第五单元 三角形讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学四年级下册

第五单元 三角形 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、三角形的定义与特性 2 二、三角形的三边关系 2 三、三角形的内角和 2 四、三角形的分类 2 五、等腰三角形与等边三角形的关系 3 六、三角形的高和底 3 七、三角形的图形拼组 3 考点讲练 3 考点一：三角形的概念及表示方式 3 考点二：三角形的高及画法 6 考点三：三角形的稳定性及应用 8 考点四：两点间线段最短及两点间的距离 10 考点五：三角形三变关系 12 考点六：三角形的分类 14 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 16 考点八：画三角形 18 考点九：三角形的内角和 21 考点十：多边形的内角和 23 综合训练 25 知识梳理 一、三角形的定义与特性 1.定义：由3条线段围成的封闭图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2.各部分名称：三角形有3个顶点、3条边、3个角。 3.特性：三角形具有稳定性（如自行车车架、屋顶桁架等利用此特性）。 二、三角形的三边关系 1.核心结论：三角形任意两边的和大于第三边。 强调“任意”：即三条边中，较短两边之和必须大于最长边才能组成三角形。 举例：若三条线段长度分别为3cm、4cm、5cm，因为3+4>5、3+5>4、4+5>3，所以能组成三角形；若线段长度为2cm、3cm、6cm，因为2+3=5<6，所以不能组成三角形。 三、三角形的内角和 1.结论：三角形的内角和是180°。 2.验证方法： 拼合法：将三角形的三个角剪下来，顶点重合拼在一起，可组成一个平角（180°）。 度量法：用量角器分别测量三个角的度数，求和为180°。 3.应用：已知三角形中两个角的度数，可求第三个角的度数。例如：一个三角形中两个角分别是50°和60°，则第三个角为180°-50°-60°=70°。 四、三角形的分类 （一）按角分类 1.锐角三角形：三个角都是锐角（每个角都小于90°）的三角形。 举例：三个角分别为50°、60°、70°的三角形。 2.直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形，另外两个角是锐角（且两角之和为90°）。 直角所对的边叫做斜边，斜边是直角三角形中最长的边。 3.钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，另外两个角是锐角（且两角之和小于90°）。 （二）按边分类 1.不等边三角形（普通三角形）：三条边都不相等的三角形。 2.等腰三角形：有两条边相等的三角形。 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰所对的角叫做底角，底边所对的角叫做顶角。 特性：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 3.等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 特性：等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°；三条边长度相等。 五、等腰三角形与等边三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形（满足“有两条边相等”的条件），但等腰三角形不一定是等边三角形（只有两条边相等时不是）。 六、三角形的高和底 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2.数量：一个三角形有3条高（每个顶点对应一条高）。 3.不同类型三角形高的位置： 锐角三角形：三条高都在三角形内部。 直角三角形：两条高与直角边重合（直角顶点到两条直角边的垂线就是直角边本身），第三条高在三角形内部。 钝角三角形：两条高在三角形外部（钝角顶点向对边延长线作垂线），一条高在三角形内部。 4.画高方法：用三角板的直角边，使一条直角边与三角形的底重合，另一条直角边过底所对的顶点，沿直角边画线段即为高，注意标上垂直符号。 七、三角形的图形拼组 1.用两个相同的三角形拼组：可拼成平行四边形、长方形（两个直角三角形）、正方形（两个等腰直角三角形）等。 2.用三个相同的三角形拼组：可拼成梯形等。 3.用多个三角形拼组：可拼成更复杂的多边形或图案。 考点讲练 考点一：三角形的概念及表示方式 【典例精讲】两个完全一样的梯形可以拼成一个（    ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．三角形 【答案】B 【分析】长方形的特征：长方形两组对边平行且相等，长方形的四个角都是直角。平行四边形的特征：对边平行且相等；我们知道梯形是只有一组对边平行的四边形。三角形的特征：三条边均不平行，且内角和是180°。梯形是只有一组对边平行的四边形。我们根据长方形、平行四边形、三角形、梯形的特征来逐步解答。 【详解】A．仅有一种特殊情况即两个完全一样的直角梯形才可能拼成一个长方形，其他梯形不可以拼成长方形。 B．当我们把两个完全一样的梯形进行拼接时，将其中一个梯形翻转过来，使它们等长的腰重合，上底和另一个梯形的下底拼接，下底和另一个梯形的上底拼接，此时得到的新图形，它的两组对边分别平行且相等，即拼成一个平行四边形。 C．当两个完全一样的梯形进行拼接时，至少会保留一组平行对边，不符合三角形的特征。 故答案为：B 变式训练】下面哪些图形是三角形？在括号里画“△”。 （    ）              （    ）          （    ）      （    ）             （    ） 【答案】（△）（    ）（    ）（△）（    ） 【分析】三角形的定义是“由3条线段首尾顺次连接围成的封闭图形”，需据此判断每个图形是否符合 【详解】第1个图形：由3条线段首尾顺次连接围成，是三角形； 第2个图形：线段未首尾顺次连接（存在缺口），不是三角形； 第3个图形：包含曲线，不是线段围成，不是三角形； 第4个图形：由3条线段首尾顺次连接围成，是三角形； 第5个图形：由3条线段从同一个端点组成，不是三角形。 所以第一个和第四个是三角形。 变式训练】如图，有一个梯形ABCD，如果点B沿AB所在的直线慢慢往左移动，与A点重合后停止运动。这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形 B．梯形→三角形→平行四边形→梯形 C．梯形→平行四边形→三角形 D．梯形→平行四边形→梯形→三角形 【答案】D 【分析】只有一组对边平行的四边形叫梯形；两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形的对边平行且相等；由三条线段首尾顺次连接围成的图形叫三角形。判断点B移动过程中形成的图形过程即可解答。 【详解】观察点 B 的移动过程： 初始图形是梯形 ABCD； 点 B 向左移动，当AB＝DC 时，四边形 ABCD 就变成平行四边形； 点 B 继续向左移动，图形又变为梯形； 当点 B 与 A 重合时，四边形的四个顶点变成 A、A、C、D，实际是由 A、C、D 三点围成的三角形。 所以，这个图形的变化过程是：梯形→平行四边形→梯形→三角形。 故答案为：D 变式训练】爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（    ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】要想重新配一块和原来一样的玻璃，需要原三角形的两个内角以及其中一条完整边，以及另外两条边的一部分，据此解答。 【详解】A．第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能配对； B．第②块，仅保留了原三角形的一部分边，不能配对； C．第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，以及另外两条边的一部分，能配对。 故答案为：C 考点二：三角形的高及画法 【典例精讲】画出下面图形已知底边上的高。 【答案】见详解 【分析】画平面图形的高，本质上是过顶点向底边作垂线，步骤为：确定底边，用三角板的一条直角边与底边重合，平移三角板使另一条直角边通过对应顶点，然后从顶点向底边画垂线段并标注垂足。 【详解】画图如下： 变式训练】画出每个三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】画三角形指定底边上的高，步骤是：找到对应底边的顶点，从该顶点向底边（或底边的延长线）作垂线段，用虚线绘制，并标注直角符号。 【详解】 变式训练】量出下面三角形的底和高的长度。 底：( )mm 高：( )mm 【答案】 35 12 【分析】 测量底：将刻度尺的0刻度线与三角形底边的一端对齐，读取底边另一端对应的刻度值，单位为毫米（mm）；测量高：三角形的高是从顶点向底边作的垂线段，测量这条垂线段的长度，单位同样为毫米（mm）。 【详解】根据分析得：三角形的底是35mm，高是12mm。 变式训练】如下图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，来判断AB边上的高。 在三角形 ABC中，AB边为底边时，从C点向AB边所在直线作垂线，垂足为B点，所以AB边上的高是从C点到AB边的垂线段。 【详解】A.线段BD是从B点向AC边作的垂线段，是AC边上的高，故不正确。 B.线段AC是三角形的一条边，不是AB边上的高，故不正确。 C.线段BC是从C点向AB边作的垂线段，是AB边上的高，故正确。 故答案为：C 考点三：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】古人的智慧是无穷的，在商周时期建造窗户时，木工师傅都需要在框架上再钉一根木条，使框架更牢固，下面符合木工师傅做法的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，不易变形，加一根木条在框架中形成三角形，才能使框架更牢固。而四边形具有不稳定性，容易变形。据此即可解答。 【详解】 A．形成两个三角形，具有稳定性，框架最牢固。 B． 形成两个四边形，容易变形。 C．形成两个四边形，容易变形。故答案为：A 变式训练】在平行四边形框架上钉一根木条进行加固，加固效果最差的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为三角形具有稳定性，当钉的一根木条能与平行四边形中的边围成三角形稳定，加固效果好，否则加固效果差。 【详解】 A．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固构成三角形，加固效果好； B．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固右边构成三角形，加固效果好； C．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固左下角构成三角形，加固效果好； D．，在平行四边形框架上钉一根木条进行加固没有构成三角形，加固效果最差。 故答案为：D 变式训练】张伯伯要给菜园围上篱笆，（    ）的围法最牢固。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，即三角形具有稳定性，依此即可选择。 【详解】 A．此围法中有三角形，因此这种围法最牢固。 B． 此围法中没有三角形，因此这种围法不牢固。 C． 此围法中没有三角形，因此这种围法不牢固。 D． 此围法中没有三角形，因此这种围法不牢固。 故答案为：A 变式训练】一扇窗户打开后用窗钩将其固定（如图），运用到的数学知识是（    ）。 A．两点之间线段最短 B．平行四边形的不稳定性 C．三角形具有稳定性 D．图形平移后形状大小不变，位置变化。 【答案】C 【分析】根据常识可知，一扇窗户打开后用窗钩将其固定，此时窗钩和窗户以及窗沿形成一个三角形，三角形具有稳定性，所以可以将窗户固定住，据此选择即可。 【详解】运用到的数学知识是三角形具有稳定性。 故答案为：C 考点四：两点间线段最短及两点间的距离 【典例精讲】画一画。 请你画出从甲地到乙地最近的路，再画出甲地到小河最近的路。 【答案】见详解 【分析】两点之间线段最短，直接连接甲地与乙地两个点，就是从甲地到乙地最近的路。 从一点到一条直线所画的所有线中，垂线段最短。要求画出甲地到小河最近的路，直接过甲地作小河的垂线，据此解答。 【详解】具体画法如下所示： 变式训练】如图，荣荣从家去幼儿园走第( )条路最近。①与②比较时，依据是两点间所有连线中( )最短；②与③比较时，依据是三角形任意两边的和( )第三边。 【答案】 ② 线段 大于 【分析】根据线段的特征，两点之间所有的连线中，线段最短可知，路线②比路线①短，根据三角形三边之间关系，任意两边之和大于第三边可知，路线③比路线②长，所以荣荣从家去幼儿园走路线②最近，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，荣荣从家去幼儿园走第②条路最近。①与②比较时，依据是两点间所有连线中线段最短；②与③比较时，依据是三角形任意两边的和大于第三边。 变式训练】小轩从家到博物馆有4条路可以走，其中（    ）号路线最近。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】小轩家与博物馆可以看作两个点，四条路线①②③④是连接这两个点的不同路径。其中①号路线、③号路线、④号路线都是曲线，而②号路线是线段。根据“两点之间线段最短”的原理，判断小轩从家到博物馆的最短路线。 【详解】从图中可以看出：路线①是曲线，路线②是线段，路线③是曲线。路线④是曲线。根据“两点之间线段最短”的原理，②是线段，因此②号路线最近。 故答案为：B 变式训练】如图，苹苹要去爷爷家走第②条路最近。第②条路比第③条路近是因为两点间所有连线中( )最短；第②条路比第①条路近，是因为( )。 【答案】 线段 三角形任意两边的和大于第三边 【分析】②是线段，③是一条曲线，根据两点间线段最短来判断②更近；①和②构成一个三角形，①由两条边组成，根据三角形任意两边的和大于第三边可判断第②条路比第①条路近。 【详解】②是线段，③是一条曲线，所以第②条路比第③条路近是因为两点间所有连线中线段最短； 第②条路比第①条路近是因为三角形任意两边的和大于第三边。 考点五：三角形三变关系 【典例精讲】小红用3根小棒围一个三角形，她选了10cm和6cm的两根小棒，那么她选的第三根小棒最长是（    ）cm。 A．5 B．15 C．16 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形的两条边分别是10厘米和6厘米，厘米，厘米，则第三边的长度会大于4厘米小于16厘米，所以第三根小棒最长是15厘米。 【详解】小红用3根小棒围一个三角形，她选了10cm和6cm的两根小棒，那么她选的第三根小棒最长是15厘米。 故答案为：B 变式训练】用三根长度分别是4cm，5cm，9cm的小棒，一定能围成一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和必须大于第三边，来解答。 【详解】因为4＋5＝9，9＝9（第三边长度），不满足三角形三边关系，所以不能围成一个三角形。原题说法错误。 故答案为：× 变式训练】小猴子想做一个三角形框架，已经锯好了两根木条（如下图）。第三根木条的长度最长是多少分米？最短是多少分米？（木条长为整分米数） 【答案】 19dm；5dm 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根木条的长度分别为12分米和8分米，先计算两边之和与两边之差，从而确定第三根木条长度的取值范围，再根据木条长为整分米数，得出最长和最短的长度。 【详解】（dm） （dm） 第三根木条的长度应大于4dm且小于20dm，因为木条长为整分米数，所以最长是19dm，最短是5dm。 答：第三根木条的长度最长是19分米，最短是5分米。 变式训练】海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 【答案】第一张图：10＋13＝23＜25，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 第二张图：30＋42＝72，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 【分析】三角形的基本性质是任意两边之和大于第三边，以此可判断测量是否有误。 【详解】第一张图：，，不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 第二张图：，同样不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 所以乐乐知道海海测量有误。 答：因为海海测量的三角形两边之和等于第三边，不符合三角形两边之和大于第三边的性质，所以测量有误。 考点六：三角形的分类 【典例精讲】只有两个角相等的三角形一定是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 【答案】C 【分析】三个角都是锐角的三角形就是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；等腰三角形的两底角相等；据此解答。 【详解】A．直角三角形的两个角可能相等，可能不相等，不符合题意； B．锐角三角形的两个角可能相等，可能不相等，不符合题意； C．两个角相等的三角形一定是等腰三角形，符合题意。 故答案为：C 变式训练】一个三角形的三个内角中，最少有2个锐角。( ) 【答案】√ 【分析】明确三角形的分类，一个内角为钝角的三角形是钝角三角形，三个内角都为锐角的三角形是锐角三角形，一个内角为直角的三角形是直角三角形；据此解答。 【详解】根据分析可知，直角三角形和钝角三角形有两个锐角，锐角三角形有三个锐角，所以一个三角形中最少有两个锐角，原题表达正确。 故答案为：√ 变式训练】把一张长方形纸如图中的样子折一折、剪一剪，将剪下的图形展开后一定是（    ）。 A．一个等边三角形 B．一个等腰三角形 C．一个直角三角形 D．一个钝角三角形 【答案】B 【分析】由题意得，将一张长方形纸先对折再沿虚线剪下的图形是一个三角形，由于是翻折，这个三角形的两条边相等，因此剪下的图形一定是等腰三角形；据此解答即可。 【详解】 由分析可得，剪下并展开得到的图形为，一定为等腰三角形。 故答案为：B 变式训练】在点子图上画一个三角形，使它既是锐角三角形又是等腰三角形，并画出它的一条高。 【答案】见详解 【分析】根据有三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，两腰相等，两个底角相等的三角形是等腰三角形，据此画图。 高的画法：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。据此画图。 【详解】 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】用一根长60厘米的铁丝，围成一个底边是1分米的等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】等腰三角形的两腰长度相等，所以用铁丝的总长度减去底边的长度，再除以2，即可得到腰长。 【详解】1分米＝10厘米 60－10＝50（厘米） 50÷2＝25（厘米） 答：这个等腰三角形的一条腰长是25厘米。 变式训练】如果一个等腰三角形的两边分别长4厘米和8厘米，那么这个等腰三角形的周长是（    ）厘米。 A．20 B．16 C．20或16 D．23或16 【答案】A 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，那么可以假设4厘米或8厘米长的边为腰，然后利用三角形三边的关系（任意两边之和大于第三边）来验证假设是否成立。最后用满足题意的三条边算出等腰三角形的周长即可。 【详解】假设4厘米长的边为腰，那么另一条腰的长度也是4厘米。 4＋4＝8（厘米），8厘米＝8厘米，即这三边无法围成三角形，该假设不成立。 假设8厘米长的边为腰，那么另一条腰的长度也是8厘米。 4＋8＝12（厘米），12厘米＞8厘米，即这三边可以围成三角形，该假设成立。 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（厘米），即这个等腰三角形的周长是20厘米。 故答案为：A 变式训练】如图和都是等腰三角形，已知，则( )，( )。 【答案】 100 60 【分析】△ABC是等腰三角形，则∠ABC＝∠1＝40°。△ABD是等腰三角形，则∠BAD＝∠ABC＝40°。根据三角形的内角和为180°可知，∠2＝180°－∠BAD－∠ABC＝100°。∠2和∠ADC组成一个平角，则∠ADC＝180°－∠2＝80°。∠3＝180°－∠1－∠ADC＝60°。 【详解】∠ABC＝∠1＝40° ∠BAD＝∠ABC＝40° ∠2＝180°－∠BAD－∠ABC ＝180°－40°－40° ＝100° ∠ADC＝180°－∠2 ＝180°－100° ＝80° ∠3＝180°－∠1－∠ADC ＝180°－40°－80° ＝60° 如图和都是等腰三角形，已知，则，。 变式训练】红领巾作为少先队员的标志，常为红色的三角形；它的两个底角都是30°，顶角是120°，按角分这是一个( )三角形；腰长60厘米，底边长100厘米，周长为( )厘米。 【答案】 钝角 220 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，等腰三角形的两个底角的度数相等。把三角形的三条边相加，即可求出三角形的周长。据此解答。 【详解】120°的角是一个钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 30°＝30°，所以红领巾是一个等腰三角形，它的两条腰的长度相等，都是60厘米。 60＋60＋100 ＝120＋100 ＝220（厘米） 红领巾作为少先队员的标志，常为红色的三角形；它的两个底角都是30°，顶角是120°，按角分这是一个钝角三角形；腰长60厘米，底边长100厘米，周长为220厘米。 考点八：画三角形 【典例精讲】画一个等腰三角形且有一个角是直角。 【答案】见解析 【分析】根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。画有一个角是直角时，要标上直角符号。本题画法不唯一，符合要求即可。 【详解】根据分析，画图如下： 变式训练】在下面的点子图上画三角形。 【答案】见详解 【分析】按角的大小分：有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，最大角是钝角的三角形是钝角三角形。按照各类三角形的特征，在点子图上画出不同的三角形即可。 【详解】 （答案不唯一） 变式训练】在下面的点子图上画一个等腰三角形。    【答案】见详解 【分析】两条边相等的三角形是等腰三角形，据此画图即可。 【详解】（画法不唯一） 【点睛】熟记等腰三角形的特征是解题关键。 变式训练】在下面的点子图中画出一个等腰直角三角形，再作出这个三角形斜边上的高。 【答案】见详解 【分析】等腰直角三角形的两条直角边相等，有一个直角，据此即可在点子图中画出一个等腰直角三角形。过直角顶点向斜边作垂线，顶点与垂足间的线段，就是斜边上的高，据此可画出这个三角形斜边上的高。 【详解】 （画法不唯一） 【点睛】本题考查等腰直角三角形的特征以及三角形高的画法，高一般用虚线表示，并画上垂足符号。垂足所在的边叫做底。 考点九：三角形的内角和 【典例精讲】如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )度，原来这张纸片的形状按边分是( )三角形。 【答案】 66 等腰 【分析】三角形的内角和是180°，用180°减去66°再减去48°就是撕去这个角的度数。三角形按边的关系分类：三条边都相等的三角形是等边三角形；有两条边相等的三角形叫等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等。据此解答。 【详解】180°－48°－66° ＝132°－66° ＝66° 一张三角形纸片被撕去了一个角，这个角是66度。有两个角都是66°，原来这张纸片的形状按边分是等腰三角形。 变式训练】一个等腰三角形的两个内角分别是50°、80°，则第三个内角是( )°，按角分这个三角形是( )三角形。 【答案】 50 锐角 【分析】三角形内角和是180°，用180°减去两个已知角的度数，即可求出第三个内角是多少度；根据三角形按角的分类，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此判断是什么三角形即可。 【详解】180°－50°－80° ＝130°－80° ＝50° 80°、50°、50°都小于90° 一个等腰三角形的两个内角分别是50°、80°，则第三个内角是50°，按角分这个三角形是锐角三角形。 变式训练】在三角形ABC中，已知∠A＝102°，∠A是∠B的3倍，则∠B＝？∠C＝？ 【答案】∠B＝34°；∠C＝44° 【分析】根据题意，∠A＝102°，∠A是∠B的3倍，用102°÷3即可求出∠B的度数；根据三角形的内角和是180°，用180°分别减去∠A的度数，再减去∠B的度数就是∠C的度数。 【详解】102°÷3＝34° 180°－102°－34° ＝78°－34° ＝44° 答：∠B＝34°，∠C＝44°。 变式训练】乐乐用一副三角尺玩拼角游戏。他拼出一个如图所示的图形，∠1＝( )°。 【答案】105 【分析】有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。三角形的内角和为180°。由题意得，在左边的直角三角形中，一个角是直角，另一个角的度数为45°，直接用180°减去90°再减去45°即可算出∠2的度数。在右边的直角三角形中，一个角是直角，另一个角的度数为60°，直接用180°减去90°再减去60°即可算出∠3的度数。∠1，∠2和∠3是三角形的三个内角，直接用180°减去∠2和∠3的度数即可算出∠1的度数。 【详解】∠2＝180°－90°－45° ＝90°－45° ＝45° ∠3＝180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° ∠1＝180°－∠2－∠3 ＝180°－45°－30° ＝135°－30° ＝105° 所以，∠1＝105°。 考点十：多边形的内角和 【典例精讲】丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如图），∠3＋∠4＝( )°。 【答案】270 【分析】根据题意，先根据三角形的内角和是180°，求出原直角三角形中除直角外另外两个角∠1＋∠2度数和，再根据四边形内角和是360°，求出∠3＋∠4的度数。 【详解】根据分析可知： ∠1＋∠2＝180°－90°＝90° ∠3＋∠4＝360°－（∠1＋∠2）＝360°－90°＝270° 丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形，∠3＋∠4＝270°。 【变式训练】欢欢在计算六边形的内角和列式为180°×2＋360°，下面符合这一思路的图是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，算式180°×2＋360°算的是分成两个三角形和一个四边形。据此解答。 【详解】 A．把六边形分成4个三角形，每个三角形内角和等于180°，六边形的内角和为180°×4。不符合题意。 B．把六边形分成2个四边形，每个四边形内角和等于360°，六边形的内角和为360°×2。不符合题意。     C．把六边形分成2个三角形和一个四边形，每个三角形内角和等于180°，每个四边形的内角和是360°，则六边形的内角和为180°×2＋360°；符合题意。 故答案为：C 变式训练】小明在探究六边形的内角和时，他从六边形的一个顶点依次连接与这个顶点不相连的其它顶点，这样就把六边形分成( )个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以小明推算出六边形的内角和是( )°。 【答案】 4 720 【分析】根据题意，从一个顶点依次连接与这个顶点不相连的其它顶点，可以将六边形分成几个三角形，三角形内角和是180°，用180°乘分成的三角形个数，即可求出六边形的内角和是多少度。 【详解】 如图： 180°×4＝720° 小明在探究六边形的内角和时，他从六边形的一个顶点依次连接与这个顶点不相连的其它顶点，这样就把六边形分成4个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以小明推算出六边形的内角和是720°。 变式训练】小明剪出了一个直角三角形纸片，这个三角形中一个锐角是29°，另一个锐角是( )°。他再把这个直角三角形纸片的直角剪去，得到一个四边形，这个四边形内角和是( )°。 【答案】 61 360 【分析】根据题意，这个三角形是直角三角形，则有一个角是90°，三角形内角和是180°，用180°减90°再减去其中一个锐角的度数，即可求出另一个锐角是多少度；所有的四边形都可以分成两个三角形，用180°×2即可求出四边形的内角和是多少度。 【详解】180°－90°－29° ＝90°－29° ＝61° 180°×2＝360° 小明剪出了一个直角三角形纸片，这个三角形中一个锐角是29°，另一个锐角是61°。他再把这个直角三角形纸片的直角剪去，得到一个四边形，这个四边形内角和是360°。 综合训练 1．一个锐角三角形，任意两个锐角的和（    ）90°。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】A 【分析】锐角三角形的三个内角都是锐角，锐角是小于90°的角，逐项分析任意两个锐角的和与90°的大小关系，判断哪种情况是锐角三角形。 【详解】A．假设任意两个锐角的和大于90°，如91°，那么第三个内角是：180°－91°＝89°，89°＜90°，这个三角形是锐角三角形，符合题意； B．假设任意两个锐角的和等于90°，那么第三个内角是：180°－90°＝90°，这个三角形是直角三角形，不符合题意； C．假设任意两个锐角的和小于90°，如89°，那么第三个内角是：180°－89°＝91°，90°＜91°＜180°，这个三角形是钝角三角形，不符合题意； D．在锐角三角形中，任意两个锐角的和大于90°，选项D错误。 故答案为：A 2．一个三角形的周长是20cm，那么它的任意一边的长一定（    ）10cm。 A．大于 B．等于 C．小于 D．小于或等于 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。 【详解】假设三角形的一条边长为10cm，那么另外两条边的长度之和为20-10=10cm，此时两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系。 若一条边长大于10cm，则另外两条边的长度之和小于10cm，更无法满足两边之和大于第三边，所以任意一边的长一定小于10cm。 故答案为C。 3．下面的各组小棒中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3cm，4cm，6cm B．3cm，3cm，7cm C．5cm，5cm，9cm D．4cm，5cm，8cm 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，对每组小棒进行判断。 【详解】A.，，，能围成三角形。 B.，不满足任意两边之和大于第三边，不能围成三角形。 C.，，，能围成三角形。 D.，，，能围成三角形。 故答案为B。 4．亮亮说：“三角形的3个内角最多有两个角是锐角。”下面（    ）图形可以说明亮亮的说法是错误的。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形按角分类有锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个直角和两个锐角）、钝角三角形（有一个钝角和两个锐角），通过观察每项图形中三角形角的类型来判断亮亮说法的对错。 【详解】A．三角形有一个角是90°，是直角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误。 B．三角形有一个角大于90°，是钝角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误。 C．三个角都小于90°，是锐角三角形，有三个锐角。这就表明三角形的三个内角可以有三个锐角，而亮亮说最多有两个锐角，所以亮亮的说法错误。 D．三角形有一个角大于90°，是钝角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误。 所以，选项C中的图形是锐角三角形，有三个锐角，能说明亮亮“三角形的3个内角最多有两个角是锐角”的说法是错误的。 故答案为：C 5．聪聪准备把一根长10cm的吸管剪成3段围成三角形。如果第一刀剪在3cm处，那么第二刀在（    ）处剪才能围成三角形。 A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【详解】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，先确定第一刀剪后余下两段长度和，再分析第二刀的位置。 【解答】A．a处剪开，三条边分别是3厘米、1厘米、10－1－3＝6（厘米）； 1＋3＜6，不能围成三角形； B．b处剪开，三条边分别是3厘米、2厘米、10－3－2＝5（厘米）； 2＋3＝5，不能围成三角形； C．c处剪开，三条边分别是3厘米、3厘米、10－3－3＝4（厘米）； 3＋3＞4，能围成三角形； D．d处剪开，三条边分别是3厘米、1厘米、10－3－1＝6（厘米） 3＋1＜6，不能围成三角形；。 所以第2刀应该选在C处。 故答案为：C 6．有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成（    ）种不同形状的三角形。（不考虑图形的方向） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】题目要求任选三根小棒围成三角形，并判断不同形状的三角形的个数。小棒长度分别为4cm、5cm、8cm、9cm。首先，列出所有可能的三根小棒组合：（4，5，8），（4，5，9），（4，8，9），（5，8，9），检查每个组合是否满足条件（任意两边之和大于第三边）找出能组合成三角形的组合。 【详解】共有四种组合：（4，5，8）、（4，5，9）、（4，8，9）和（5，8，9）。根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。 组合（4，5，8）：4＋5＝9＞8，4＋8＝12＞5，5＋8＝13＞4，满足条件； 组合（4，5，9）：4＋5＝9等于9，不满足条件，因此不能构成三角形； 组合（4，8，9）：4＋8＝12＞9，4＋9＝13＞8，8＋9＝17＞4，满足条件； 组合（5，8，9）：5＋8＝13＞9，5＋9＝14＞8，8＋9＝17＞5，满足条件。 因此，可以围成三角形的组合有三种：（4，5，8），（4，8，9）和（5，8，9）对应三种不同形状的三角形。 故答案为：C 7．一个等腰三角形的一个底角是60°，那么它的顶角是( )。 【答案】60° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是，据此解答。 【详解】等腰三角形的一个底角是，另一个底角也是 顶角： 一个等腰三角形的一个底角是60°，那么它的顶角是。 8．梯形的4个角的度数和是( )度。 【答案】360 【分析】根据题意，梯形是四边形的一种，所有四边形的内角和都是360度。这是因为任何四边形都可以被分割成两个三角形，而每个三角形的内角和是180度，所以两个三角形的内角和加起来就是360度。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 梯形的4个角的度数和是360度。 9．一个等腰三角形的底角是55°，它的顶角是( )°，按角分这个三角形是一个( )三角形。 【答案】 70 锐角 【分析】任意三角形的内角和都是180°，等腰三角形的两个底角相等。已知一个等腰三角形的底角是55°，则另一个底角也是55°，用三角形的内角和减去两个底角的度数，求出它的顶角的度数；再根据按角分类的方法，得出这个三角形的类型。 锐角三角形：​三个角都是锐角的三角形； 直角三角形：有一个角是直角的三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 【详解】180°－55°－55°＝70° 55°＜90°，70°＜90° 这个等腰三角形的三个内角都是锐角，所以它是锐角三角形。 填空如下： 它的顶角是（70）°，按角分这个三角形是一个（锐角）三角形。 10．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是( )厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是( )厘米。 【答案】 4 3 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。直角三角形中，两条直角边都小于斜边。直角三角形中，两条直角边互为底和高。 【详解】根据分析： 因为3＜4＜5，所以这个三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，那么3厘米和4厘米的直角边互为底和高。 一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是4厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是3厘米。 11．图中有( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 1 4 5 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】如图： 锐角三角形有：③＋④，共1个； 直角三角形有：③、④、②＋③、①＋②＋③，共4个； 钝角三角形有：①、②、①＋②、②＋③＋④、①＋②＋③＋④，共5个。 因此，图中有1个锐角三角形，4个直角三角形，5个钝角三角形。 12．妈妈在旅游过程中看到被图中遮挡的建筑物，从图中方向看这个建筑物的屋顶一定是( )三角形。 【答案】等腰 【分析】根据题意，从正面看，建筑屋顶两侧对称，两侧边相等，因此屋顶呈等腰三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 妈妈在旅游过程中看到被图中遮挡的建筑物，从图中方向看这个建筑物的屋顶一定是等腰三角形。 13．按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 【答案】见详解 【分析】直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。每个三角形都有三个底和对应的高。 【详解】 14．下面方格是边长1厘米的正方形，在方格里画一个高是4厘米的等腰三角形和一个周长是12厘米的长方形。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形的两腰相等。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。据此画出这个三角形。 长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么长方形的周长÷2＝长＋宽。12÷2＝6（厘米），所以画长为5厘米、宽为1厘米和长为4厘米、宽为2厘米的长方形，据此画出长方形即可。 【详解】画法如下：（等腰三角形画法不唯一） 15．一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【分析】首先要知道，同一根铁丝围成不同图形，铁丝长度不变，也就是三角形的周长相等。先算等腰三角形的周长：等腰三角形两条腰相等，所以用两条腰的长度加底边长度。 如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的周长等于铁丝的长度，等边三角形三条边一样长，用周长除以3，就能得到每条边的长度。 【详解】（15＋15＋24）÷3 ＝54÷3 ＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 16．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 【答案】6米 【分析】由题意可知：等腰三角形的两条腰相等，篱笆总长也就是等腰三角形的周长，用等腰三角形的周长－腰长×2，即可求出底边长是多少米。 【详解】22－8×2 ＝22－16 ＝6（米） 答：这个花圃的底边长是6米。 17．一个等腰三角形的周长是24厘米，已知底边长比腰长多3厘米。这个等腰三角形的腰长和底边长各是多少厘米？ 【答案】 腰长是7厘米，底边长是10厘米 【分析】三角形的周长是三条边相加的和，等腰三角形的两条腰相等。底边长比腰长多3厘米，把腰长看作1份，则底边长为1份加上3厘米，三条边一共是3份加上3厘米，即24厘米里面包括3份腰长加上3厘米，用24先减去3厘米，再除以3即可求出腰长，再用腰长加上3厘米即可求出底边长。 【详解】腰长： （厘米） 底边长：（厘米） 答：这个等腰三角形的腰长是7厘米，底边长是10厘米。 18．为了保护正方形造型的花圃，园艺师沿着花圃边围了整一圈隔离带，隔离带长40米。过了一个月，花圃换成了等腰三角形的形状，这条隔离带恰好够围一圈。等腰三角形花圃的一条边长是8米，另两条边的长分别是多少米？ 【答案】16米 【分析】等腰三角形两腰相等，已知一条边长是8米，可分为腰长8米，底边长8米两种情况讨论，再根据三角形两边之和大于第三边验证是否满足三角形三边关系。 【详解】当腰长为8米时： 40－8×2 ＝40－16 ＝24（米） 8＋8＝16，16＜24，不满足三边关系，不符合题意。 当底边长为8米时： （40－8）÷2 ＝32÷2 ＝16（米） 16＋8＞16，16＋16＞8，满足三边关系，符合题意。 所以等腰三角形花圃的边长为8米、16米、16米。 答：另外两条边的长都是16米。 19．红领巾是少先队员的标志，象征着革命的胜利和无数英雄的心血。少先队员佩戴的红领巾的一个底角是30°，它的顶角是多少度？ 【答案】120° 【分析】等腰三角形的特征之一是两个底角度数相同。根据红领巾是等腰三角形，所以两个底角相等，再根据三角形内角和是180°，用180°减去两个底角的度数即可得出顶角的度数，据此解答。 【详解】180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 答：它的顶角是120°。 20．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”。小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是70°，这个风筝的底角是多少度？ 【答案】55度 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去顶角的度数后，再除以2即可，依此计算。 【详解】（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 答：这个风筝的底角是55度。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 三角形 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、三角形的定义与特性 2 二、三角形的三边关系 2 三、三角形的内角和 2 四、三角形的分类 2 五、等腰三角形与等边三角形的关系 3 六、三角形的高和底 3 七、三角形的图形拼组 3 考点讲练 3 考点一：三角形的概念及表示方式 3 考点二：三角形的高及画法 4 考点三：三角形的稳定性及应用 5 考点四：两点间线段最短及两点间的距离 6 考点五：三角形三变关系 7 考点六：三角形的分类 8 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 9 考点八：画三角形 10 考点九：三角形的内角和 11 考点十：多边形的内角和 12 综合训练 12 知识梳理 一、三角形的定义与特性 1.定义：由3条线段围成的封闭图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2.各部分名称：三角形有3个顶点、3条边、3个角。 3.特性：三角形具有稳定性（如自行车车架、屋顶桁架等利用此特性）。 二、三角形的三边关系 1.核心结论：三角形任意两边的和大于第三边。 强调“任意”：即三条边中，较短两边之和必须大于最长边才能组成三角形。 举例：若三条线段长度分别为3cm、4cm、5cm，因为3+4>5、3+5>4、4+5>3，所以能组成三角形；若线段长度为2cm、3cm、6cm，因为2+3=5<6，所以不能组成三角形。 三、三角形的内角和 1.结论：三角形的内角和是180°。 2.验证方法： 拼合法：将三角形的三个角剪下来，顶点重合拼在一起，可组成一个平角（180°）。 度量法：用量角器分别测量三个角的度数，求和为180°。 3.应用：已知三角形中两个角的度数，可求第三个角的度数。例如：一个三角形中两个角分别是50°和60°，则第三个角为180°-50°-60°=70°。 四、三角形的分类 （一）按角分类 1.锐角三角形：三个角都是锐角（每个角都小于90°）的三角形。 举例：三个角分别为50°、60°、70°的三角形。 2.直角三角形：有一个角是直角（90°）的三角形，另外两个角是锐角（且两角之和为90°）。 直角所对的边叫做斜边，斜边是直角三角形中最长的边。 3.钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，另外两个角是锐角（且两角之和小于90°）。 （二）按边分类 1.不等边三角形（普通三角形）：三条边都不相等的三角形。 2.等腰三角形：有两条边相等的三角形。 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰所对的角叫做底角，底边所对的角叫做顶角。 特性：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 3.等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 特性：等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°；三条边长度相等。 五、等腰三角形与等边三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形（满足“有两条边相等”的条件），但等腰三角形不一定是等边三角形（只有两条边相等时不是）。 六、三角形的高和底 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 2.数量：一个三角形有3条高（每个顶点对应一条高）。 3.不同类型三角形高的位置： 锐角三角形：三条高都在三角形内部。 直角三角形：两条高与直角边重合（直角顶点到两条直角边的垂线就是直角边本身），第三条高在三角形内部。 钝角三角形：两条高在三角形外部（钝角顶点向对边延长线作垂线），一条高在三角形内部。 4.画高方法：用三角板的直角边，使一条直角边与三角形的底重合，另一条直角边过底所对的顶点，沿直角边画线段即为高，注意标上垂直符号。 七、三角形的图形拼组 1.用两个相同的三角形拼组：可拼成平行四边形、长方形（两个直角三角形）、正方形（两个等腰直角三角形）等。 2.用三个相同的三角形拼组：可拼成梯形等。 3.用多个三角形拼组：可拼成更复杂的多边形或图案。 考点讲练 考点一：三角形的概念及表示方式 【典例精讲】两个完全一样的梯形可以拼成一个（    ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．三角形 变式训练】下面哪些图形是三角形？在括号里画“△”。 （    ）              （    ）          （    ）      （    ）             （    ） 变式训练】如图，有一个梯形ABCD，如果点B沿AB所在的直线慢慢往左移动，与A点重合后停止运动。这个图形的变化过程是（    ）。 A．梯形→平行四边形→梯形 B．梯形→三角形→平行四边形→梯形 C．梯形→平行四边形→三角形 D．梯形→平行四边形→梯形→三角形 变式训练】爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（    ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 考点二：三角形的高及画法 【典例精讲】画出下面图形已知底边上的高。 变式训练】画出每个三角形指定底边上的高。 变式训练】量出下面三角形的底和高的长度。 底：( )mm 高：( )mm 变式训练】如下图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC 考点三：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】古人的智慧是无穷的，在商周时期建造窗户时，木工师傅都需要在框架上再钉一根木条，使框架更牢固，下面符合木工师傅做法的是（    ）。 A． B． C． C．形成两个四边形，容易变形。故答案为：A 变式训练】在平行四边形框架上钉一根木条进行加固，加固效果最差的是（    ）。 A． B． C． D． 变式训练】张伯伯要给菜园围上篱笆，（    ）的围法最牢固。 A． B． C． D． 变式训练】一扇窗户打开后用窗钩将其固定（如图），运用到的数学知识是（    ）。 A．两点之间线段最短 B．平行四边形的不稳定性 C．三角形具有稳定性 D．图形平移后形状大小不变，位置变化。 考点四：两点间线段最短及两点间的距离 【典例精讲】画一画。 请你画出从甲地到乙地最近的路，再画出甲地到小河最近的路。 变式训练】如图，荣荣从家去幼儿园走第( )条路最近。①与②比较时，依据是两点间所有连线中( )最短；②与③比较时，依据是三角形任意两边的和( )第三边。 变式训练】小轩从家到博物馆有4条路可以走，其中（    ）号路线最近。 A．① B．② C．③ D．④ 变式训练】如图，苹苹要去爷爷家走第②条路最近。第②条路比第③条路近是因为两点间所有连线中( )最短；第②条路比第①条路近，是因为( )。 考点五：三角形三变关系 【典例精讲】小红用3根小棒围一个三角形，她选了10cm和6cm的两根小棒，那么她选的第三根小棒最长是（    ）cm。 A．5 B．15 C．16 变式训练】用三根长度分别是4cm，5cm，9cm的小棒，一定能围成一个三角形。( ) 变式训练】小猴子想做一个三角形框架，已经锯好了两根木条（如下图）。第三根木条的长度最长是多少分米？最短是多少分米？（木条长为整分米数） 变式训练】海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 考点六：三角形的分类 【典例精讲】只有两个角相等的三角形一定是（    ）。 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 变式训练】一个三角形的三个内角中，最少有2个锐角。( ) 变式训练】把一张长方形纸如图中的样子折一折、剪一剪，将剪下的图形展开后一定是（    ）。 A．一个等边三角形 B．一个等腰三角形 C．一个直角三角形 D．一个钝角三角形 变式训练】在点子图上画一个三角形，使它既是锐角三角形又是等腰三角形，并画出它的一条高。 考点七：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】用一根长60厘米的铁丝，围成一个底边是1分米的等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长是多少厘米？ 变式训练】如果一个等腰三角形的两边分别长4厘米和8厘米，那么这个等腰三角形的周长是（    ）厘米。 A．20 B．16 C．20或16 D．23或16 变式训练】如图和都是等腰三角形，已知，则( )，( )。 变式训练】红领巾作为少先队员的标志，常为红色的三角形；它的两个底角都是30°，顶角是120°，按角分这是一个( )三角形；腰长60厘米，底边长100厘米，周长为( )厘米。 考点八：画三角形 【典例精讲】画一个等腰三角形且有一个角是直角。 变式训练】在下面的点子图上画三角形。 变式训练】在下面的点子图上画一个等腰三角形。    变式训练】在下面的点子图中画出一个等腰直角三角形，再作出这个三角形斜边上的高。 考点九：三角形的内角和 【典例精讲】如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )度，原来这张纸片的形状按边分是( )三角形。 变式训练】一个等腰三角形的两个内角分别是50°、80°，则第三个内角是( )°，按角分这个三角形是( )三角形。 变式训练】在三角形ABC中，已知∠A＝102°，∠A是∠B的3倍，则∠B＝？∠C＝？ 变式训练】乐乐用一副三角尺玩拼角游戏。他拼出一个如图所示的图形，∠1＝( )°。 考点十：多边形的内角和 【典例精讲】丽丽将一张直角三角形纸片剪去一个直角后得到一个四边形（如图），∠3＋∠4＝( )°。 【变式训练】欢欢在计算六边形的内角和列式为180°×2＋360°，下面符合这一思路的图是（    ）。 A． B． C． 变式训练】小明在探究六边形的内角和时，他从六边形的一个顶点依次连接与这个顶点不相连的其它顶点，这样就把六边形分成( )个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以小明推算出六边形的内角和是( )°。 变式训练】小明剪出了一个直角三角形纸片，这个三角形中一个锐角是29°，另一个锐角是( )°。他再把这个直角三角形纸片的直角剪去，得到一个四边形，这个四边形内角和是( )°。 综合训练 1．一个锐角三角形，任意两个锐角的和（    ）90°。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 2．一个三角形的周长是20cm，那么它的任意一边的长一定（    ）10cm。 A．大于 B．等于 C．小于 D．小于或等于 3．下面的各组小棒中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3cm，4cm，6cm B．3cm，3cm，7cm C．5cm，5cm，9cm D．4cm，5cm，8cm 4．亮亮说：“三角形的3个内角最多有两个角是锐角。”下面（    ）图形可以说明亮亮的说法是错误的。 A． B． C． D． 5．聪聪准备把一根长10cm的吸管剪成3段围成三角形。如果第一刀剪在3cm处，那么第二刀在（    ）处剪才能围成三角形。 A．a B．b C．c D．d 6．有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成（    ）种不同形状的三角形。（不考虑图形的方向） A．1 B．2 C．3 D．4 7．一个等腰三角形的一个底角是60°，那么它的顶角是( )。 8．梯形的4个角的度数和是( )度。 9．一个等腰三角形的底角是55°，它的顶角是( )°，按角分这个三角形是一个( )三角形。 10．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是( )厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是( )厘米。 11．图中有( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 12．妈妈在旅游过程中看到被图中遮挡的建筑物，从图中方向看这个建筑物的屋顶一定是( )三角形。 13．按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 14．下面方格是边长1厘米的正方形，在方格里画一个高是4厘米的等腰三角形和一个周长是12厘米的长方形。 15．一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 16．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 17．一个等腰三角形的周长是24厘米，已知底边长比腰长多3厘米。这个等腰三角形的腰长和底边长各是多少厘米？ 18．为了保护正方形造型的花圃，园艺师沿着花圃边围了整一圈隔离带，隔离带长40米。过了一个月，花圃换成了等腰三角形的形状，这条隔离带恰好够围一圈。等腰三角形花圃的一条边长是8米，另两条边的长分别是多少米？ 19．红领巾是少先队员的标志，象征着革命的胜利和无数英雄的心血。少先队员佩戴的红领巾的一个底角是30°，它的顶角是多少度？ 20．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”。小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是70°，这个风筝的底角是多少度？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $