专题05平行四边形寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题05平行四边形寒假预习讲义（1） · 理解多边形及正多边形的定义，掌握边、顶点、内角、外角、对角线的相关概念。 · 掌握四边形内角和为 360° 的结论，能尝试推导证明过程。 · 了解多边形对角线与边数的关联，会简单判断凸、凹多边形。 · 初步体会将多边形问题转化为三角形的化归思想。 · 能运用四边形内角和定理，解决简单的角度计算问题。 预习必备 知识点梳理 1.多变形的基础定义 2.多边形的分类 3.正多边形的定义 4.多边形内角和定理 5.多边形的对角线 6.多边形外角和定理 7.正多边形内角.外角的计算 8.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.多边形的概念与分类 2.截角后多边形的边数变化 3.多边形周长的计算 4.多边形对角线的条数计算 5.对角线分三角形的个数规律 6.多边形内角和公式与应用 7.内角和多算/少算角的解法 8.截角后多边形的内角和变化 9.多边形外角和的实际应用 10.内角和与外角和综合题型 强化巩固 (解答题5题) 知识点01:多边形基础定义 由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做多边形；多边形的基本元素：边、顶点、内角（相邻两边组成的角）、外角（一边与邻边的延长线组成的角）。 知识点02:多边形的分类 按边的条数分类，边数为 n（n≥3，n 为正整数）的多边形叫n 边形： n=3：三角形；n=4：四边形（本节课核心研究对象）； n=5：五边形…… 以此类推。 知识点03:正多边形的定义 各边相等，各内角也相等的多边形，叫做正多边形； 注：各边相等≠各内角相等（如菱形），各内角相等≠各边相等（如矩形），二者同时满足才是正多边形。 知识点04:多边形内角和定理 n 边形的内角和等于 (n-2)×180°（n≥3，n 为正整数）。 推导核心 从 n 边形的一个顶点出发，作对角线，可将 n 边形分成 **(n-2) 个三角形 **；三角形内角和为 180°，因此 n 边形内角和 =(n-2)×180°； 特例：四边形内角和 =(4-2)×180°=360°（高频考点）。 知识点05:多边形的对角线 1.定义 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 2.条数公式 (1)n 边形从一个顶点出发，能作 **(n-3) 条 ** 对角线（与该顶点相邻的 2 个顶点 + 自身，共 3 个顶点无法连对角线）； (2)n 边形的总对角线数：（n≥3，n 为正整数）； 知识点06:多边形外角和定理 任意多边形的外角和都等于 360°，与边数 n 无关。 推导核心 多边形的每个内角与其相邻外角互为邻补角（和为 180°）； n 边形内角和 + 外角和 = n×180°， 因此外角和 = n×180°-(n-2)×180°=360°； 知识点07:正多边形的内角、外角计算 设正 n 边形的每个内角为 α，每个外角为 β： 1.每个内角：α=； 2.每个外角：β=； 3.内角与外角关系：α+β=180°，可通过外角快速求正多边形边数：n=。 知识点08:核心易错点 1.忽略多边形的平面性和封闭性，非平面图形、不封闭图形不是多边形； 2.混淆 “从一个顶点引对角线的条数” 和 “总对角线数”，公式记混； 3.误将多边形内角和与外角和混淆，注意：内角和随边数增加而增大，外角和恒为 360°； 4.判断正多边形时，只单看边相等或角相等，忽略二者需同时满足。 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解： 选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：A． 【跟踪专练1】在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 【跟踪专练2】下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 【题型2.】截角后多边形的边数变化 【典例】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【跟踪专练1】一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 【题型3.多边形周长的计算】 【典例】一个正八边形的边长为5．则它的周长为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查正多边形的性质，根据正八边形边长相等，用边长乘以8即可得出答案． 【详解】解：由题意得周长为：． 故答案为：40． 【跟踪专练1】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长． 【详解】解：将沿着方向平移得到， ，， 点为中点， ，则， 四边形的周长为 的周长是12， 四边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键． 【跟踪专练2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 【题型4.多边形对角线的条数问题】 【典例】从十二边形一个顶点出发可以引出n条对角线，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多边形对角线的定义，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据“从边形的一个顶点出发可以画条对角线”进一步求解即可． 【详解】该多边形为十二边形， ， 从十二边形的一个顶点出发可以画9条对角线， 故答案为：9． 【跟踪专练1】若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画出4条对角线，则这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的对角线（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线）．解题的关键：边形从一个顶点出发可引出条对角线，其内角和为．据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数为， ∵从这个多边形的一个顶点出发最多可以画4条对角线， ∴， 解得：， ∴， ∴这个多边形的内角和为． 故选：A． 【跟踪专练2】过a边形的一个顶点有7条对角线，正b边形的内角和与外角和相等，c边形没有对角线，d边形有d条对角线，则代数式 . 【答案】3 【分析】本题考查了多边形的对角线、多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的性质是解题关键．先根据多边形的对角线可得，再根据多边形的内角和与外角和可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形有条对角线， ，，， ∵， ， 解得， ∵正边形的内角和与外角和相等， 正边形的内角和为， ， 则， 故答案为：3． 【题型5.对角线分三角形的个数规律】 【典例】从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查了从多边形的一顶点出发，连接其余各个顶点得到的“三角形个数多边形的边数”这一性质，熟练掌握本性质是解题的关键． 可根据多边形的一顶点，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【详解】解：根据“多边形的边数=三角形个数”，题干得到2025个三角形，则这个多边形的边数为． 故选：D． 【跟踪专练1】过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是 ． 【答案】24 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：24． 【跟踪专练2】下列说法：①连接A，B两点的线段叫做A，B之间的距离； ②若，则是的平分线；③从n边形一个顶点引对角线可以分成个三角形； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的基本概念或定理，判断命题的对错关键是熟练掌握教材中的定义，根据相关概念和定理逐个分析判断即可． 【详解】解：①连接两点的线段长度叫两点的距离，故①错误； ②若在内部，则是的平分线，若在外部，则不是的平分线，故②错误； ③从n边形一个顶点引对角线可以分成个三角形，故③错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤错误； 正确的个数为0个， 故选：A． 【题型6.多边形内角和公式与应用】 【典例】一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于 ． 【答案】/1440度 【分析】此题考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是求得多边形的边数． 求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：一个多边形从一个顶点可引对角线7条，则多边形的边数为10， 则内角和等于： 故答案为： 【跟踪专练1】如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边形的内角和为，进行计算即可，掌握内角和的计算公式，是解题的关键． 【详解】解：正六边形的内角和是； 故选B． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，则四边形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和，角度和差等知识，过作，交延长线于点，通过角度和差得，根据四边形的内角和得，从而证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积的面积， 故答案为：18． 【题型7.内角和多算/少算角的解法】 【典例】小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【详解】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练1】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 【跟踪专练2】已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个内角的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】按照下列的思路求解即可： 给什么，得什么 由“除一个内角外其余内角的和为”可表示出“去除角”的度数． 求什么，想什么 求“去除角”的度数，关键是确定该多边形边数n的值． 差什么，找什么 由“去除角”的度数大于且小于，可得n的取值范围，进而确定n的值． 【详解】解：设这个多边形是边形，则其内角和为． 根据题意，得， 解得． 又n为正整数，故． 所以这个内角的度数为． 故答案为：． 另解： 因为多边形的内角和是的倍数，所以我们可以计算的余数，这个余数为，故加上刚好是的倍数，因此这个内角的度数为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、求出n的范围是关键． 【题型8.截角后多边形的内角和变化】 【典例】一个四边形截去一个角后，可以变成 （ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动手画一画，具体操作一下． 【详解】解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形截角的问题，此类问题，动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况． 【跟踪专练1】将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为，则原来多边形的边数为 ．（用阿拉伯数字表示） 【答案】21或22或23 【分析】先根据多边形的内角和公式求出新多边形的边数，再根据截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1三种情况解答． 【详解】解：设新多边形的边数为n，则， 解得， 多边形截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1， 所以，，或， 所以原来多边形的边数为21或22或23． 故答案为：21或22或23． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是理解截去一个角后的方法，要分三种情况讨论． 【跟踪专练2】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（　　） A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10 【答案】A 【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则， 解得：． ∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边； ∴原来多边形的边数可能是9或10或11 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键． 【题型9.多边形外角和的实际应用】 【典例】九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和性质，牢记任意多边形的外角和都是是解题的关键. 多边形的外角和恒为，与边数无关，由此可解. 【详解】解：∵ 任意多边形的外角和都等于, ∴ 九边形的外角和为. 故选：B． 【跟踪专练1】如图，、、、是五边形的4个外角，若，则 ． 【答案】299 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键． 先求出与相邻的外角的度数，然后根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：∵与相邻的外角的度数是：， ∴． 故答案为：299． 【跟踪专练2】如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程． 【详解】解：米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让除以一个外角即可． 【题型10.内角和与外角和综合题型】 【典例】一个四边形的内角和与外角和的总和是 ． 【答案】 【分析】分别求出四边形的内角和与外角和，再将两者相加得到总和． 【详解】解：四边形的内角和：根据多边形内角和公式（为边数），四边形， 故内角和为：． 四边形的外角和：任意多边形的外角和均为，因此四边形外角和为． 两者总和为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解题关键是掌握多边形内角和公式及任意多边形外角和为的性质． 【跟踪专练1】如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（    ） A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加 C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加 【答案】D 【分析】多边形的外角和恒为与边数无关；内角和公式为边数增加2时内角和增加． 本题主要考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和与外角和的计算公式是解题关键． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为 ∴边数增加2后外角和不变； 设原边数为则原内角和为 新内角和为 ∴内角和增加． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和和外角和定理是解题的关键． 由完全拼成一个圆环需要的正六边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正六边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴正六边形每个外角的度数为：， ∴正六边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵n个全等的正六边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正n边形， ∴，解得：． 故答案为：5． 1．求下列图形中的值（图②中）． 【答案】， 【分析】考查了平行线的性质，多边形内角和定理，一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方程成为解题的关键． 图①先求出该多边形的内角和，然后据此列一元一次方程求解即可；图②先根据平行线的性质求得，再根据多边形内角和定理列一元一次方程求解即可． 【详解】解：图①中，由题意得：， ． 图②中，， ， ． 2．（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 【答案】（1）4个．三角形的个数与边数相等．（2）4个．三角形的个数比边数小1．（3）4个．三角形的个数比边数小2． 【分析】（1）数出四边形内点连接各顶点后得到的三角形个数，对比四边形的边数，找出两者的关系； （2）数出五边形边上的点连接其他顶点后得到的三角形个数，对比五边形的边数，找出关系； （3）数出六边形过顶点A作对角线后得到的三角形个数，对比六边形的边数，找出关系． 【详解】解：（1）连接后，得到，共4个三角形； ∵四边形边数为， ∴三角形个数等于边数． （2）连接后，得到，共个三角形； ∵五边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． （3）过点作对角线，连接后，得到，共个三角形； ∵六边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． 【点睛】本题考查多边形与三角形的个数关系，掌握根据点的位置分类分析三角形个数与多边形边数的对应关系是解题的关键． 3．（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）见解析；（2）12或13或14． 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 4．如图所示，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，及其周长计算，根据题意可知，他需要转次才会回到原点，所以一共走了． 【详解】解：设边数为n，多边形外角和为360°， ∴， ∴正八边形的周长为， 答：一共走64米． 5．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】(1)21 (2)32 【分析】本题考查了多边形，解一元一次方程等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． （1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； 【详解】（1）解：由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）解：设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行四边形寒假预习讲义（1） · 理解多边形及正多边形的定义，掌握边、顶点、内角、外角、对角线的相关概念。 · 掌握四边形内角和为 360° 的结论，能尝试推导证明过程。 · 了解多边形对角线与边数的关联，会简单判断凸、凹多边形。 · 初步体会将多边形问题转化为三角形的化归思想。 · 能运用四边形内角和定理，解决简单的角度计算问题。 预习必备 知识点梳理 1.多变形的基础定义 2.多边形的分类 3.正多边形的定义 4.多边形内角和定理 5.多边形的对角线 6.多边形外角和定理 7.正多边形内角.外角的计算 8.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.多边形的概念与分类 2.截角后多边形的边数变化 3.多边形周长的计算 4.多边形对角线的条数计算 5.对角线分三角形的个数规律 6.多边形内角和公式与应用 7.内角和多算/少算角的解法 8.截角后多边形的内角和变化 9.多边形外角和的实际应用 10.内角和与外角和综合题型 强化巩固 (解答题5题) 知识点01:多边形基础定义 由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做多边形；多边形的基本元素：边、顶点、内角（相邻两边组成的角）、外角（一边与邻边的延长线组成的角）。 知识点02:多边形的分类 按边的条数分类，边数为 n（n≥3，n 为正整数）的多边形叫n 边形： n=3：三角形；n=4：四边形（本节课核心研究对象）； n=5：五边形…… 以此类推。 知识点03:正多边形的定义 各边相等，各内角也相等的多边形，叫做正多边形； 注：各边相等≠各内角相等（如菱形），各内角相等≠各边相等（如矩形），二者同时满足才是正多边形。 知识点04:多边形内角和定理 n 边形的内角和等于 (n-2)×180°（n≥3，n 为正整数）。 推导核心 从 n 边形的一个顶点出发，作对角线，可将 n 边形分成 **(n-2) 个三角形 **；三角形内角和为 180°，因此 n 边形内角和 =(n-2)×180°； 特例：四边形内角和 =(4-2)×180°=360°（高频考点）。 知识点05:多边形的对角线 1.定义 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 2.条数公式 (1)n 边形从一个顶点出发，能作 **(n-3) 条 ** 对角线（与该顶点相邻的 2 个顶点 + 自身，共 3 个顶点无法连对角线）； (2)n 边形的总对角线数：（n≥3，n 为正整数）； 知识点06:多边形外角和定理 任意多边形的外角和都等于 360°，与边数 n 无关。 推导核心 多边形的每个内角与其相邻外角互为邻补角（和为 180°）； n 边形内角和 + 外角和 = n×180°， 因此外角和 = n×180°-(n-2)×180°=360°； 知识点07:正多边形的内角、外角计算 设正 n 边形的每个内角为 α，每个外角为 β： 1.每个内角：α=； 2.每个外角：β=； 3.内角与外角关系：α+β=180°，可通过外角快速求正多边形边数：n=。 知识点08:核心易错点 1.忽略多边形的平面性和封闭性，非平面图形、不封闭图形不是多边形； 2.混淆 “从一个顶点引对角线的条数” 和 “总对角线数”，公式记混； 3.误将多边形内角和与外角和混淆，注意：内角和随边数增加而增大，外角和恒为 360°； 4.判断正多边形时，只单看边相等或角相等，忽略二者需同时满足。 【题型1.多边形的概念与分类】 【典例】下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 【跟踪专练2】下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【题型2.】截角后多边形的边数变化 【典例】若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【跟踪专练1】一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【跟踪专练2】一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【题型3.多边形周长的计算】 【典例】一个正八边形的边长为5．则它的周长为 ． 【跟踪专练1】如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【跟踪专练2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为 ． 【题型4.多边形对角线的条数问题】 【典例】从十二边形一个顶点出发可以引出n条对角线，则 ． 【跟踪专练1】若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以画出4条对角线，则这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】过a边形的一个顶点有7条对角线，正b边形的内角和与外角和相等，c边形没有对角线，d边形有d条对角线，则代数式 . 【题型5.对角线分三角形的个数规律】 【典例】从一个多边形的某个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各顶点，分割得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【跟踪专练1】过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是 ． 【跟踪专练2】下列说法：①连接A，B两点的线段叫做A，B之间的距离； ②若，则是的平分线；③从n边形一个顶点引对角线可以分成个三角形； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型6.多边形内角和公式与应用】 【典例】一个多边形从一个顶点可引对角线7条，这个多边形内角和等于 ． 【跟踪专练1】如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，则四边形的面积 ． 【题型7.内角和多算/少算角的解法】 【典例】小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【跟踪专练1】在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练2】已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个内角的度数为 ． 给什么，得什么 由“除一个内角外其余内角的和为”可表示出“去除角”的度数． 求什么，想什么 求“去除角”的度数，关键是确定该多边形边数n的值． 差什么，找什么 由“去除角”的度数大于且小于，可得n的取值范围，进而确定n的值． 【题型8.截角后多边形的内角和变化】 【典例】一个四边形截去一个角后，可以变成 （ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【跟踪专练1】将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为，则原来多边形的边数为 ．（用阿拉伯数字表示） 【跟踪专练2】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（　　） A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10 【题型9.多边形外角和的实际应用】 【典例】九边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，、、、是五边形的4个外角，若，则 ． 【跟踪专练2】如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【题型10.内角和与外角和综合题型】 【典例】一个四边形的内角和与外角和的总和是 ． 【跟踪专练1】如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（    ） A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加 C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加 【跟踪专练2】如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为 ． 1．求下列图形中的值（图②中）． 2．（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 3．（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 4．如图所示，小明从点出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程是多少？ 5．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 试卷第1页，共3页 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