法为种， 而两球异色的取法共有种， 故. 故选：C. 【例2】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 4.事件的独立性与条件概率 【例1】在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式直接计算可得. 【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品， 所以第二次抽到次品的概率为. 故选：B. 【例2】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：C. 【例3】从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 【例4】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义、性质，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由是独立事件，得，A正确； 对于B，由是独立事件，得相互独立，则，B正确； 对于C，，C错误； 对于D， 由是独立事件，得也是相互独立事件， 则，D正确， 故选：C 5.全概率公式 【例1】小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以. 故选：D 【例2】每天锻炼一小时，幸福生活一辈子.小明每天都会在游泳和跑步中选择一个项目进行锻炼.如果当天选择游泳，则第二天选择游泳的概率为；如果当天选择跑步，则第二天选择游泳的概率为.已知小明第一天选择游泳，记小明第n天选择游泳的概率为. (1)求，； (2)求的表达式. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式依次求出. （2）根据给定条件，利用全概率公式及等比数列的定义求出的表达式. 【详解】（1）设“第天选择游泳”，则“第天选择跑步”， 依题意，，，， 由全概率公式，得； . （2）由（1）得，，，， 由全概率公式，得， 则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，， 所以的表达式为. 巩固练习 1．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的加法公式求得. 【详解】由题意可得，. 故选：A 2．已知与是相互独立的随机事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和事件、相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】依题意，与是相互独立的随机事件， . 故选：D 3．已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率的加法公式求出，再利用条件概率公式计算求解． 【详解】， ， ． 故选：D． 4．已知随机事件互相独立，满足，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立性，则，结合得到，最后利用条件概率公式求解即可． 【详解】因为随机事件互相独立，所以， 则， , 解得，，， ． 故选：A． 5．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B 6．某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用概率的乘法公式计算可判断A；利用条件概率公式计算可判断B；事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生，利用概率的乘法公式计算可判断C；利用概率的加法公式求解可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，事件B可分为两种情况： 第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生， ，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：A 7．某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】所有可能的借阅顺序总数为：， 最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》， 所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有种情况， 最后一本已经确定是《孙子算经》，中间本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有种情况， 设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件， 则， 故选：D. 8．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案. 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误；     对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；     对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 9．已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（   ） A．事件与一定是对立事件 B． C． D．若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 10．已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（    ） A．与相互独立且 B．与不相互独立且 C．与相互独立且 D．与不相互独立且 【答案】C 【分析】根据已知判断是否成立，结合概率的性质求，即可得. 【详解】由题设，， 所以 所以事件与事件相互独立， 由概率的性质，有. 故选：C 11．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 12．（多选题）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对立事件定义可判断A；根据条件概率及全概率公式计算可判断BCD. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 13．（多选题）已知事件满足，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用集合间的关系，得，即可求解；对于B，利用互斥事件的概率公式，即可求解；对于C和D，利用相互独立事件的判断方法和概率公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以，故A正确； 对于B，因为与互斥，则，故B正确； 对于C，因为，则， 所以与相互独立，故C正确； 对于D，因为与相互独立，又， 所以，故D错误. 故选：ABC 14．（多选题）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（　　） A．事件与事件互为对立事件 B．若为互斥事件，则 C．若，则事件与事件相互独立 D．若相互独立，则 【答案】BCD 【分析】根据对立事件、互斥事件、独立事件及概率加法公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：，且与不一定互斥， 所以事件与事件不是对立事件，故A错误； 对于B：若为互斥事件， 则，故B正确； 对于C：，事件与事件相互独立，故C正确； 对于D：相互独立，则， 所以，故D正确. 故选：. 15．（多选题）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 16．（多选题）某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远､铅球､跳高分别为事件A､B､C，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用概率的基本性质计算求解判断A，B，应用条件概率计算判断C，D. 【详解】某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人. 同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人. 现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远､铅球､跳高分别为事件A､B､C， 则， ，A选项正确； ，不相等，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项正确； 故选：ACD. 17．（多选题）下列命题中的真命题有（    ） A．已知随机事件相互独立，则 B．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球 是两个互斥而不对立的事件 C．若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种 D．已知，若，则 【答案】AC 【分析】根据条件概率公式和相互独立事件的乘法公式即可判断A；根据互斥事件的定义即可判断B；先分组再分配进而课判断C；根据条件概率公式即可判断D. 【详解】对于A，当随机事件相互独立时，， ，故A正确； 对于B，依题意，从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球， 事件“至少有一个黑球”包括“1黑1红”与“2黑”两个基本事件， 而“至少有一个红球”包括“1黑1红”与“2红”两个基本事件， 故两个事件不是互斥事件，故B错误； 对于C，想要恰有两个空盒，可先从编号为1，2，3，4的盒子中选出2个空盒子， 有种方法， 再将3个相同的球放入剩下的2个盒子， 每个盒子至少一个球（因为如果有一个盒子为空，就是三个空盒，不符合题意）， 分配方式有或共2种， 故恰有两个空盒的放法共有种，故C正确； 对于D，因为， 由，可得， 但题日没有提供或的其他信息，无法直接推出，故D错误. 故选：AC. 18．（多选题）已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若与相互独立，则 D．若发生时一定发生，则 【答案】ABC 【分析】利用互斥事件概率加法公式求解判断A；利用独立事件乘法公式和概率的性质求解判断B；利用独立事件乘法公式，结合对立事件概率公式求解判断C；利用事件关系求解概率判断D. 【详解】对于A，与互斥，则，A正确； 对于B，与相互独立，则， 因此，B正确； 对于C，由与相互独立，得相互独立，则，C正确； 对于D，发生时一定发生，则，，D错误. 故选：ABC 19．（多选题）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，设事件两次掷出的点数之和是5，设事件：至少出现一个奇数点，下列说法正确的是（ ） A． B．与互斥 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到试验的基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合事件间的关系和古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】若中依次表示第一、二次对应点数，所有情况有种， 由题意得，事件的基本事件有，共有4种， 其中事件的基本事件有，共27种, 所以，事件与事件不互斥，所以A正确，B不正确； 又由古典概型的概率计算公式，可得，，所以C、D正确. 故选：ACD. 20．（多选题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率公式求出，再由全概率公式求出，即可判断A，B，由判断C，再由条件概率公式判断D. 【详解】对于A：因为，，即， 所以，又，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：， 而，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 21．（多选题）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，事件，事件，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据条件，利用和事件、积事件的定义及古典概率公式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 又，则，所以A错误， 对于B，因为，，则，所以，故B正确， 对于C，由题知，所以，又， 则，所以，故C错误， 对于D，因为，则，又， 则，所以，故D正确， 故选：BD. 22．（多选题）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（    ） A． B．当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C．一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D．若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件概率加法和条件概率进行逐项分析即可判断. 【详解】对于，当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号是“1”有两种情况： 第一种情况是第一次发送0接收为1，第二次发送1接收为1，其概率为； 第二种情况是第一次发送0接收为0，第二次发送1接收为0，其概率为， 因为这两种情况是互斥的，根据互斥事件概率加法公式， 可得接收到的信号是“1”的概率为， 解得，所以选项A正确； 对于，发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收有两种情况： 第一种情况是第一次发送1接收为1，第二次发送1接收为0，其概率为； 第二种情况是第一次发送1接收为0，第二次发送1接收为1，其概率为。 根据互斥事件概率加法公式，恰有一次被正确接收的概率为， 所以选项B错误； 对于, 一次发信后被接收为信号“1”有两种情况： 第一种情况是发送0收为1其概率为； 第二种情况是发送1收为1其概率为， 根据互斥事件概率加法公式， 一次发信后被接收为信号“1的概率为， 所以选项C正确； 对于，设事件表示“一次发信后被接收为信号1，事件表示“接收正确”。 由前面计算可知，表示发送1接收为1概率， 即，根据条件概率公式可得， 所以选项D正确. 故选：． 23．（多选题）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A项，1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可求解；对于B项，1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球即可求解；对于C项，先求，，再利用条件概率公式求解即可；对于D项，先求出，再利用并事件的概率公式求解即可. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白. 对于A项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可， 则，故A项正确； 对于B项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球， 所以，故B项正确； 对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有1个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有2个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以， 要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以，则，故C错误； 对于D项，由，，， 所以，故D项正确． 故选：ABD． 24．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合全概率公式和对立事件的概率公式计算即得. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 故答案为： 25．若，且与相互独立，则 ． 【答案】0.94 【分析】应用概率的基本性质结合独立事件概率乘积公式计算求解. 【详解】若，且与相互独立， 则． 故答案为：. 26．某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是 ，则该社区居民遇到一位进行民意调查的女同学恰好来自甲班的概率是 . 【答案】 【分析】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，利用全概率公式即可求解，利用条件概率即可求解. 【详解】令事件为甲班，事件为乙班，设女生为事件，则， 所以， ， 故答案为：；. 27．某志愿者组织召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者和3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则①抽取的3人中至少有一名是女志愿者的概率为 ；②在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 . 【答案】 【分析】本题包含两个概率计算问题，均需利用组合数及概率相关知识求解，第一个问题通过对立事件间接计算至少有一名女志愿者的概率；第二个问题利用条件概率公式，在给定前提条件下特定事件的概率. 【详解】记全是男志愿者为事件，至少有一名男志愿者为事件B，则 ，. 记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件 A互为对立事件， 则 ， 抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率为. 故答案为： ；. 28．已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是 . 【答案】 【分析】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【详解】设事件A表示“第一次摸到红球”，事件B表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球， 所以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 故答案为：． 29．甲乙丙丁互相传球，每次传球由持球者等可能地传给另外三人中的一人，现从甲开始传球，则经过六次传球后球恰好首次回到甲手中的概率为 . 【答案】 【分析】将传球过程分为三个阶段：① 第1次传球，甲必须传给乙、丙、丁中的一人，此阶段概率为1（因为必然传出）；② 第2到第5次传球（共4次），每次传球必须传给除甲之外的两人（因为要 “首次” 回到甲，所以中间不能出现甲），每次传球的概率为，根据独立事件概率乘法公式，这4次的概率为；③ 第6次传球，必须传给甲，概率为.最后将三个阶段的概率相乘即可. 【详解】由甲传出第一次球后，中途四次每次传球均传给除甲之外的其余两人之一，最后再传给甲，所以概率为. 故答案为：. 30．投掷一个正方体骰子，在掷出奇数点之前，所有偶数点至少掷出一次的概率为 ． 【答案】/ 【分析】定义状态表示掷出奇数点之前已经看到的不同的偶数点的数量，则需要计算出从状态到状态的概率，设表示从状态开始，在掷出奇数点之前达到状态的概率，即需计算出，可借助全概率公式得到，结合计算即可得. 【详解】定义状态表示掷出奇数点之前已经看到的不同的偶数点的数量， 设表示从状态开始，在掷出奇数点之前达到状态的概率， 则当时，有， 当时，若下一次掷出奇数，此时不符合要求； 若下一次掷出偶数，其概率为，掷出一个未出现的偶数的概率为， 掷出一个已出现的偶数的概率为， 故，化简得； 由，则，，. 故答案为：. 31．如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .    【答案】/ 【分析】首先根据分类和分步计数原理，计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况，再结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数. 第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有种； 第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则另一辆黑色汽车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有种. 因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种， 8个车位停入4辆车的试验共有种情况， 所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为. 故答案为： 32．若随机事件满足，，，求的值． 【答案】0.25 【分析】由条件概率乘法公式、全概率公式即可求解. 【详解】，，， 由得， 由，可得， 所以． 33．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为． (1)求恰有两人成功破译的概率； (2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为，求密码能被成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件公式计算概率； （2）应用全概率公式结合独立事件概率乘积公式计算求解. 【详解】（1）记事件为“甲成功破译密码”、事件为“乙成功破译密码”、事件为“丙成功破译密码”，则 记恰有两人成功破译的概率为，则 （2）记事件为“丁成功破译密码，则， 设密码能被成功破译为事件E， . 34．甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可得； （2）借助全概率公式与贝叶斯公式计算即可得. 【详解】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”， 则，， 故； （2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则，，，， 则， 故． 35．实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： (1)这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛乙所胜局数的数学期望. (3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）甲胜的情况可能连赢3局、前3局中甲赢2局，第4局甲赢、前4局甲赢2局，第5局甲赢这三种情况，由此能求出甲获胜的概率； （2）乙获胜的局数为，列出的可取值，分别求出对应可取值的概率即可得到的分布列，然后由期望的公式计算出的期望； （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”，然后求出，，由条件概率的公式求得. 【详解】（1）甲胜的概率为. （2）设乙获胜的局数为，， 可得； ； ； . 的分布列为： 0 1 2 3 （局） （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”. 得到； ； . 36．某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式，结合计算即可. 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 37．年全国计算机三级考试分上机考试与笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机三级考试“合格”，并颁发计算机三级证书，甲、乙、丙三人在上机考试中“合格”的概率依次为，在笔试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格互不影响. (1)求甲没有获得计算机三级证书的概率； (2)这三人进行上机考试与笔试两项考试后，求恰有两人获得计算机三级证书的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果； （2）根据独立事件概率乘法公式可分别求得甲、乙、丙获得计算机三级证书的概率，根据独立事件的积事件与和事件概率的求法可求得结果. 【详解】（1）记甲，乙，丙三人在计算机三级上机考试中合格依次为事件，在笔试考试中合格依次为， 设甲没有获得执业医师证书的概率为，则. （2）甲、乙、丙获得计算机三级证书依次为事件，并且与，与，与相互独立， 则，，， 事件彼此相互独立 记“恰有两人获得计算机三级证书”为事件， 则， . 38．小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对立事件的概率公式进行求解即可； （2）分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为0,1,2的概率，然后独立事件的概率公式求得结果． 【详解】（1））记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件M， 所以， 即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为． （2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件， “小胡在两轮比赛中答对题”为事件， “在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件， 所以， ，， ，， ， 所以， 即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为． 39．在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； (3)甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 【答案】(1)，，比赛成绩的平均值为分 (2) (3) 【分析】（1）联立求出，再用平均数公式计算即可； （2）求出人中成绩分别在、的人数，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （3）先求出甲乙丙分别解出该题事件对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知，解得， 可知每组的频率依次为、、、、， 所以此次比赛成绩的平均值为（分 ）； （2）用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生， 其中成绩在内的学生人数为，分别记为、、、， 成绩在的学生人数为，记为， 则从这名学生中随机抽取名进行交流分享的总体样本空间为，共个样本点， 记事件从这名学生中随机抽取名进行交流分享，两人至少一人在内， 则，共个样本点，故. （3）设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件， “甲、乙、丙人中至少有人解出该题”为事件， 由题意得，解得， 所以. 40．甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． (1)求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分解互斥情况，再利用独立事件的乘法公式计算每种情况的概率，最后计算求和； （2）利用对立事件概率公式结合已知条件列方程求解． 【详解】（1）甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，甲、乙互不影响， “甲、乙恰有一人中靶”包括两种情况：①甲中乙不中，；②乙中甲不中，， “甲、乙恰有一人中靶”的概率为． （2）“甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶”的对立事件为“甲、乙、丙三个人均未中靶”，设“甲、乙、丙三个人均未中靶”的概率为， 则， 甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为， ，即，化简得，解得． 41．甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望； （2）分析前2n-1局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，求出，利用基本不等式得证. 【详解】（1）（1）解：的可能取值为. ； . 的分布列为 1 3 5 . （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. （3）（3）证明：由全概率公式得 . 所以. 当时，. . 因为，所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $