（期末大通关）专题05三角形知识梳理+考点讲练+综合练习-2024-2025学年数学四年级下册人教版

（期末大通关）专题05三角形 知识梳理+考点讲练+综合练习 知识梳理 三角形概念 由三条线段围成（每相邻两条线段的端点相连）的图形叫三角形。如： 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 三角形具有稳定性。 三角形三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 三角形分类 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三类；如： 三角形按边分类，可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形这三类。 三角形内角和 三角形的三个内角和是180º。 多边形内角和 180°×（n-2）（n为边数，且大于3） 考点讲练 考点一：三角形三边关系 【典例1】 一个三角形两条边的长度分别是3dm、8dm，第三条边的长度可能是（    ）。 A．3dm B．5dm C．8dm D．11dm 【答案】C 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 83＝5（dm） 8＋3＝11（dm） 那么这个三角形的第三条边大于5dm，小于11dm。 3＜5＝5＜8＜11＝11 一个三角形两条边的长度分别是3dm、8dm，第三条边的长度可能是8dm。 故答案为：C 【即学即练1】 苹苹想要搭建一个三角形框架的学具，她已经选择了两条长度分别是10厘米和15厘米的小木棒，请问第三根小木棒最长应选择（    ）厘米（取整厘米数）。 A．10 B．15 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系，三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答。 【详解】15－10＜第三边＜15＋10 5＜第三边＜25 所以，第三根小木棒最长应为：25－1＝24（厘米） 苹苹想要搭建一个三角形框架的学具，她已经选择了两条长度分别是10厘米和15厘米的小木棒，请问第三根小木棒最长应选择24厘米（取整厘米数）。 故答案为：C 考点二：三角形的分类 【典例2】 如果用一根9cm的小棒和两根4cm的小棒围三角形，结果发现（    ）。 A．不能围成三角形 B．围成了一个等腰三角形 C．围成了一个等边三角形 D．围成了一个直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边进行解答即可。 【详解】4＋4＝8（厘米） 8＜9 根据三角形的特性可知：用一根9cm的小棒和两根4cm的小棒不能围三角形。 故答案为：A 【即学即练2】 下图中，三角形被遮住了一部分，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上均有可能 【答案】D 【分析】观察上图可知，三角形露出部分的角是一个锐角，还有两个角被遮住了，如果被遮住的两个角都是锐角，则这个三角形是锐角三角形，如果被遮住的角中有一个直角，则这个三角形是直角三角形，如果被遮住的角中有一个钝角，则这个三角形是钝角三角形，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，这个三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。 故答案为：D 考点三：等要三角形周长问题 【典例3】 一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和13厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】32 【分析】等腰三角形有两条边相等，根据三角形两边之和大于第三边，需判断两种情况：两条腰为6厘米，底边13厘米，此时两边之和为6＋6＝12厘米，小于第三边13厘米，不满足三角形三边关系，无法构成三角形；两条腰为13厘米，底边6厘米，两边之和为13＋6＝19厘米，大于第三边（13厘米），满足三角形三边关系。周长＝13＋13＋6＝32厘米。 【详解】若三边为6厘米，6厘米，13厘米，6＋6＝12（厘米），12＜13，无法构成三角形； 若三边为13厘米，13厘米，6厘米，13＋6＝19（厘米），19＞13，满足三角形三边关系。 13＋13＋6＝32（厘米） 即一个等腰三角形的两条边长分别是6厘米和13厘米，这个三角形的周长是32厘米。 【即学即练3】 一个等腰三角形的周长是16厘米，其中一条边的长是4厘米，另两条边分别长( )和( )。 【答案】 6厘米/6cm 6厘米/6cm 【分析】等腰三角形有两条边相等。已知周长为16厘米，其中一条边为4厘米，需判断这条边是底边还是腰。若4厘米为底边，则腰长是（16－4）÷2，计算出是6厘米，根据两边之和大于第三边判断，6＋4＝10厘米＞6厘米，能围成三角形；若4厘米为腰：另一条腰也为4厘米，底边为16－4－4＝8厘米。验证三边关系：4＋4＝8，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形。 【详解】由分析可知：4厘米为底 腰长：（16－4）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 一个等腰三角形的周长是16厘米，其中一条边的长是4厘米，另两条边分别长6厘米和6厘米。 考点四：等边三角形 【典例4】 用一条彩带可以围成一个边长为12cm的正方形装饰物，如果改围成一个正三角形装饰物，那么这个正三角形的边长是( )cm。 【答案】16 【分析】正三角形也就是三条边都相等的等边三角形，根据正方形的周长计算公式“正方形周长＝边长×4”即可计算出这条彩带的长度；用这条彩带的长度除以3，就是围成的正三角形的边长。 【详解】12×4＝48（cm） 48÷3＝16（cm） 那么这个正三角形的边长是16cm。 【即学即练4】 一根铁丝刚好可以围成一个边长是6厘米的正方形。如果将这根铁丝围成一个等边三角形，它的边长是( )厘米，按角分，它是一个( )三角形。 【答案】 8 锐角 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，据此求出这根铁丝的长度，然后根据等边三角形三边相等，用这根铁丝的长度除以3，据此可求出等边三角形的边长；等边三角形三个角都为60度；然后根据：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此可解此题。 【详解】6×4÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 等边三角形三个角均为60度；60度是锐角；这个三角形是锐角三角形。 综上可知，如果将这根铁丝围成一个等边三角形，它的边长是8厘米，按角分，它是一个锐角三角形。 考点五：三角形内角和 【典例5】 ∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 60 60 【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等。三角形的内角和是180°，用180°减去∠1的度数，再减去60°就是∠2的度数。据此解答。 【详解】根据图意，两条边都是7厘米，所以它是等腰三角形，它的两个底角相等。∠1＝60° 180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° 所以∠2＝60° 【即学即练5】 如图，三角形ABC是一个直角三角形，AB边上的高是边( )。已知∠1＝32°，那么∠2＝( )°。 【答案】 BC/CB 58 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，观察所给三角形ABC可以发现，∠B为直角，所以AB边上的高就是线段BC。三角形的内角和为180°，用180°依次减去∠1和∠B，即可求出∠C，据此解答即可。 【详解】 因此，AB边上的高是边BC或CB；如果∠1＝32°，那么∠2＝58°。 考点六：多边形内角和 【典例6】 如图，在△ABC中，已知∠B＝60°。如果沿着图中的虚线剪去∠B，那么∠1＋∠2＝( )°。 【答案】240 【分析】三角形的内角和为180°。由题意得，在△ABC中，∠B＝60°，那么直接用180°减去∠B的度数即可算出∠A和∠C的度数之和。如果沿着图中的虚线剪去∠B，那么可以得到一个四边形。四边形的内角和为360°，那么∠1＋∠2＋∠A＋∠C＝360°。那么直接用360°减去∠A和∠C的度数之和即可算出∠1和∠2的度数之和。 【详解】∠A＋∠C＝180°－∠B＝180°－60°＝120° ∠1＋∠2＝360°－（∠A＋∠C）＝360°－120°＝240° 如果沿着图中的虚线剪去∠B，那么∠1＋∠2＝240°。 【即学即练6】 将一张长方形纸折至如图所示的样子，已知∠1＝55°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 70 110 【分析】在折叠过程中，折痕两侧的角是相等的，那么两个∠1与∠2组成一个平角，平角的度数是180°，用180°连续减去两个∠1即可求出∠2的度数；多边形的内角和＝180°×（n－2），将∠2与∠3所在的四边形内角和求出，已知这个四边形有两个直角，直角的度数是90°，用内角和减去两个90°再减去∠2的度数即可求出∠3的度数。 【详解】180°－55°－55° ＝125°－55° ＝70° 180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 360°－90°－90°－70° ＝270°－90°－70° ＝180°－70° ＝110° 那么∠2＝70°，∠3＝110°。 综合练习 一、选择题 1．下列（    ）组的三条线段能围成三角形。（单位：cm） A． B． C． 2．一个三角形中，两条边的长度分别为10cm和6cm，那么第三条边的长度可能是（    ）cm。 A．3 B．5 C．16 3．一个等腰三角形，其中两边长分别为10cm，5cm，它的周长为（    ）cm。 A．20或25 B．25 C．20 4．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，是中国人喜庆的象征。春节期间小新做了一只灯笼，它的底部框架如图所示。如果想再加一根木条使框架更牢固，下面方法最好的是（    ）。 A． B． C． 5．如图，一个正方形被剪了一个角，剩下的这个图形的内角和是（    ）。 A．270° B．540° C．360° 6．当三角形中两个内角的和等于第三个内角时，这个三角形是一个（    ）三角形。 A．直角 B．钝角 C．锐角 7．如图所示：在灰色的挡板后面藏着一个三角形，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 8．把一个三角形从一个顶点用一条直线分成两个三角形，其中一个三角形的内角和（    ）。 A．等于90° B．大于90° C．还是180° 二、填空题 9． 看图，选填序号。锐角三角形有( )，直角三角形有( )，钝角三角形有( )，等腰三角形有( )，等边三角形有( )。 10．在一个直角三角形中，它的两个锐角可能是( )°和( )°。 11．三根等长的小棒可以围成一个( )三角形，四根等长的小棒可以围成( )个形状不同的平行四边形。 12．一个等腰三角形的底边长是18厘米，周长是78厘米，它的腰长( )厘米。 13．在等腰三角形中，一个底角是70°，则顶角是( )°；在直角三角形中，一个锐角是42°，另一个锐角是( )°。 14．如图，一个三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )°；原来这个三角形纸片按边分是( )三角形。 三、判断题 15．长度为2厘米、7厘米、10厘米的三根小棒能围成一个三角形。( ) 16．当三角形中两个内角的和等于第三个角时，这是一个直角三角形。( ) 17．三角形的一个内角是，截去这个角（如图），剩下图形的内角和是。( ) 18．用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别为8厘米、10厘米，那么第3根小棒最短是3厘米，最长为19厘米。( ) 19．一个三角形中，如果有两个角是锐角，它不一定是锐角三角形。( ) 四、解答题 20．一块三角形的菜地（如图），已知∠1＝50°，求∠2的度数。 21．一张长方形的纸，剪去一个角。剩下图形的内角和可能是多少？（画一画，算一算） 22．用一根21cm长的铁丝围成一个等腰三角形。如果要求一条边长是9cm，求这个等腰三角形的另外两条边长。 23．将下面的表格填写完整。 图形 …… 名称 三角形 四边形 五边形 六边形 …… 边数 3 4 … 内角和 … 你发现了什么规律？ 24．埃及金字塔的四个侧面的形状都是等腰三角形，每个等腰三角形的顶角约是52°。金字塔每个侧面的底角大约是多少度？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据三角形的特性，三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，进行解答即可。 【详解】A．5＋6＝11，11＞7，所以能围成三角形； B．3＋4＝7，7＝7所以不能围成三角形； C．4＋5＝9，9＜10，所以不能围成三角形。 故答案为：A 2．B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以第三条边的长度大于已知两边的长度差，小于已知两边的长度和；据此即可解答。 【详解】10＋6＝16（cm） 10－6＝4（cm） 所以第三条边的长度大于4cm，小于16cm，三个选项中只5cm符合要求，第三条边的长度可能是5cm。 故答案为：B 3．B 【分析】等腰三角形两条腰长相等，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此先判断等腰三角形第三条边的长度，将三条边的长度相加即可求出它的周长是多少。 【详解】当腰长是10cm时：10＋10＝20cm，20＞5，10－10＝0，0＜5，能围成三角形； 当腰长是5cm时：10＋5＝15cm，15＞5，10－5＝5cm，5＝5，两边之差等于第三边，不能围成三角形。 10＋10＋5 ＝20＋5 ＝25cm 它的周长为25cm。 故答案为：B 4．C 【分析】三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性。据此解答。 【详解】 A．加一根木条把内部分成了两个长方形，长方形具有不稳定性。 B．加一根木条把内部分成了两个长方形，长方形具有不稳定性。 C．加一根木条把内部分成了两个三角形，三角形具有稳定性。 所以，如果想再加一根木条使框架更牢固，方法最好的是。 故答案为：C 5．B 【分析】三角形的内角和为180°。一个多边形可以分成几个三角形，它的内角和就等于180°乘上可以分成三角形的个数。据此解答。 【详解】由题意得，一个正方形被减去了一个角，剩下的图形是一个五边形。这个五边形可以分成三个三角形（如下图）。 180°×3＝540°，即剩下的这个图形的内角和是540°。 故答案为：B 6．A 【分析】三角形内角和为180°，两个内角和等于第三个角，则用即可求出其中一个角的度数；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此判断是什么三角形即可。 【详解】，所以当三角形中两个内角的和等于第三个角时，这是一个直角三角形。 故答案为：A 7．C 【分析】根据露出来的部分可知是个钝角，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。 【详解】如图所示：在灰色的挡板后面藏着一个三角形，这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 8．C 【分析】三角形的内角和是180°，这个值是固定不变的，与三角形的形状大小无关，不管三角形是大还是小，它的内角和是固定不变的，都是180°；据此解答即可。 【详解】把一个三角形从一个顶点用一条直线分成两个三角形，其中一个三角形的内角和还是180°。 故答案为：C 9． ③ ① ② ① ③ 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；三角形按边来分，分为普通三角形、等腰三角形和等边三角形。有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的三角形叫作等边三角形。由图可知，①既是直角三角形，又是等腰三角形。②是钝角三角形。③既是锐角三角形，又是等边三角形。 【详解】故锐角三角形有③，直角三角形有①，钝角三角形有②，等腰三角形有①，等边三角形有③。 10． 30 60 【分析】根据三角形的内角和为180°，有一个角为90°的三角形为直角三角形；由此可知另外两个角之和是多少；据此可解此题。 【详解】由分析可知，另外两个锐角之和为：180°－90°＝90° 只要满足两个锐角之和为90°即可，例如：30°＋60°＝90°。 综上可知，在一个直角三角形中，它的两个锐角可能是30°和60°。（答案不唯一） 11． 等边/正 无数 【分析】根据三角形的摆放和等边三角形的定义即可知道这个三角形是否是等边三角形。 根据平行四边形的不稳定性可知，四根等长的小棒围成的平行四边形可以固定一个或两个点，进行拉伸，会形成无数个形状不同的平行四边形。 【详解】三条边都相等的三角形是等边三角形。 由平行四边形的不稳定性可知，四根等长的小棒围成的平行四边形可以固定一个或两个点，进行拉伸，会形成无数个形状不同的平行四边形。 三根等长的小棒可以围成一个等边三角形，四根等长的小棒可以围成无数个形状不同的平行四边形。 12．30 【分析】等腰三角形两条腰长相等，先用周长减去底边长，再除以2即可求出腰长多少厘米。据此解答。 【详解】（78－18）÷2 ＝60÷2 ＝30（厘米） 则它的腰长30厘米。 13． 40 48 【分析】任意三角形内角和是180°。等腰三角形两腰相等，两底角也相等。180°减去2个底角的度数，即可算出顶角度数。有一个角是直角的三角形是直角三角形，直角是90°，180°减去90°再减去42°，即可算出另一个锐角的度数。 【详解】180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 180°－90°－42° ＝90°－42° ＝48° 在等腰三角形中，一个底角是70°，则顶角是40°；在直角三角形中，一个锐角是42°，另一个锐角是48°。 14． 65 等腰 【分析】三角形的内角和为180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可计算出被撕去的角的度数；有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等；据此解答。 【详解】 所以一个三角形纸片被撕去了一个角，这个角是65°； ，所以这个三角形纸片按边分是等腰三角形。 15．× 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【详解】2＋7＜10，所以长度为2厘米、7厘米、10厘米的三根小棒不能围成一个三角形；原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。 16．√ 【分析】三角形内角和等于180°，当两个内角的和等于第三个角时，第三个角等于180°÷2＝90°，所以这个三角形是直角三角形，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，当三角形中两个内角的和等于第三个角时，这个三角形是直角三角形，原说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握三角形的分类和三角形内角和知识是解答本题的关键。 17．× 【分析】由图示可知，三角形截去这个角，剩下的图形有4个角，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此计算并判断。 【详解】（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 由此可知，剩下图形的内角和是360°。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握多边形内角和的计算方法，是解答此题的关键。 18．× 【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，此题依此判断即可。 【详解】10厘米－8厘米＜第三边的长度＜10厘米＋8厘米 2厘米＜第三边的长度＜18厘米 2＋1＝3（厘米）；18－1＝17（厘米） 即第3根小棒最短是3厘米，最长为17厘米。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握三角形三边的关系是解答本题的关键。 19．√ 【分析】三角形按角分可分为： 锐角三角形，即三角形的三个角都是锐角的三角形； 直角三角形，即有一个角是直角的三角形； 钝角三角形，即有一个角是钝角的三角形； 可见锐角三角形是由三个角决定的，直角三角形和钝角三角形是由一个直角或一个钝角决定的，因此两个锐角不能决定是什么三角形。 【详解】一个三角形如果有两个锐角，另一个角可能是锐角，也可能是直角，还可能是钝角，因此，它不一定是锐角三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题是考查三角形的分类，注意：两个锐角不能决定是什么三角形。 20．40° 【分析】菜地是一个直角三角形，三角形的内角和等于180°，∠2等于180°减90°，再减去∠1的度数，据此即可解答。 【详解】∠2＝180°－90°－∠1 ＝90°－50° ＝40° 答：∠2等于40°。 21．540°；360°；180°；图见详解 【分析】 ①可以在长与宽上各取一点（不是长方形顶点），沿着这两个点所在的之间剪去一个角，剩下的部分是五边形，五边形可以被分为3个三角形，三角形的内角和是180°，所以180°乘3即可求出这个五边形的内角和。 ②在长方形的长（下边的长）上取一点，沿着长方形左上角顶点与这一点所在的直线剪去一角，剩余图形是一个四边形，一个四边形能被分为2个三角形，所以它的内角和是180°的2倍，据此来算出内角和。 ③沿着长方形左上角与右下角的顶点所在直线剪去一角，剩余的图形是三角形，三角形的内角和是180°。 【详解】 有三种可能： ①五边形，内角和为： （5－2）×180° ＝3×180° ＝540°； ②四边形，内角和180°×2＝360°； ③三角形，内角和为180°。 答：剩下图形的内角和可能是540°、360°、180°。 22．如果等腰三角形的底边是9cm，那么另外两条腰都为6cm；如果等腰三角形的一条腰是9cm，那么另一条腰是9cm，底边是3cm。 【分析】 根据等腰三角形有两条边相等，当已知的边长为底边时，此时三角形的腰＝（21－9）÷2，当已知的边长为腰时，底边＝21－9×2，最后根据三角形三边关系判断是否可以组成三角形，据此解答即可。 【详解】等腰三角形的底边是9cm，腰＝（21－9）÷2＝12÷2＝6（cm），6－6＝0（cm），0＜9，6＋6＝12（cm），12＞9，符合三角形三边关系，能组成等腰三角形； 等腰三角形的腰是9cm，底边＝21－9×2＝21－18＝3（cm），9－3＝6（cm），6＜9，9＋3＝12（cm），12＞9，符合三角形三边关系，能组成等腰三角形。 答：如果等腰三角形的底边是9cm，那么另外两条腰都为6cm；如果等腰三角形的一条腰是9cm，那么另一条腰是9cm，底边是3cm。 23．表格见详解； 边形的内角和 【分析】观察发现四边形的中被分成了2个三角形，1个三角形的内角和为180°，2个三角形的内角和就是180°×2＝360°；五边形的中被分成了3个三角形，1个三角形的内角和为180°，3个三角形的内角和就是180°×3＝540°；六边形的中被分成了4个三角形，1个三角形的内角和为180°，4个三角形的内角和就是180°×4＝720°；观察发现内角和的度数为180°乘（边数－2），那么n边形的内角和为；据此解答。 【详解】如表： 图形 …… 名称 三角形 四边形 五边形 六边形 …… 边数 3 4 5 6 … 内角和 … 规律：n边形的内角和=(n－2)×180° 答：我发现边形的内角和。 24．64度 【分析】等腰三角形的特征：两腰相等，两底角也相等；再根据三角形内角和是180°和一个顶角是52°，先求得两个底角的度数，进而求得它的一个底角的度数。 【详解】180°－52°＝128° 128°÷2＝64° 答：金字塔每个侧面的底角大约是64度。 【点睛】此题根据等腰三角形的特征和三角形的内角和解决。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$