第64讲 随机事件与概率 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦随机事件与概率高考核心考点，涵盖样本空间、事件关系运算、概率性质及古典概型等内容，按“基础概念-性质应用-综合题型”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导（如事件关系判断策略）、真题精讲（5类题型例题）及分层精练（选择、填空、解答题），帮助学生系统突破概率计算难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于融合数学眼光与思维培养，如用表格对比互斥与对立事件发展抽象能力，结合统计案例（频率分布表、随机模拟）发展数据意识。设置“题型策略+例题+精练”三阶突破模式，如古典概型中通过不放回抽样模型构建提升解题效率，助力学生在有限时间内掌握高考高频题型，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第64讲 随机事件与概率 【基础回顾】 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 4.概率与频率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 7．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 【必备知识】： 1．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 题型一 随机事件的关系及运算 事件关系判断的策略 判断事件的互斥、对立关系 一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 判断事件的交、并关系 一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件 【例题精讲】 1．设A，B是一个随机试验中的两个事件，P（A）＝0.2，P（B）＝0.5，P（AB）＝0.2，则P（A∪B）＝（　　） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 【答案】D 【解答】解：根据题意可得，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.2+0.5﹣0.2＝0.5． 故选：D． 2．已知事件A，B，C满足：P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，则下列结论正确的为（　　） A．若P（B）+P（C）＝1，则C与B相互对立 B．若A⊆B，则P（AB）＝0.5 C．若事件A与B相互独立，则P（A∪B）＝0.65 D．若事件A与B相互独立，则 【答案】C 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，因为B，C不一定互斥，即使P（B）+P（C）＝1，无法得到C与B对立，A错误； 对于B，A⊆B，则P（AB）＝P（A）＝0.3，B错误； 对于C，事件A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.15， 则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.3+0.5﹣0.15＝0.65，C正确； 对于D，若事件A与B相互独立，则、B相互独立， 则P（B）＝P（）P（B）＝0.35，D错误． 故选：C． 3．设随机事件A，B满足P（A）＝P（B）＝0.75，P（AB）＝0.6，则P（）＝（　　） A．0.1 B．0.25 C．0.35 D．0.4 【答案】A 【解答】解：随机事件A，B满足P（A）＝P（B）＝0.75，P（AB）＝0.6， 则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.75+0.75﹣0.6＝0.9， 故P（）＝1﹣P（A∪B）＝1﹣0.9＝0.1． 故选：A． （多选）4．已知事件A，B，C两两互斥，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解答】解：对于A，因为事件A，B，C两两互斥， 所以P（B∩C）＝P（A∩B）＝P（A∩C）＝0，故A错误． 对于B，由，得，故B正确． 对于D，由，得，故D正确． 对于C，因为，所以C正确． 故选：BCD． （多选）5．设样本空间Ω＝{a，b，c，d}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{a，b}，事件B＝{a，c}，事件C＝{a，d}，则下列结论正确的有（　　） A．P（A∪B）＝1 B． C．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） D．P（BC）＝P（B）P（C） 【答案】BD 【解答】解：对于A，因为A＝{a，b}，B＝{a，c}，则A∪B＝{a，b，c}， 又Ω＝{a，b，c，d}，则，所以A错误； 对于B，因为A＝{a，b}，B＝{a，c}， 则AB＝{a}，所以，故B正确； 对于C，由题知ABC＝{a}，所以， 又， 则， 所以P（ABC）≠P（A）P（B）P（C），故C错误； 对于D，因为BC＝{a}，则， 又， 则， 所以P（BC）＝P（B）P（C），故D正确． 故选：BD． 题型二 随机事件的频率与概率 频率与概率的关系 区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 联系 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率 【例题精讲】 1．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70] 频数 4 6 x 10 y 4 已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（　　） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 【答案】D 【解答】解：已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35， 则，解得x＝8， 所以y＝40﹣4﹣6﹣8﹣10﹣4＝8， 所以样本数据在（50，60]范围内的频率为． 故选：D． 2．缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【解答】解：模拟产生了20组随机数其中表示三天中至少有两天下雨的为446，072，021，392，325，405，631，700，305，311， 故三天中至少有两天下雨的概率约为． 故选：B． 3．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（　　）条． A．150 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【解答】解：设湖中有x条鱼， 根据频率的定义可知，，解得x＝400． 故选：C． （多选）4．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【解答】解：从中任取100件，可能有10件，也可能少于10件或多于10件，A错误； 10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确“的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近， 但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确． 多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误； 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误． 故选：ACD． （多选）5．下面说法错误的有（　　） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，次品率描述的是次品的可能情况，从中任取10件，不一定正好1件是次品，故A错误； 对于B，天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨，故B正确； 对于C和D，概率应该是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该实验抛一枚硬币出现正面的频率是，故C、D错误． 故选：ACD． 题型三 互斥事件与对立事件的概率 求互斥事件概率的一般方法 直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算 间接法 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便 【例题精讲】 1．东风快递，使命必达，某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（　　） A．0.08 B．0.18 C．0.26 D．0.98 【答案】D 【解答】解：目标未被击中的概率为： （1﹣0.9）（1﹣0.8）＝0.02， ∴目标被击中的概率为1﹣0.02＝0.98． 故答案为：0.98． 故选：D． 2．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖和三等奖三类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，中三等奖的概率为0.3，那么本次活动不中奖的概率为（　　） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，中三等奖的概率为0.3， 由于中一等奖，中二等奖、中三等奖为两两互斥事件，故不中奖的概率为1﹣（0.1+0.2+0.3）＝0.4． 故选：A． 3．已知事件A，B相互独立，与分别为A，B的对立事件，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：， 则，P（B）， 事件A，B相互独立， 则P（）P（B）， 故． 故选：D． （多选）4．已知A，B是随机事件，且P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，则下列说法正确的有（　　） A．A与B可能为互斥事件 B．若P（A∩B）＝0.3，则A与B相互独立 C．若B⊆A，则P（AB）＝0.5 D．若A与B相互独立，则 【答案】BC 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，因为P（A）+P（B）＝1.1＞1，所以A∩B≠∅，A与B不可能为互斥事件，A错误； 对于B，因为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.6×0.5＝0.3，所以若P（A∩B）＝0.3，则A与B相互独立，B正确； 对于C，若B⊆A，则P（AB）＝P（B）＝0.5，C正确； 对于D，若A与B相互独立，则A与也相互独立， 因为P（B）＝0.5，所以， 代入得，D错误． 故选：BC． （多选）5．口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件A＝“第一次取出的是红球”，B＝“取出的两球同色”，C＝“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（　　） A． B．B与C互为对立事件 C．A与B互斥 D．A与C相互独立 【答案】ABD 【解答】解：记红球为1，2，白球为3，4， 不放回依次取出两个， 则样本空间Ω＝{12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43}，共12种， ∵事件A＝“第一次取出的是红球”，B＝“取出的两球同色”，C＝“取出的两球不同色”， ∴事件A＝{12，13，14，21，23，24}，共6种； 事件B＝{12，21，34，43}，共4种， 事件C＝{13，14，23，24，31，32，41，42}，共8种； 对于A，，故A正确； 对于B，∵B∩C＝∅，B∪C＝Ω，∴B与C互为对立事件，故B正确； 对于C，∵A∩B＝{12，21}，∴A与B不是互斥事件，故C错误； 对于D，∵事件AC＝{13，14，23，24}，共4种，∴， ∵，∴由A可知， ∵P（AC）＝P（A）P（C）， ∴A与C相互独立，故D正确． 故选：ABD． 题型四 古典概型 公式法求解古典概型问题的步骤 【例题精讲】 1．从有3个男生和2个女生的小组中，任选2人去参加活动，则至少有一个女生参加的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从有3个男生和2个女生的小组中，任选2人去参加活动， 基本事件总数为n10， 至少有一个女生参加包含的基本事件为m7， 则至少有一个女生参加的概率为P． 故选：B． 2．学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为150人，150人，75人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为150人，150人，75人， 按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员， 则抽取到书法社的学生人数为52人， 抽取到绘画社的学生人数为52人， 抽取到摄影社的学生人数为51人， 从这5人中随机抽取2人负责物资准备， 基本事件总数n， 2名负责人至少有一名来自绘画社包含的基本事件个数为m7， 则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为P． 故选：A． 3．某学校有四位教师A，B，C，D，原分别任教于四个班级1，2，3，4．现进行岗位调整，规定每位教师不能继续任教原班级，则教师A被分配到班级4的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：进行岗位调整，规定每位教师不能继续任教原班级， 基本事件总数为n＝3×3×1×1＝9， 其中教师A被分配到班级4包含的基本事件个数m＝1×2×1×1＝2， ∴教师A被分配到班级4的概率为： P． 故选：D． （多选）4．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（　　） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是． B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是． C．丙随机选择选项得分的概率是． D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是． 【答案】BC 【解答】解：已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做， 当至少选择一个选项，所有等可能的选择情况有15种，分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD． 对于A，甲同学仅随机选一个选项有4种情况，能得（5分）的2种情况为C，D，则能得（5分）的概率是，故A错误； 对于B，乙同学仅随机选两个选项有6种情况，能得（10分）的1种情况为CD，则能得（10分）的概率，故B正确； 对于C，丙同学随机选择选项有15种情况，能得分的3种情况为C，D，CD，则能得分的概率是，故C正确； 对于D，丁同学随机至少选择两个选项有11种情况，能得分的1种情况为CD，则能得分的概率是，故D错误． 故选：BC． （多选）5．一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，事件C＝“两次摸出球的标号都是偶数”，则（　　） A．P（A）＝P（B） B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：由题意，摸球两次的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}， 事件A＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）}， 事件B＝{（1，2），（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}， 事件C＝{（2，4），（4，2）}， 所以AB＝{（1，2），（2，1）}，AC＝{（2，4）}， A∪B＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}， 所以，，，． 故选：AC． 题型五 古典概型与统计的交汇问题 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题． 【例题精讲】 1．某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 02 93 12 25 85 69 68 34 31 45 73 93 28 75 56 35 87 30 11 07 据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（　　） A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示：随机数组中有且只有一个数为1，2，3，4中的一个； 它们分别是02，93，25，45，73，93，28，35，30共9个， 故满足条件的基本事件数有9个，总的事件数有20个， ∴该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为． 故选：B． 2．某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 阅读时间 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10] 学生人数 6 9 15 12 8 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为（　　） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】A 【解答】解：由统计表可知，共抽取了6+9+15+12+8＝50名学生， 阅读时间少于4小时有6+9＝15人， ∴从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为． 故选：A． 3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知共有20个随机数， 因为当出现随机数1，3，5时，表示天下雨， 所以其中随机数1，3，5出现2次的有：123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9个， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为． 故选：C． （多选）4．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数能被3整除”，B＝“表示的四位数能被5整除”，则（　　） A．P（A） B．P（B） C．P（A∪B） D．P（AB） 【答案】ACD 【解答】解：现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 基本事件总数n＝24＝16， 设事件A＝“表示的四位数能被3整除”， 事件A包含的四位数有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6个， ∴P（A），故A正确； B＝“表示的四位数能被5整除”， 事件B包含的基本事件有：1115，1155，1515，1555，5555，5115，5155，5515，共8个， ∴P（B），故B错误； 事件A∪B包含的基本事件有： 1155，1515，1551，5511，5115，5151，1115，1555，5555，5155，5515，共11个， ∴P（A∪B），故C正确； AB包含的基本事件有：1155，1515，1551，5115，共3个， ∴P（AB），故D正确． 故选：ACD． （多选）5．某新能源车厂家2016﹣2024年新能源电车的产量和销量数据如表所示 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 销量（万台） 2.3 5.7 13.6 14.9 15.0 15.6 27.1 29.7 31.6 记“产销率”100%，2016﹣2024年新能源电车产量的中位数为m，则（　　） A．m＝18.7 B．2016﹣2024年该厂新能源电车的产销率与年份正相关 C．从2016﹣2024年中随机取1年，新能源电车产销率大于100%的概率为 D．从2016﹣2024年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于m的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于70%的概率为 【答案】ACD 【解答】解：对于A：由中位数的定义可知，m＝18.7，故A正确； 对于B：2016﹣2024年该厂新能源电车的产销率依次为： ，， ，，， ，，， 所以 2016﹣2024年该厂新能源电车的产销率随年份的增加，有时增加，有时减少，故B错误； 对于C：由B可知，从2016﹣2024年该厂新能源电车的产销率大于100%的有2个年份， 所以从2016﹣2024 年中随机取1年，新能源电车产销率大于100% 的概率为，故C正确； 对于D：设事件A表示“从2016﹣2024年中随机取2年，这2年中新能源电车的年产量都大于m”， 事件B表示“从2016﹣2024年中随机取2年，这2年中新能源电车的产销率大于70%”， 所以，， 所以，故D正确． 故选：ACD． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．在一次随机试验中，三个事件A1、A2、A3的概率分别是0.2、0.3、0.5，则下列说法正确的是（　　） A．A1+A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B．A1+A2+A3是必然事件 C．P（A2+A3）＝0.8 D．P（A1+A2）≤0.5 【答案】D 【解答】解：三个事件A1、A2、A3不一定是互斥事件 故P（A1+A2））≤0.5，P（A2+A3）≤0.8，P（A1+A2+A3）≤1 A1+A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件 故选：D． 2．甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设甲获胜的概率为P， 则P...， 由无穷递缩等比数列的求和公式可得：P． 故选：C． 3．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：依题意，，由P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）≤1， 得，又P（A）＞P（B）， 则当B⊂A时，， 所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是． 故选：C． 4．已知随机事件A，B是互斥事件，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，则下列说法错误的是（　　） A． B．P（A∪B）＝0.8 C．P（A∩B）＝0 D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，A正确； 对于B，A，B互斥，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.3+0.5＝0.8，B正确： 对于C，事件A，B互斥，则A，B不能同时发生，则P（A∩B）＝0，C正确； 对于D，，D错误． 故选：D． 5．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”，且，，则P（A∪B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路， 设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”， ∴事件A与B是相互独立事件， ∵P（A），， ∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）． 故选：A． 6．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：已知一位学生从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球的盒子中随机摸出两个球， 样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，共10种情况， 两个球的数字之和是奇数有（1，2），（1，4），（2，3），（2，5），（3，4），（4，5）共6种情况， 所以两个球的数字之和是奇数的概率是． 故选：D． 7．某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：6人分成3个小组，每个小组2人，共有种方法， 3个年级中选1个，该年级的2名学生组成一个小组，有种选择， 剩余两个年级（设为A、B年级）各有2名学生，A年级学生记为 A1，A2，B年级学生记为 B1，B2， 分组方式有（A1，B1）和（A2，B2），（A1，B2）和（A2，B1），共2种情况， 所以在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的情况有3×2＝6种， 所以只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为P． 故选：C． 8．一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8名士兵，求选出不多于4名女士兵的概率．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：从18名士兵中随机选出8名士兵共有种情况， 选出的8名士兵中包含6名女士兵，2名男士兵有种情况； 选出的8名士兵中包含5名女士兵，3名男士兵有种情况； 所以选出的8名士兵中不多于4名女士兵有43758﹣66﹣1320＝42372种情况， 所以从该部队随机选出8名士兵中选出不多于4名女士兵的概率． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（　　） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是． B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是． C．丙随机选择选项得分的概率是． D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是． 【答案】BC 【解答】解：已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做， 当至少选择一个选项，所有等可能的选择情况有15种，分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD． 对于A，甲同学仅随机选一个选项有4种情况，能得（5分）的2种情况为C，D，则能得（5分）的概率是，故A错误； 对于B，乙同学仅随机选两个选项有6种情况，能得（10分）的1种情况为CD，则能得（10分）的概率，故B正确； 对于C，丙同学随机选择选项有15种情况，能得分的3种情况为C，D，CD，则能得分的概率是，故C正确； 对于D，丁同学随机至少选择两个选项有11种情况，能得分的1种情况为CD，则能得分的概率是，故D错误． 故选：BC． （多选）10．一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数不大于4”，记事件B＝“得到的点数为偶数”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（　　） A． B．事件与AC互斥 C．A，B，C两两独立 D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） 【答案】ABD 【解答】解：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，C＝{2，3，5，7}， A∪B＝{1，2，3，4，6，8}， ∴P（A∪B），故A正确； B∪C＝{2，3，4，5，6，7，8}，{1}， AC＝{2，3}， ∴事件与AC互斥，故B正确； ∵BC＝{2}，∴P（BC）， P（B）P（C）P（BC）， ∴A，B，C不是两两独立事件，故C错误； ABC＝{2}，∴P（ABC）， P（A）P（B）P（C）， ∴P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），故D正确． 故选：ABD． （多选）11．在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（　　） A．蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是 B．蚂蚁移动到点（3，3）的概率为 C．蚂蚁回到原点的概率为 D．蚂蚁移动到直线y＝x上的概率为 【答案】ACD 【解答】解：对于A，蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度，则每一步的位置只能是（0，0）或原点的上下左右四个点， 最开始蚂蚁在原点，第一次移动有上下左右4种走法，第二次移动只能回到原点，即只有1种走法， 同理第三次移动有上下左右4种走法，第四次移动只能回到原点，即只有1种走法， 第五次移动有上下左右4种走法，第六次移动只能回到原点，即只有1种走法， 所以满足题意的共有4×1×4×1×4×1＝64种路径， 而移动6次，每次有4种走法，即总路径数为46， 由古典概型可知蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率为，故A正确； 对于B，蚂蚁移动到点（3，3），则需恰好右移3次，上移3次，路径数为种， 所以蚂蚁移动到点（3，3）的概率为，故B错误； 对于C，要回到原点，则左右移动次数相等，均为a次；上下移动次数相等，均为b次， 总次数满足2a+2b＝6，即a+b＝3， 可能的组合有： ①a＝3，b＝0，即左右都3次，路径数为种； ②a＝2，b＝1，即左右均2次，上下均1次，路径数为种； ③a＝1，b＝2，即左右均1次，上下均2次，路径数为种； ④a＝0，b＝3，即上下都3次，路径数为种； 所以路径总数为20+180+180+20＝400种， 故蚂蚁移动到点 （3，3）的概率为，故C正确； 对于D，蚂蚁要移动到直线 y＝x上，则水平净移动（向右移动次数减去向左移动次数）要等于垂直净移动（向上移动次数减去向下移动次数）， 例如，向右移动3次，向左移动1次，则水平净移动为3﹣1＝2，向上移动2次，向下移动0次，则垂直净移动为 2﹣0＝2 次，此时蚂蚁位于（2，2），符合题意， 设水平净移动为n，则垂直净移动也为n， 当n＝0时，水平和垂直净移动均为0，即回到坐标原点，也即C选项所考虑的结果，共400种； 当n＝1时，水平和垂直净移动均为1，设向左次数为l，则向右次数为l+1；设向下次数为m，则向上次数为m+1， 总移动次数l+l+1+m+m+1＝6，即l+m＝2，所以可能的组合有： ①l＝0，m＝2，此时向右1次，向左0次，向上3次，向下2次，路径数为60种； ②l＝1，m＝1，此时向右2次，向左1次，向上2次，向下1次，路径数为种； ③l＝2，m＝0，此时向右3次，向左2次，向上1次，向下0次，路径数为种； 所以当n＝1时，路径总数为60+180+60＝300种； 由对称性，可知当n＝﹣1时，路径总数也为300种； 当n＝2时，水平和垂直净移动均为2，设向左次数为l，则向右次数为l+2；设向下次数为m，则向上次数为m+2， 总移动次数l+l+2+m+m+2＝6，即l+m＝1，所以可能的组合有： ①l＝0，m＝1，此时向右2次，向左0次，向上3次，向下1次，路径数为种； ②l＝1，m＝0，此时向右3次，向左1次，向上2次，向下0次，路径数为种； 所以当n＝2时，路径总数为60+60＝120种； 由对称性，可知当n＝﹣2时，路径总数也为120种； 当n＝3 时，水平和垂直净移动均为3，设向左次数为l，则向右次数为l+3；设向下次数为m，则向上次数为 m+3， 总移动次数l+l+3+m+m+3＝6，即l＝m＝0， 所以可能的组合只有：1＝0，m＝0，此时向右3次，向左0次，向上3次，向下0次，路径数为种； 由对称性，可知当n＝﹣3时，路径总数也为20种； 当n＝4或绝对值更大时，总移动次数会超过6次，不符合题意， 故蚂蚁移动到直线 y＝x上的总路径数为400+300×2+120×2+20×2＝1280种， 所以概率为，故D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 　0.9　 ． 【答案】0.9． 【解答】解：根据题意，设甲射击命中的事件为A，乙射击命中的事件为B， 则P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.8+0.6﹣0.5＝0.9． 故答案为：0.9． 13．甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，p，且他们是否通过测试互不影响．若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为　　 ． 【答案】． 【解答】解：甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，p， 由三人中只有甲通过测试的概率为，得，解得， 所以甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率． 故答案为：． 14．如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜（它通过各扇门的机会相等），则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌， 1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜（它通过各扇门的机会相等）， 小鼠逃生路线有以下六种情况： 1→2→3→6→9； 1→2→5→6→9； 1→2→5→8→9； 1→4→5→6→9； 1→4→5→8→9； 1→4→7→8→9． 概率分别为； ； ； ； ； ． ∴小老鼠逃生概率为： ． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．甲、乙两人进行轮流投篮比赛，每人每次只投一球．约定先投中者获胜，当有人投中或者每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且两人各次投篮互不影响． （1）若甲先投篮，求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （2）若乙先投篮，求乙获胜的概率． 【答案】（1）． （2）． 【解答】解：（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮抽中， 由题意得P（Ak），P（Bk）（k＝1，2，3）， 记事件C为“投篮结束时甲只投了2个球”， 则P（C）＝P（）+P（） ＝P（）P（）P（A2）+P（）P（）P（）P（B2） ， ∴甲先投篮，投篮结束时，甲只投了2个球的概率为． （2）由乙首次投篮，记事件D为“乙获胜”， 则P（D）＝P（） ＝P（B1）+P（）） ， ∴乙先投篮，乙获胜的概率为． 16．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有三次机会．一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的． （1）写出样本空间； （2）求李明第二次答题通过面试的概率； （3）求李明最终通过面试的概率． 【答案】（1）{Y1，N1，Y2，N2，Y3，N3}； （2）0.24； （3）0.936． 【解答】解：（1）根据题意，样本空间为{Y1，N1Y2，N1N2Y3，N1N2N3}； （2）李明第二次答题通过面试的概率为0.4×0.6＝0.24； （3）李明最终通过面试的概率为1﹣0.4×0.4×0.4＝0.936． 17．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 400 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取40辆，其中有A类轿车10辆． （1）求z的值； （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：8.2，8.6，8.7，9.0，9.2，9.3，9.4，9.6，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率． 【答案】（1）200； （2）； （3）0.75． 【解答】解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆， 由题意可得，即n＝1600， 则z＝1600﹣（100+300）﹣（150+450）﹣400＝200； （2）抽取一个容量为6的样本中，有2辆舒适型轿车，4辆标准型轿车， 用A1，A2表示2辆舒适型轿车，B1，B2，B3，B4表示4辆标准型轿车， 用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则在该样本中任取2辆的基本事件为{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}， {B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}共15个， 事件E为{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}共9个， 故． （3）由题意可得（8.2+8.6+8.7+9.0+9.2+9.3+9.4+9.6）＝9， 则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有8.6，8.7，9.0，9.2，9.3，9.4，共6个， 故所求概率为，即0.75． 18．某中学高二年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分．得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）估计这次竞赛成绩的第63百分位数； （3）现从样本中竞赛成绩在[50，70）内的学生中，随机抽取2人，求这2人来自同一组的概率． 【答案】（1）0.01． （2）84． （3）． 【解答】解：（1）由题意，（0.005+a+0.03+0.045+a）×10＝1，解得a＝0.01． （2）因为（0.005+0.01+0.03）×10＝0.45＜0.63， 0.45+0.045×10＝0.9＞0.63， 所以这次竞赛成绩的第63百分位数在[80，90）组内，设为m， 所以0.45+（m﹣80）×0.045＝0.63，解得m＝84， 所以估计这次竞赛成绩的第63百分位数为84． （3）因为抽取了40名学生的竞赛成绩， 其中成绩在[50，60）内的学生有40×0.005×10＝2（人）， 成绩在[60，70）内的学生有40×0.01×10＝4（人）， 现从样本中竞赛成绩在[50，70）内的学生中，随机抽取2人， 这2人来自同一组的概率为． 19．第六届嘉祥杯足球赛不同于以往的淘汰赛制（输一局就淘汰），采用双败赛制（如下图），四支队伍A、B、C、D．其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p＜1），而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时，A和C同组，B和D同组． （1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场表演赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； （2）若，在淘汰赛赛制下，A和B获得冠军的概率分别为多少？ （3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此证明双败赛制对强队更有利． 【答案】（1）． （2）PA，PB． （3）淘汰赛赛制：， 双败赛制：QA＝p3（3﹣2p）， 要证明双败赛制对强队更有利， 即证明p2[p（3﹣2p）﹣1]＝p2（3p﹣2p2﹣1）＝﹣p2（2p﹣1）（p﹣1）＞0． 因为，所以﹣p2（2p﹣1）（p﹣1）＞0成立， 所以QA＞PA． 因此，双败赛制对强队更有利． 【解答】解：（1）从4支队伍中随机选出2支，总共有6种可能组合：AB、AC、AD、BC、BD、CD． 其中选出的两支队伍恰好是A和B只有1种情况． 因此，概率为． （2）淘汰赛赛制分组为AvsC、BvsD，胜者进入决赛． A获得冠军的概率：A必须赢半决赛和决赛． P（A赢半决赛）＝P（A赢C）＝p． 决赛对手是B或D，但无论对手是谁，P（A赢决赛）， 因此，PA． B获得冠军的概率：B必须赢半决赛和决赛． P（B赢半决赛）＝P（B赢D）． 决赛对手是A或C：P（对手是A）＝P（A赢半决赛），， P（对手是C）＝P（C赢半决赛），， 因此，P（B赢决赛），PB． 综上，PA，PB． （3）淘汰赛赛制：． 双败赛制：双败赛制流程如下：第一轮（胜者组）：AvsC、BvsD， 胜者组决赛：第一轮胜者比赛， 败者组第一轮：第一轮败者比赛， 败者组决赛：败者组第一轮胜者vs胜者组决赛败者， 总决赛：胜者组决赛胜者vs败者组决赛胜者． 计算A夺冠概率需考虑所有可能路径． 通过案例分析，可得． 要证明双败赛制对强队更有利， 即证明p2[p（3﹣2p）﹣1]＝p2（3p﹣2p2﹣1）＝﹣p2（2p﹣1）（p﹣1）＞0． 因为，所以﹣p2（2p﹣1）（p﹣1）＞0成立， 所以QA＞PA． 因此，双败赛制对强队更有利． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第64讲 随机事件与概率 【基础回顾】 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 3.事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 4.概率与频率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个． (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 7．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 【必备知识】： 1．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 题型一 随机事件的关系及运算 事件关系判断的策略 判断事件的互斥、对立关系 一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生 判断事件的交、并关系 一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件 【例题精讲】 1．设A，B是一个随机试验中的两个事件，P（A）＝0.2，P（B）＝0.5，P（AB）＝0.2，则P（A∪B）＝（　　） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 2．已知事件A，B，C满足：P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，则下列结论正确的为（　　） A．若P（B）+P（C）＝1，则C与B相互对立 B．若A⊆B，则P（AB）＝0.5 C．若事件A与B相互独立，则P（A∪B）＝0.65 D．若事件A与B相互独立，则 3．设随机事件A，B满足P（A）＝P（B）＝0.75，P（AB）＝0.6，则P（）＝（　　） A．0.1 B．0.25 C．0.35 D．0.4 （多选）4．已知事件A，B，C两两互斥，若，则（　　） A． B． C． D． （多选）5．设样本空间Ω＝{a，b，c，d}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{a，b}，事件B＝{a，c}，事件C＝{a，d}，则下列结论正确的有（　　） A．P（A∪B）＝1 B． C．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） D．P（BC）＝P（B）P（C） 题型二 随机事件的频率与概率 频率与概率的关系 区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 联系 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率 【例题精讲】 1．工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70] 频数 4 6 x 10 y 4 已知样本数据在（20，40]范围内的频率为0.35，则样本数据在（50，60]范围内的频率为（　　） A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20 2．缗云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为（　　） A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 3．某人从湖里打了一网鱼，共60条，做上记号再放入湖中，数日后又打了一网共100条，其中做记号的15条，根据频率的稳定性，估计湖中有鱼（　　）条． A．150 B．300 C．400 D．600 （多选）4．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 （多选）5．下面说法错误的有（　　） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 题型三 互斥事件与对立事件的概率 求互斥事件概率的一般方法 直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算 间接法 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便 【例题精讲】 1．东风快递，使命必达，某火箭军部队在试验中用甲、乙两款东风导弹各一枚独立射击3000公里处同一目标，甲款导弹命中目标的概率为0.9，乙款导弹命中目标的概率为0.8，甲和乙是否命中相互没有影响，则目标被击中的概率为（　　） A．0.08 B．0.18 C．0.26 D．0.98 2．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖和三等奖三类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，中三等奖的概率为0.3，那么本次活动不中奖的概率为（　　） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3．已知事件A，B相互独立，与分别为A，B的对立事件，且，则（　　） A． B． C． D． （多选）4．已知A，B是随机事件，且P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，则下列说法正确的有（　　） A．A与B可能为互斥事件 B．若P（A∩B）＝0.3，则A与B相互独立 C．若B⊆A，则P（AB）＝0.5 D．若A与B相互独立，则 （多选）5．口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件A＝“第一次取出的是红球”，B＝“取出的两球同色”，C＝“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（　　） A． B．B与C互为对立事件 C．A与B互斥 D．A与C相互独立 题型四 古典概型 公式法求解古典概型问题的步骤 【例题精讲】 1．从有3个男生和2个女生的小组中，任选2人去参加活动，则至少有一个女生参加的概率为（　　） A． B． C． D． 2．学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为150人，150人，75人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（　　） A． B． C． D． 3．某学校有四位教师A，B，C，D，原分别任教于四个班级1，2，3，4．现进行岗位调整，规定每位教师不能继续任教原班级，则教师A被分配到班级4的概率是（　　） A． B． C． D． （多选）4．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（　　） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是． B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是． C．丙随机选择选项得分的概率是． D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是． （多选）5．一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，事件C＝“两次摸出球的标号都是偶数”，则（　　） A．P（A）＝P（B） B． C． D． 题型五 古典概型与统计的交汇问题 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题． 【例题精讲】 1．某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 02 93 12 25 85 69 68 34 31 45 73 93 28 75 56 35 87 30 11 07 据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（　　） A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35 2．某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 阅读时间 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10] 学生人数 6 9 15 12 8 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为（　　） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（　　） A． B． C． D． （多选）4．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数能被3整除”，B＝“表示的四位数能被5整除”，则（　　） A．P（A） B．P（B） C．P（A∪B） D．P（AB） （多选）5．某新能源车厂家2016﹣2024年新能源电车的产量和销量数据如表所示 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 销量（万台） 2.3 5.7 13.6 14.9 15.0 15.6 27.1 29.7 31.6 记“产销率”100%，2016﹣2024年新能源电车产量的中位数为m，则（　　） A．m＝18.7 B．2016﹣2024年该厂新能源电车的产销率与年份正相关 C．从2016﹣2024年中随机取1年，新能源电车产销率大于100%的概率为 D．从2016﹣2024年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于m的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于70%的概率为 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．在一次随机试验中，三个事件A1、A2、A3的概率分别是0.2、0.3、0.5，则下列说法正确的是（　　） A．A1+A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B．A1+A2+A3是必然事件 C．P（A2+A3）＝0.8 D．P（A1+A2）≤0.5 2．甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 3．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．已知随机事件A，B是互斥事件，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，则下列说法错误的是（　　） A． B．P（A∪B）＝0.8 C．P（A∩B）＝0 D． 5．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”，且，，则P（A∪B）＝（　　） A． B． C． D． 6．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 7．某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（　　） A． B． C． D． 8．一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8名士兵，求选出不多于4名女士兵的概率．（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（　　） A．甲仅随机选一个选项得5分的概率是． B．乙仅随机选两个选项得10分的概率是． C．丙随机选择选项得分的概率是． D．丁随机至少选择两个选项得分的概率是． （多选）10．一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数不大于4”，记事件B＝“得到的点数为偶数”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（　　） A． B．事件与AC互斥 C．A，B，C两两独立 D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） （多选）11．在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（　　） A．蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是 B．蚂蚁移动到点（3，3）的概率为 C．蚂蚁回到原点的概率为 D．蚂蚁移动到直线y＝x上的概率为 三．填空题（共3小题） 12．甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 　 　 ． 13．甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，p，且他们是否通过测试互不影响．若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为　 　 ． 14．如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜（它通过各扇门的机会相等），则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是 　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．甲、乙两人进行轮流投篮比赛，每人每次只投一球．约定先投中者获胜，当有人投中或者每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且两人各次投篮互不影响． （1）若甲先投篮，求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （2）若乙先投篮，求乙获胜的概率． 16．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有三次机会．一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的． （1）写出样本空间； （2）求李明第二次答题通过面试的概率； （3）求李明最终通过面试的概率． 17．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆）： 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 400 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取40辆，其中有A类轿车10辆． （1）求z的值； （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：8.2，8.6，8.7，9.0，9.2，9.3，9.4，9.6，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率． 18．某中学高二年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分．得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）估计这次竞赛成绩的第63百分位数； （3）现从样本中竞赛成绩在[50，70）内的学生中，随机抽取2人，求这2人来自同一组的概率． 19．第六届嘉祥杯足球赛不同于以往的淘汰赛制（输一局就淘汰），采用双败赛制（如下图），四支队伍A、B、C、D．其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p＜1），而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时，A和C同组，B和D同组． （1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场表演赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； （2）若，在淘汰赛赛制下，A和B获得冠军的概率分别为多少？ （3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此证明双败赛制对强队更有利． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $